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2023-2024学年广东清远五校（南阳中学、清新一中、佛冈一中、连州中学、连山中学）高一上学期12月联考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年广东清远五校（南阳中学、清新一中、佛冈一中、连州中学、连山中学）高一上学期12月联考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，
所以其否定为“，”．
故选：B．
2．已知集合，，M、N都是全集的子集，则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件得出阴影部分对应的集合为,利用补集和交集的定义即可求解.
【详解】由图可知阴影部分对应的集合为，
因为，
所以.
所以.
故选：A.
3．函数零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用零点存在性定理判断零点所在区间即可.
【详解】由解析式知：在上恒负，故不存在零点，在上递减，
而，，
内趋向于0时，趋向正无穷，而趋向于正无穷时，趋向负无穷.
综上，零点所在的一个区间是.
故选：C
4．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化为同底，然后利用的单调性可解.
【详解】，
因为在R上单调递增，且，
所以，即.
故选：A
5．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式的解集为，
∴，且2，3是方程的两个实数根，
∴，解得，其中；
∴不等式化为，即，
解得或，因此所求不等式的解集为．
故选：D．
6．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】由，所以该函数的定义域为，显然关于原点对称，
因为，
所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC，
当时，，排除选项B，
故选：D
7．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）
A．1.25B．1.5C．1.67D．2
【答案】B
【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值.
【详解】由题意可得，所以，所以，
所以.
故选：B.
8．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【详解】，
由于，所以的定义域为，
，
所以是奇函数，
当时，为增函数，为增函数，
所以是增函数，由是奇函数可知，在上单调递增，
由得，
即，则，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A
【点睛】给定一个不等式以及函数解析式的题目，要考虑函数的单调性、奇偶性、定义域等基本性质来进行解题.是否要构造函数，构造什么类型的函数，关键是要根据已知函数的结构，选择合适的构造方法.
二、多选题
9．下列各角中，与角终边相同的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由，，得与终边相同的角为，，逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，与终边相同的角为，，当时，，故B正确；
对于C，令，解得，故C错误；
对于D，令，解得，故D错误．
故选：AB.
10．已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为8
C．的最大值为D．的最大值为2
【答案】BC
【分析】根据已知条件，结合基本不等式求解判断.
【详解】∵，，且，
∴由基本不等式可得，，解得，
当且仅当，即时等号成立，故A错误；
，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
∵，，且，∴，，
∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的最大值为，故C正确；
，故D错误．
故选：BC．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于原点对称
B．，且，则恒成立
C．
D．的值域为
【答案】AD
【分析】判断函数的奇偶性即可判断A；判断函数的单调性即可判断B；举反例可判断C；结合指数函数的性质可求得的值域，判断D.
【详解】对于A，函数的定义域为R，且，
故为奇函数，的图像关于原点对称，A正确；
对于B，，由于是R上的增函数，
故在R上单调递减，则在R上单调递增，
不妨设，且，，则，
故，B错误；
对于C，取，则，
即，C错误；
对于D，由于，且，
故，则，故，
即的值域为，D正确，
故选：AD
12．已知定义在R上的函数满足：，当时，，则（ ）
A．B．为奇函数
C．，D．是R上增函数
【答案】ACD
【分析】由赋值法取，判断A；取特殊值，结合奇函数性质可判断B；由已知可推出，反证法说明不可能等于0，判断C；根据单调性定义结合已知等式可判断D.
【详解】对于A，取，则，则或，
若，则对于任意的，有，
这与时，不符，故，A正确；
对于B，取，则，
若为奇函数，则，则，
这与矛盾，故不是奇函数，B错误；
对于C，对于任意的，有，
若存在，使得，则，
与矛盾，故，，C正确；
对于D，取，则
，
因为，故，即，而，
故，即，故是R上增函数，D正确，
故选：ACD
三、填空题
13．点是角终边上一点，则 ．
【答案】
【分析】根据任意角的三角函数定义求解即可.
【详解】根据任意角的三角函数定义，得．
故答案为：.
14．已知函数（且）的图象恒过定点A，若幂函数的图象也经过该点，则 ．
【答案】
【分析】令，求得，设幂函数，则，从而可得，进而可求解.
【详解】因为函数（且）的图象恒过定点A，
令，得，此时，所以.
设幂函数，则，解得，
所以，则.
故答案为：.
15．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分段函数单调，则每一段均单调，并且注意分界点位置高度判断.
【详解】∵函数是上的单调函数，
①是上的单调递增函数，
则，无解；
②是上的单调递减函数，
则，解得.
综上所述：的取值范围.
16．已知定义在R上的奇函数与偶函数满足. ，若，恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式，代入将问题转化为.
对恒成立，令，由单调性得出的范围，再由的单调性求得的最大值，根据恒等式的思想可求得实数的取值范围.
【详解】因为是奇函数，所以，
是偶函数，所以.
因为，
所以，即，
所以，.
所以，对恒成立，
又因为，恒成立，
因此将不等式整理得：
令，则在上单调递增，
所以，
所以，
根据基本不等式解得：当且仅当时等号成立；
所以
所以
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根据指数幂与对数的相关知识和运算性质求出答案.
【详解】（1）
（2）
18．已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)若时，求实数的取值范围．
【答案】(1)，.
(2).
【分析】（1）先解一元二次不等式得集合A，然后由集合的运算可得；
（2）根据集合的包含关系可解.
【详解】（1）由解得，
当时，，故，.
（2）由题知，
（ⅰ）当，即时，符合题意；
（ⅱ）当，即时，，
因为，所以，解得，所以．
综上所述，实数m的取值范围为.
19．已知，．
(1)求的值；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方关系和商数关系可解；
（2）分子分母同时除以弦化切，然后代入（1）中结果可得.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以．
（2）由（1）可知，
．
20．已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)己知，且在上恒成立，求a的取值范围；
(3)若关于x的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得，求解即可得出答案；
（2）函数，可得二次函数图象的开口向上，且对称轴为，题意转化为，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案；
（3）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可得出答案．
【详解】（1）当时，，
，即，解得或，
∴不等式的解集为或；
（2），
则二次函数图象的开口向上，且对称轴为，
∴在上单调递增，，
在上恒成立，转化为，
∴，解得，故实数的取值范围为；
（3）关于x的方程有两个不相等的正实数根，
∵，，，
∴且，解得，
，
令（），
在上单调递减，
，，
故的取值范围为．
21．杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生产该款产品的固定成本为4万元，每生产万件，需另投入成本万元．当产量不足6万件时，；当产量不小于6万件时，．若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完．
(1)求该款产品销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式；
(2)当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？
【答案】(1)
(2)9；9.5万元．
【分析】（1）根据题意可列出利润与产量的函数关系式.
（2）根据（1）中的关系式分类讨论和时的产量，并分别利用二次函数求最值和基本不等式求最值求出利润最大值.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以：
（2）当时，，
所以当时，取得最大值，最大值为8.5万元．
当时，
当且仅当，即时，取得最大值，最大值为9.5万元．
综上，当产量为9万件时，该工厂在生产中所获得利润最大，最大利润为9.5万元.
22．已知函数是定义域上的奇函数，且．
(1)判断并用定义证明函数在上的单调性；
(2)设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围；
(3)设函数，若对，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数性质和已知列方程求出a，b，然后按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可；
（2）利用一元二次方程根的分布列不等式组求解可得；
（3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得.
【详解】（1）由，且是奇函数，得，
于是，解得，即．
经检验，是奇函数，满足题意.
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
当，且，
则，，∴，
∴，即，
所以，函数在上单调递减．
当，且，
则，，∴，
∴，即
所以，函数在上单调递增．
（2）函数在上有两个零点，即方程在上有两个不相等的实数根，
所以在上有两个不相等的实数根，
则，解得．
（3）由题意知，
令，则，
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，
因为函数的对称轴方程为，
∴函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．
所以，，
又因为对任意的，都有恒成立，
∴，
即，解得，
又∵，所以的取值范围是．
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，
所以其否定为“，”．
故选：B．
2．已知集合，，M、N都是全集的子集，则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件得出阴影部分对应的集合为,利用补集和交集的定义即可求解.
【详解】由图可知阴影部分对应的集合为，
因为，
所以.
所以.
故选：A.
3．函数零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用零点存在性定理判断零点所在区间即可.
【详解】由解析式知：在上恒负，故不存在零点，在上递减，
而，，
内趋向于0时，趋向正无穷，而趋向于正无穷时，趋向负无穷.
综上，零点所在的一个区间是.
故选：C
4．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化为同底，然后利用的单调性可解.
【详解】，
因为在R上单调递增，且，
所以，即.
故选：A
5．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式的解集为，
∴，且2，3是方程的两个实数根，
∴，解得，其中；
∴不等式化为，即，
解得或，因此所求不等式的解集为．
故选：D．
6．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】由，所以该函数的定义域为，显然关于原点对称，
因为，
所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC，
当时，，排除选项B，
故选：D
7．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）
A．1.25B．1.5C．1.67D．2
【答案】B
【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值.
【详解】由题意可得，所以，所以，
所以.
故选：B.
8．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【详解】，
由于，所以的定义域为，
，
所以是奇函数，
当时，为增函数，为增函数，
所以是增函数，由是奇函数可知，在上单调递增，
由得，
即，则，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A
【点睛】给定一个不等式以及函数解析式的题目，要考虑函数的单调性、奇偶性、定义域等基本性质来进行解题.是否要构造函数，构造什么类型的函数，关键是要根据已知函数的结构，选择合适的构造方法.
二、多选题
9．下列各角中，与角终边相同的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由，，得与终边相同的角为，，逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，与终边相同的角为，，当时，，故B正确；
对于C，令，解得，故C错误；
对于D，令，解得，故D错误．
故选：AB.
10．已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为8
C．的最大值为D．的最大值为2
【答案】BC
【分析】根据已知条件，结合基本不等式求解判断.
【详解】∵，，且，
∴由基本不等式可得，，解得，
当且仅当，即时等号成立，故A错误；
，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
∵，，且，∴，，
∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的最大值为，故C正确；
，故D错误．
故选：BC．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于原点对称
B．，且，则恒成立
C．
D．的值域为
【答案】AD
【分析】判断函数的奇偶性即可判断A；判断函数的单调性即可判断B；举反例可判断C；结合指数函数的性质可求得的值域，判断D.
【详解】对于A，函数的定义域为R，且，
故为奇函数，的图像关于原点对称，A正确；
对于B，，由于是R上的增函数，
故在R上单调递减，则在R上单调递增，
不妨设，且，，则，
故，B错误；
对于C，取，则，
即，C错误；
对于D，由于，且，
故，则，故，
即的值域为，D正确，
故选：AD
12．已知定义在R上的函数满足：，当时，，则（ ）
A．B．为奇函数
C．，D．是R上增函数
【答案】ACD
【分析】由赋值法取，判断A；取特殊值，结合奇函数性质可判断B；由已知可推出，反证法说明不可能等于0，判断C；根据单调性定义结合已知等式可判断D.
【详解】对于A，取，则，则或，
若，则对于任意的，有，
这与时，不符，故，A正确；
对于B，取，则，
若为奇函数，则，则，
这与矛盾，故不是奇函数，B错误；
对于C，对于任意的，有，
若存在，使得，则，
与矛盾，故，，C正确；
对于D，取，则
，
因为，故，即，而，
故，即，故是R上增函数，D正确，
故选：ACD
三、填空题
13．点是角终边上一点，则 ．
【答案】
【分析】根据任意角的三角函数定义求解即可.
【详解】根据任意角的三角函数定义，得．
故答案为：.
14．已知函数（且）的图象恒过定点A，若幂函数的图象也经过该点，则 ．
【答案】
【分析】令，求得，设幂函数，则，从而可得，进而可求解.
【详解】因为函数（且）的图象恒过定点A，
令，得，此时，所以.
设幂函数，则，解得，
所以，则.
故答案为：.
15．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分段函数单调，则每一段均单调，并且注意分界点位置高度判断.
【详解】∵函数是上的单调函数，
①是上的单调递增函数，
则，无解；
②是上的单调递减函数，
则，解得.
综上所述：的取值范围.
16．已知定义在R上的奇函数与偶函数满足. ，若，恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式，代入将问题转化为.
对恒成立，令，由单调性得出的范围，再由的单调性求得的最大值，根据恒等式的思想可求得实数的取值范围.
【详解】因为是奇函数，所以，
是偶函数，所以.
因为，
所以，即，
所以，.
所以，对恒成立，
又因为，恒成立，
因此将不等式整理得：
令，则在上单调递增，
所以，
所以，
根据基本不等式解得：当且仅当时等号成立；
所以
所以
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根据指数幂与对数的相关知识和运算性质求出答案.
【详解】（1）
（2）
18．已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)若时，求实数的取值范围．
【答案】(1)，.
(2).
【分析】（1）先解一元二次不等式得集合A，然后由集合的运算可得；
（2）根据集合的包含关系可解.
【详解】（1）由解得，
当时，，故，.
（2）由题知，
（ⅰ）当，即时，符合题意；
（ⅱ）当，即时，，
因为，所以，解得，所以．
综上所述，实数m的取值范围为.
19．已知，．
(1)求的值；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方关系和商数关系可解；
（2）分子分母同时除以弦化切，然后代入（1）中结果可得.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以．
（2）由（1）可知，
．
20．已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)己知，且在上恒成立，求a的取值范围；
(3)若关于x的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得，求解即可得出答案；
（2）函数，可得二次函数图象的开口向上，且对称轴为，题意转化为，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案；
（3）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可得出答案．
【详解】（1）当时，，
，即，解得或，
∴不等式的解集为或；
（2），
则二次函数图象的开口向上，且对称轴为，
∴在上单调递增，，
在上恒成立，转化为，
∴，解得，故实数的取值范围为；
（3）关于x的方程有两个不相等的正实数根，
∵，，，
∴且，解得，
，
令（），
在上单调递减，
，，
故的取值范围为．
21．杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生产该款产品的固定成本为4万元，每生产万件，需另投入成本万元．当产量不足6万件时，；当产量不小于6万件时，．若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完．
(1)求该款产品销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式；
(2)当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？
【答案】(1)
(2)9；9.5万元．
【分析】（1）根据题意可列出利润与产量的函数关系式.
（2）根据（1）中的关系式分类讨论和时的产量，并分别利用二次函数求最值和基本不等式求最值求出利润最大值.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以：
（2）当时，，
所以当时，取得最大值，最大值为8.5万元．
当时，
当且仅当，即时，取得最大值，最大值为9.5万元．
综上，当产量为9万件时，该工厂在生产中所获得利润最大，最大利润为9.5万元.
22．已知函数是定义域上的奇函数，且．
(1)判断并用定义证明函数在上的单调性；
(2)设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围；
(3)设函数，若对，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数性质和已知列方程求出a，b，然后按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可；
（2）利用一元二次方程根的分布列不等式组求解可得；
（3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得.
【详解】（1）由，且是奇函数，得，
于是，解得，即．
经检验，是奇函数，满足题意.
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
当，且，
则，，∴，
∴，即，
所以，函数在上单调递减．
当，且，
则，，∴，
∴，即
所以，函数在上单调递增．
（2）函数在上有两个零点，即方程在上有两个不相等的实数根，
所以在上有两个不相等的实数根，
则，解得．
（3）由题意知，
令，则，
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，
因为函数的对称轴方程为，
∴函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．
所以，，
又因为对任意的，都有恒成立，
∴，
即，解得，
又∵，所以的取值范围是．
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