山东省济宁市兖州区2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题

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参考答案及评分标准
一、单项选择题:
1.C 2.A 3.D 4.D 5. B 6.A 7. C 8.D
8.【解析】，
令，则，
令，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，即，所以.
综上，.故选D
多项选择题:
9. AC 10.BC 11. ABC
11.【解析】由题得，，令得或，
令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以时取得极值，故A正确；
因，，，
所以，函数只在上有一个零点，即函数只有一个零点，故B正确；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：ABC.
三、填空题:
12 .【答案】10 13. 【答案】2160 14．【答案】
14.【解析】 f'x=2lna⋅ax-2ex，
因为x1,x2分别是函数fx=2ax-ex2的极小值点和极大值点，
所以函数fx在-∞,x1和x2,+∞上递减，在x1,x2上递增，
所以当x∈-∞,x1∪x2,+∞时，f'x<0，当x∈x1,x2时，f'x>0，
若a>1时，当x<0时，2lna⋅ax>0,2ex<0，则此时f'x>0，与前面矛盾，
故a>1不符合题意，
若0即方程lna⋅ax=ex的两个根为x1,x2，
即函数y=lna⋅ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，
∵0又∵lna<0,∴y=lna⋅ax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的lna倍得到，如图所示：

设过原点且与函数y=gx的图象相切的直线的切点为x0,lna⋅ax0，
则切线的斜率为g'x0=ln2a⋅ax0，
故切线方程为y-lna⋅ax0=ln2a⋅ax0x-x0，
则有-lna⋅ax0=-x0ln2a⋅ax0，解得x0=1lna，
则切线的斜率为ln2a⋅a1lna=eln2a，
因为函数y=lna⋅ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，
所以eln2a又0综上所述，a的范围为1e,1.
四、解答题:
15.(本题满分13分）
【解析】依题意，的所有可能取值为0,1,2，分
分
所以的分布列为：
分
数学期望分
方差分
16.(本题满分15分）
【解析】
【小问1详解】
令得分
【小问2详解】
等于的展开式的各个项系数的和,令,则
分
【小问3详解】
分
17.(本题满分15分）
【解析】
【小问1详解】把相同颜色的球看成一个整体，故3种不同的颜色的排法有，
2只不同的红球的排列有只不同的白球的排列有只不同的黑球的排列有，
故不同的排列的总数为分
【小问2详解】先把除黑球外的5只球全排列，共有种，再把3个黑球插入上述5个球中间的4个空挡，有种，故共有．分
【小问3详解】从8个球中任取4个球共有，取4只球，若各种颜色的球都被取到，则必有一种颜色取两个球，其余颜色各取一个，故不同的取法总数为，则各种颜色的球都被取到的概率为．分
18.(本题满分17分）
【解析】
小问1详解】的定义域为，
.
(ⅰ)若，则，所以在上单调递减分
(ⅱ)若，则由得.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增分
小问2详解】
(ⅰ)若，由(1)知，至多有一个零点分
(ⅱ)若，由(1)知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；分
②当时，由于，即，故没有零点；分
③当时，，即.
又，由(1)知,在上有一个零点.
因为，
又因为当时，，又当，可得.由于
，且，所以在上有一个零点.所以上有两个零点.
综上,的取值范围为分
19.(本题满分17分）
【解析】
【小问1详解】
由，，有，
可知，，，，
由题意，，，所以，所以，
分
【小问2详解】
由（1）知，，令，
则，
所以在其定义域内为增函数，又，
时，；时，；
所以时，；时，分
【小问3详解】
由（2）得时，，即,亦即时,.
分
P