广东省东莞松山湖未来学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份广东省东莞松山湖未来学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022~2023学年广东省东莞市松山湖未来学校
高一（上）数学期中考试
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由交集运算可得答案.
【详解】，，则，
故选：B．
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】由，
由不一定能推出，但是由一定能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
3. 下列各组表示同一函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】两个函数若是同一函数，需定义域和对应关系相同，根据定义判断选项.
【详解】A.的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
B.和的定义域是，且，两个函数的解析式相同，所以是同一函数；
C.，，两个函数的定义域都是，两个函数的对应关系不同，所以不是同一函数；
D.的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.
故选：B
4. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出大小关系.
【详解】，.
故选：B.
5. 函数的一个单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出函数的图象，由此判断出正确答案.
【详解】，
由此画出函数的图象如下图所示，
由图可知，函数的一个单调递减区间为.
故选：A

6. 如图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据壶的结构，即可得出选项.
【详解】解：由文物的形状知，两头细中间粗，在注水过程中，以恒定的流速向其内注水，
前段部分注水高度逐渐递增，但增长速度逐步变慢，当超过中间部分，注水高中继续递增，但增长速度逐步变快，
对应图象满足条件.
故选：．
7. 已知,且,那么等于( )
A. 16 B. －16 C. －24 D. －32
【答案】D
【解析】
【分析】把原函数写成一个奇函数加常数的形式，然后利用奇函数的性质获解
【详解】设,则
所以
因为
所以
所以,即
故选：D
8. 已知,,,则的最小值是（ ）.
A. 3 B. C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得,从而根据,展开后利用基本不等式可得解.
【详解】,,,
所以,即,
则,
当且仅当且即,时取等号,
则的最小值是3.
故选：A
【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值,要注意应用条件的配凑.属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，且，下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】AD可举出反例；C选项可推导出或；B选项，根据单调可得到.
详解】若，则无意义，A错误；
因为，且为单调函数，所以，B正确；
因为，则，所以或，C错误；
若，则无意义，D错误.
故选：ACD
10. 下列函数中在区间内单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数解析式直接判断出函数的单调性，判断出AC选项，根据图象判断出D选项，根据同增异减判断B选项.
【详解】在上单调递增，故A错误；
可以看出，的复合，由同增异减可知在区间内单调递减，B正确；
定义域为，由同增异减可知在上单调递增，故C错误；
的图象如图所示，可以看出：在上单调递减，D正确.

故选：BD
11. 已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】依题意可得、两个数一个大于，一个大于且小于，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可；
【详解】解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；
②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；
故选：AC
12. 在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 对任意，都有
【答案】BCD
【解析】
【分析】若定义域为，通过对称中心可代入函数，整理可得A和C选项，结合题意可得关于原点对称，得D选项正确，将1代入可求得B选项
【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以，所以，故A错误，C正确；
结合题意可得关于原点对称，所以对任意，都有，故D正确；
代入1得，且所以，故B正确
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 函数的图象过定点_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用求得正确答案.
【详解】当时，，
所以定点为.
故答案为：
14. 已知函数，则该函数的单调递增区间是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性的性质进行求解即可.
【详解】指数函数是实数集上的单调减函数，
因为，所以该二次函数对称轴为，
所以该二次函数单调递减区间是，因此函数，则该函数的单调递增区间是.
故答案为：
15. 已知函数同时满足条件：①定义域为；②，；③．请写出这样的一个函数__________
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据①③可知函数的定义域和单调性，对比②和对数运算可得答案.
【详解】因为，定义域为
所以函数是定义在上的增函数，
又因为，
所以对数函数满足条件，，
综上，函数可以是底数大于1的对数函数.
故答案为：（答案不唯一）
16. 已知函数和分别由下表给出：

1
2
3
4
5

1
4
9
16
25

2
3
4
5
6

1
3
2
4
5
则__________，不等式的解集为__________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】由内到外，先由表得到的值，再由表得出的值即可；第二空先查的的值，再由等于刚才查出的的值，查出对应的的值即可.
【详解】由表得 ， ，所以 ；
当时，
由 得 ，由得 ，由 得 ；
所以 的解集为
故答案为：2; .
四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算或化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2 （2）0
【解析】
【分析】（1）由指数幂的运算性质求解
（2）由对数的运算性质求解
【小问1详解】
原式


【小问2详解】
原式


18. 已知集合，集合
（1）当时，求；
（2）若是的必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集直接运算求解；
（2）由题意分析可得：，分和两种情况，结合包含关系运算求解.
【小问1详解】
当时，，所以.
【小问2详解】
因为是的必要条件，则，
①当时，，解得；
②当时，，解得；
综上所述：m的取值范围为.
19. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，
（1）求函数的解析式
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设，利用可求得在上的解析式，再由可得出函数的解析式；
（2）分、解方程，综合可得出的值.
【小问1详解】
解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又当时，，
设，则，所以，又是奇函数，所以，
即，所以，
综上可得；
【小问2详解】
解：因为，
又，显然，
所以或，
解得或.
20. 在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题.例如：若，则；（假命题）.这个命题是省略了量词的全称量词命题.
（1）“若，则.”用含量词的符号表示为：，.请你写出这个命题的否定；
（2）求的取值范围，使“若，则”是真命题.
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）全称量词命题的否定形式是存在量词命题；
（2）先将恒成立问题通过分离参数转化求函数最值问题来解决，再将分式函数变形转化，最后结合正定等条件利用基本不等式求最值即可.
【小问1详解】
命题的否定为：，；
【小问2详解】
由，，得，
“若，则”是真命题，
即对任意，成立.
令，，则，
，
当且仅当＝，即时，等号成立，
，要使对任意恒成立，则.
故的取值范围为.
21. 已知函数，
（1）判断的单调性并用定义证明．
（2）在（1）的条件下，若实数满足，求的取值范围．
【答案】（1）函数是上的单调增函数；证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论即可求证；
（2）根据单调性以及定义域列不等式即可求解.
【详解】（1）函数是上的单调增函数．证明如下：
任取且，则
，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数是上的单调增函数．
（2）由（1）知函数是上的单调增函数，
由可得所以，解得：，
所以的取值范围为．
22. 已知为偶函数，为奇函数，且满足.
（1）求、；
（2）若方程有解，求实数的取值范围；
（3）若，且方程有三个解，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）由已知条件可得出、的等式组，由此可解得这两个函数的解析式；
（2）令，分析可知函数在上有零点，分、两种情况讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围；
（3）作出函数的图象，分析可知方程有两个不等的实根，从而方程有且只有一个根，数形结合可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，
即，所以，，解得；
（2）由可得，
令，当且仅当时，等号成立，则，
故有，其中，
令，其中，则函数在上有零点，
①当时，即当时，则在上单调递增，所以，，不合乎题意；
②当时，即当时，则有，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是；
（3），作出函数的图象如下图所示：

由可得，
由图可知，方程有两个不等的实根，
由题意可知，方程有且只有一个根，故或，解得或.
因此，实数的取值范围是.