2023-2024学年广东省广州市天河中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州市天河中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】根据向量共线直接求解.
【详解】因为向量与向量共线，
所以，
解得，
所以，
故选：B
2．已知椭圆:,其焦点坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因为椭圆:,化简为:,可得,即可求得答案.
【详解】 椭圆:,化简为:

根据:
可得:,故
的焦点为: .
故选:B.
【点睛】本题考查了求椭圆焦点坐标,解题关键是掌握椭圆方程定义和,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
3．已知圆：与圆：外切，则的值为（ ）
A．1B．5C．9D．21
【答案】A
【分析】根据圆心距等于半径和求解即可.
【详解】因为圆：与圆：外切，
所以，解得.
故选：A.
4．已知二次函数交轴于，两点，交轴于点.若圆过，，三点，则圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知求得点A、B、C的坐标，则有AB的垂直平分线必过圆心，所以设圆的圆心为，由，可求得圆M的半径和圆心，由此求得圆的方程.
【详解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，
因为圆过，，三点，所以AB的垂直平分线必过圆心，所以设圆的圆心为，
所以，即，解得，所以圆心，半径，
所以圆的方程是，即，
故选：C．
5．如图是一水平放置的青花瓷．它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称．花瓶的最小直径为，瓶口直径为，瓶高为，则该双曲线的虚轴长为（ ）
A．B．C．D．45
【答案】C
【分析】设双曲线方程为，，由已知可得，并求得双曲线上一点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程，求解，即可得到双曲线的虚轴长．
【详解】设点是双曲线与截面的一个交点，
设双曲线的方程为：，．
花瓶的最小直径，则，
由瓶口直径为，瓶高为，可得，
故，解得，
该双曲线的虚轴长为．
故选：．
6．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，然后根据三点共线求解出结果.
【详解】抛物线的焦点，准线，过作准线，交轴于点，如下图所示：
因为，
当且仅当三点共线时取等号，
所以点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为，
故选：C.
7．、分别是双曲线C：的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线C的离心率为
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】求出到渐近线的距离，利用关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．
【详解】由题意，，，一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为．
设关于渐近线的对称点为M，与渐近线交于A，，A为的中点
又0是的中点，，为直角，
为直角三角形，
由勾股定理得
，，
，．
故选A．
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的分析与计算能力，属于中档题．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于、两点，若，则的内切圆半径为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】设内切圆的圆心，设三边与内切圆的切点，连接切点与圆心的线段，由内切圆的性质可得，再由双曲线定义可知：，可得，重合，再由可得内切圆的半径的值．
【详解】设内切圆的圆心为，设圆与三角形的边分别切于，，，
如图所示：
连接，，，由内切圆的性质可得：，，，
所以，
，
所以，
由双曲线的定义可知：，
所以可得，重合，
所以，
所以.
故选：．
【点睛】本题考查双曲线的定义及内切圆的性质.属于中档题．
二、多选题
9．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A．B．
C．D．的坐标为
【答案】AC
【分析】根据抛物线的定义和几何性质求解即可.
【详解】由题可知,由，，
所以，.
故选：AC．
10．已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn0，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
11．已知直线与抛物线相交于两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的面积为
【答案】BC
【分析】求出抛物线C的准线方程，可求得p的值，可判断A；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得k的值，可判断B；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断C、D.
【详解】由题意知，抛物线C的准线为，即，解得，故A错误；
所以抛物线的方程为，其焦点为，又直线，
即，所以直线l恒过抛物线的焦点，设点，
因为两点在抛物线上，联立方程，两式相减可得，
设的中点为，则，因为点在直线l上，解得，
所以点是以为直径的圆的圆心，
由抛物线的定义知，圆Q的半径，
因为，解得，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为直线l为，由点到直线的距离公式可得，点M到直线l的距离为，所以，故D错误;
故选：BC.
12．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．
【答案】AC
【分析】A：根据椭圆和双曲线定义用表示出，结合余弦定理可得等式并判断即可；
B：根据化简A的结果，然后作出判断；
C：根据D的结果结合基本不等式求解出最小值并判断；
D：根据A的结果，将等式左右两边同除可得结果并判断即可.
【详解】不妨设在第一象限，如下图：
对于A：因为，所以，
又因为，
所以，
化简可得，故A正确；
对于B：因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以不一定成立，故B错误；
对于D：因为，所以，所以，故D错误；
对于C：由D可知，所以，
所以，当且仅当即时取等号，故C正确；
故选：AC.
三、填空题
13．过圆上任意一点作轴垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】利用中点坐标公式，确定，坐标之间的关系，将的坐标代入圆的方程，即可求得的轨迹方程．
【详解】设，，
则，
在圆上，
，
整理得，
故答案为：．
14．抛物线y＝x2上到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是 ．
【答案】
【详解】y＝x2的导数为y′＝2x，设所求点为P(x0，y0)，则2x0＝2，∴x0＝1，∴P(1，1)．
【点睛】本题主要考查了利用导数求切线的斜率问题，属于中档题.解题时注意将曲线上动点到直线的距离转化为与直线平行的直线与曲线相切的问题.切点到直线的距离最小.
15．已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 .
【答案】
【分析】先根据中位线求解出，然后利用垂直平分线的性质分析的取值，由此判断出轨迹并求解出轨迹方程.
【详解】连接，如下图所示：

因为为的中点，所以，
由垂直平分线的性质可知：，
所以，
所以的轨迹是以为焦点且实轴长为的双曲线，
所以，所以，
所以轨迹方程为，
故答案为：.
16．设椭圆C:( a>b>0)的左，右焦点分别为F1，经过点F1的直线与椭圆C相交于 M，N两点.若|MF2|=| F1F2|，且7|MF1|=4| MN|，则椭圆C的离心率为 .
【答案】
【解析】如图所示，作，垂足为，利用椭圆的定义以及计算出，，，，结合勾股定理得到关于的齐次式，进而可得结果.
【详解】如图所示，作，垂足为，
∵，∴点为的中点
∴，．
又∵，∴
∴，
，
由勾股定理可得：，
化简得：，即，
解得：（舍去），，
故答案为：.
【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形面积计算公式、勾股定理、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题
17．已知双曲线C的焦点在x轴上，其渐近线方程为，实轴长为4．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左、右支各交于一点，求该直线斜率k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意确定双曲线为等轴双曲线，确定a的值，可得答案;
（2）设直线方程为，联立双曲线方程，整理并列出相应不等式，求得答案.
【详解】（1）由题意双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，实轴长为4，
可设双曲线方程为，且 ，
则双曲线标准方程为；
（2）题意可知过点的直线与双曲线的左、右支各交于一点，
故该直线斜率一定存在，且不和双曲线渐近线平行，
故设直线方程为，
联立，整理得，
需满足，解得 ，
即该直线斜率的取值范围为.
五、证明题
18．如图1，一副标准的三角板中，为直角，，为直角，，且，把与重合，拼成一个三棱锥，如图2．设是的中点，是的中点．
(1)求证：；
(2)在图2中，若，且，试求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用BC⊥平面EMN线面垂直可证明线线垂直；
（2）建立直角坐标系，求出平面ABE的法向量和平面的法向量，进而可求得二面角的余弦.
【详解】（1）证明：∵AB⊥BC，BE=CE，M是AC的中点，N是BC的中点
∴EN⊥BC，MN∥AB
∴MN⊥BC
∵EN∩MN=N，EN，MN⊂平面EMN
∴BC⊥平面EMN
∴BC⊥EM．
（2）解：∵AC=4，，且
∴EN⊥平面ABC，
，，，
以为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，过作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，
，
设平面ABE的法向量
则取，得
同理得平面的法向量为，
∴．
∴平面ABE与平面ANE夹角的余弦值为．
六、问答题
19．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.
【详解】（1）设直线方程为：，，
由抛物线焦半径公式可知：
联立得：
则
，解得：
直线的方程为：，即：
（2）设，则可设直线方程为：
联立得：
则
，
，
则
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.
七、解答题
20．已知椭圆（）的长轴长是短轴长的2倍.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点且与椭圆有唯一公共点，为坐标原点，当的面积最大时，求椭圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而求出离心率；
（2）由（1）可得椭圆方程为，设直线为，联立直线与椭圆方程，由得到、的关系，再求出，由利用基本不等式求出面积最大值，即可求出此时的，从而求出，即可得解.
【详解】（1）依题意，即，
所以离心率.
（2）由（1）可得椭圆方程为，即，
直线的斜率存在且不为，设斜率为，则直线为，
由，消去整理得，
所以，即，
又，
所以，
当且仅当，即时取等号，
此时，解得，
所以椭圆方程为，即.
21．已知双曲线的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设直线与双曲线交于两点，为何值时，以为直径的圆经过原点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意设出双曲线的方程为，由已知得与，解方程组得出与得出答案；
（2）设，，联立双曲线与直线方程，根据韦达定理得出与，即可得出，若以为直径的圆经过原点，则，即可根据向量垂直得出其数量积为0，即可代入坐标列式解出答案.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
即双曲线的一个焦点为，在轴上，
设双曲线的方程为，则，
双曲线过点，则，
①②联立，解得或（舍），
则双曲线的方程为.
（2）联立，得，
直线与双曲线交于两点，
且，
即，且，
设，，
则，，
则，
若，则以为直径的圆一定经过原点，
则，
即，
，解得，
综上，当时，以为直径的圆经过原点.
八、问答题
22．已知椭圆F：经过点且离心率为，直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D，O为坐标原点，直线AB和直线CD相交于M．记直线的斜率分别为，且．
(1)求椭圆F的标准方程
(2)是否存在定点P，Q，使得为定值．若存在，请求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在点，使得为定值.
【分析】（1）设，，，结合条件即求；
（2）由题可设直线方程，利用韦达定理法可得，再结合条件可得点的轨迹方程为，然后利用椭圆的定义即得结论.
【详解】（1）设，，，椭圆方程为：，
椭圆过点，
，解得t=1，
所以椭圆F的方程是．
（2）由题可得焦点的坐标分别为，
当直线AB或CD的斜率不存在时，点M的坐标为或，
当直线AB和CD的斜率都存在时，设斜率分别为，点，
直线AB为，
联立，得．
则，，
同理可得，，
因为，
所以，化简得．
由题意，知，所以．
设点，则，
所以，化简得，
当直线或的斜率不存在时，点M的坐标为或，也满足此方程．
所以点在椭圆上，
根据椭圆定义可知，存在定点，使得为定值．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理法及题设条件求出点M的轨迹方程，再结合椭圆的定义，从而问题得到解决.