山东省济宁市兖州区2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题(原卷版+解析版)
展开注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知,那么( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数的性质和计算公式,直接计算即可求解.
【详解】由,得,即,
整理得,解得或(舍去).
故选:C
2. 某学校5个班分别从3个景点中选择一处游览,则不同选法的种数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分步乘法原理即可得到答案.
【详解】每个班都有3种选择,利用分步乘法计数原理,共有种不同选法.
故选:A.
3. 若随机变量的分布列为
且,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由随机变量的分布列的性质和数学期望公式得出答案.
【详解】根据所给的分布列,可得,
由,可得,解得.
故选: A.
4. 已知函数的导函数为,若,则( )
A. B. 1C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】求导可得,令求得,进而即可求出.
【详解】由,得,
则,解得,
所以,得.
故选:D
5. 今年贺岁片,《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场,小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影,则恰有两人看同一部影片的选择共有( )
A. 9种B. 36种C. 38种D. 45种
【答案】B
【解析】
【分析】先安排2人看同一部影片,再安排剩余2人,利用排列组合知识进行求解.
【详解】从4人中选择2人看同一部影片,再从3部影片中选择一部安排给这两人观看,
剩余的2人,2部影片进行全排列,
故共有种情况.
故选:B
6. 已知为的导函数,则的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导可得,则为奇函数且,结合选项即可求解.
【详解】由题意知,,定义域为,
又,所以为奇函数,排除BD;
又,排除C;
结合选项,A符合题意.
故选:A
7. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图,现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同.记事件:“区域2和区域4颜色不同”,事件:“所有区域颜色均不相同”,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知,结合条件概率公式求解即可.
【详解】事件:“区域2和区域4颜色不同”即从5种颜色选出两种放入区域2和区域4,
再从剩余的3种颜色选出一种放入区域5,剩余的区域1和区域3分别都有两种选择,
即有种,
事件有种,
所以,
故选:C.
8. 设,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】易得,构造函数,利用导数判断出函数的单调性,再根据函数的单调性即可比较的大小关系,即可得解.
【详解】,
令,则,
令,则,
当时,单调递减,
当时,单调递增,
所以,
所以在上单调递增,
所以,即,所以.
综上,.
故选:A
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.
9. 在的展开式中,下列说法正确的是( )
A. 常数项是
B. 第四项和第八项的系数相等
C. 各项的二项式系数之和为1024
D. 各项的系数之和为1024
【答案】AC
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可判断AB;根据各项的二项式系数之和为即可判断C;利用赋值法即可判断D.
【详解】的展开式的通项公式为.
A:令,解得,所以常数项为,故A正确;
B:第四项为,第八项为,
有,故B错误;
C:,即各项的二项式系数之和为1024,故C正确;
D:设,则,所以各项的系数之和为1,故D错误.
故选:AC
10. 下列说法正确的是( )
A. 设,且,则
B. 两批同种规格的产品,第一批占,次品率为,第二批占,次品率为.将两批产品混合,从混合产品中任取1件,则该件产品是合格品的概率是
C. 抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为,则
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据事件包含关系及条件概率可判定A,根据全概率公式可判定B,求出随机变量X的分布列及数学期望,利用数学期望的性质可判定C,根据方差的性质可判定D.
【详解】选项A:因为,且,
则,即,
所以,故A错误;
选项B:设“从混合产品中任取1件是合格品”,“从混合产品中任取1件是第一批产品“,
“从混合产品中任取1件是第二批产品”,
则
所以,故B正确;
选项C:抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为,
则的可能取值为1,2,3,4,5,6,
且,
所以,
所以,故C正确;
选项D:,故D错误;
故选:BC.
11. 已知函数,则( )
A. 有两个极值点
B. 有一个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性,结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB;根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C;根据导数的几何意义即可判断D.
【详解】A:,
令得或,令得,
所以,上单调递增,上单调递减,
所以时取得极值,故A正确;
B:因为,,,
所以函数只在上有一个零点,即函数只有一个零点,故B正确;
C:令,该函数的定义域为,,
则是奇函数,是的对称中心,将的图象向上移动一个单位得到的图象,
所以点是曲线的对称中心,故C正确;
D:令,可得,又,
当切点为时,切线方程为,
当切点为时,切线方程为,故D错误.
故选:ABC.
【点睛】关键点点睛:本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换,其中选项C,构造函数,奇函数图象关于原点对称推出的对称性是解决本题的关键.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 在的展开式中,的系数是__________.
【答案】10
【解析】
【分析】利用二项式展开式定理把展开,再由所求的对象可判断含项的一定是:,从而可计算出系数.
【详解】由二项式展开式定理可得:,
所以含项的一定是:,
故答案为:.
13. 某中学元旦晚会共由7个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在乙前面,丙不能排在最后一位,该晚会节目演出顺序的编排方案共有__________种.(用数字作答)
【答案】2160
【解析】
【分析】先排丙不能排在最后一位的可能性结果,结合对称性分析求解.
【详解】因为丙不能排在最后一位,则编排方案共有种,
又因为甲、乙处于对称位置,即节目甲排在乙的前面与节目乙排在甲的前面数量相等,
所以该晚会节目演出顺序的编排方案共有种.
故答案为:2160.
14. 已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点.若,则a的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】法一:依题可知,方程的两个根为,即函数与函数的图象有两个不同的交点,构造函数,利用指数函数的图象和图象变换得到的图象,利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率,根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]:【最优解】转化法,零点的问题转为函数图象的交点
因为,所以方程的两个根为,
即方程的两个根为,
即函数与函数的图象有两个不同的交点,
因为分别是函数的极小值点和极大值点,
所以函数在和上递减,在上递增,
所以当时,,即图象在上方
当时,,即图象在下方
,图象显然不符合题意,所以.
令,则,
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为,
则切线的斜率为,故切线方程为,
则有,解得,则切线的斜率为,
因为函数与函数的图象有两个不同的交点,
所以,解得,又,所以,
综上所述,的取值范围为.
[方法二]:【通性通法】构造新函数,二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点,
所以函数在和上递减,在上递增,
设函数,则,
若,则上单调递增,此时若,则在
上单调递减,在上单调递增,此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点,则,不符合题意;
若,则在上单调递减,此时若,则在上单调递增,在上单调递减,令,则,此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点,且,则需满足,,即故,所以.
【整体点评】法一:利用函数的零点与两函数图象交点的关系,由数形结合解出,突出“小题小做”,是该题的最优解;
法二:通过构造新函数,多次求导判断单调性,根据极值点的大小关系得出不等式,解出即可,该法属于通性通法.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 甲乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮;已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为.在前3次投篮中,乙投篮的次数为,求随机变量的分布列、数学期望和方差.
【答案】分布列见解析,期望方差
【解析】
【分析】由题意得的所有可能取值为0,1,2.根据独立事件的乘法公式计算求出对应的概率,列出分布列,求出数学期望和方差即可.
【详解】依题意,的所有可能取值为0,1,2.
,
所以的分布列为:
数学期望..
方差
16. 若,请求值:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1)1 (2)65536
(3)3072
【解析】
【分析】(1)利用赋值法,令即可求解,
(2)在中令即可求解,
(3)求导后赋值即可求解.
【小问1详解】
令得;
【小问2详解】
等于的展开式的各个项系数的和,
令代入,
则
【小问3详解】
令,.
则,
且,
令,则,
且,
所以.
17. 现有大小相同的8个球,其中2个标号不同的红球,3个标号不同的白球,3个标号不同的黑球.(结果用数字作答)
(1)将这8个球排成一列且相同颜色的球必须排在一起,有多少种排列的方法?
(2)将这8个球排成一列,黑球不相邻且不排两端,有多少种排列的方法?
(3)若从8个球中任取4个球,则各种颜色的球都被取到的概率为多少?
【答案】(1)432 (2)2880
(3)
【解析】
【分析】(1)先把相同颜色的球看成一个整体,排3种不同的颜色的球,再各自排红色、白色、黑色的球;
(2)先把除黑球外的5只球,结合插空法即可求解;
(3)满足要求的事件为必有一种颜色取两个球,其余颜色各取一个,结合古典概型的概率公式计算即可求解.
【小问1详解】
把相同颜色的球看成一个整体,故3种不同的颜色的排法有,
2只不同的红球的排列有只不同的白球的排列有只不同的黑球的排列有,
故不同的排列的总数为;
【小问2详解】
先把除黑球外的5只球全排列,共有种,
再把3个黑球插入上述5个球中间的4个空挡,有种,
故共有.
【小问3详解】
从8个球中任取4个球共有,
取4只球,若各种颜色的球都被取到,则必有一种颜色取两个球,其余颜色各取一个,
故不同的取法总数为,
所以各种颜色的球都被取到的概率为.
18. 已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
【详解】试题分析:(1)讨论单调性,首先进行求导,发现式子特点后要及时进行因式分解,再对按,进行讨论,写出单调区间;(2)根据第(1)问,若,至多有一个零点.若,当时,取得最小值,求出最小值,根据,,进行讨论,可知当时有2个零点.易知在有一个零点;设正整数满足,则.由于,因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析:(1)的定义域为,,
(ⅰ)若,则,所以在单调递减.
(ⅱ)若,则由得.
当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增.
(2)(ⅰ)若,由(1)知,至多有一个零点.
(ⅱ)若,由(1)知,当时,取得最小值,最小值为.
①当时,由于,故只有一个零点;
②当时,由于,即,故没有零点;
③当时,,即.
又,故在有一个零点.
设正整数满足,则.
由于,因此在有一个零点.
综上,的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围,第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数,研究其单调性、极值、最值,判断与其交点的个数,从而求出a的取值范围;第二种方法是直接对含参函数进行研究,研究其单调性、极值、最值,注意点是若有2个零点,且函数先减后增,则只需其最小值小于0,且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
19. 帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足:,.(注:为的导数)已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值;
(2)比较与大小;
(3)证明:.
【答案】(1),
(2)时,;时,
(3)证明见解析
【解析】
【分析】(1)由题意,分别求出和,结合新定义建立方程组,解之即可求解;
(2)由(1),设,利用导数研究函数单调性即可求解;
(3)由(2),令,得,取,利用累加法计算即可求解.
【小问1详解】
由,,有,
则,,,,
由题意,,所以,
所以,;
【小问2详解】
由(1)知,,令,
则,
所以在内为增函数,又,
时,;
时,;
所以时,;时,.
【小问3详解】
由(2)得时,,即,亦即时,.
令,得代入上式得.
取得:
,,,
上面各式相加得:
【点睛】方法点睛:比较大小常用的方法
(1)利用基本函数的单调性,根据函数的单调性判断,
(2)利用中间值“1”或“0”进行比较,
(3)构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
P
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