2023-2024学年湖南省常德市第一中学高一上学期10月月考数学试题含答案

2023-2024学年湖南省常德市第一中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．设全集，集合，，则（ ）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用补集和并集的概念计算即可.【详解】∵全集，集合，，∴，∴．故选：D．2．命题“，”的否定得（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】将“”改为“”，只否定结论.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：A．3．“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用．4．若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的对称轴在区间的左边，即可得到答案；【详解】由题意得：，故选：C5．若实数、、满足,则下列不等式正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用取特殊值的方法和差比的比较法即可选出正确答案.【详解】选项A：当时,显然满足,但是,显然不成立；选项B：,因为,所以,故本结论成立；选项C：当时,显然不成立；选项D：当时,不等式能成立,但是此时不成立.故选B【点睛】本题考查了利用已知不等式判断有关不等式是否成立问题,利用特殊值法、差比的比较法、不等式的性质是解决这类问题的常用方法.6．已知，，且，则的最小值为（    ）A．9 B．10 C．11 D．【答案】B【解析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．【详解】，，又，且，，当且仅当，解得，时等号成立，故的最小值为10．故选：B．【点睛】本题考查利用基本不等式求最和的最值，考查“1”的巧妙运用，难度一般，灵活转化是关键.7．若，，定义且，则（    ）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】分别解不等式，根据的定义直接计算即可.【详解】由已知，，则，故或，故选：B.8．，，若对任意的，存在，使，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出两个函数在上的值域，然后由条件可得的值域是值域的子集，即可建立不等式求解.【详解】函数，因为，所以在的值域为，函数在的值域为，因为对任意的，存在，使，所以，所以，解得．故选：A．二、多选题9．集合，则下列关系错误的是（     ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】先将集合M，N进行化简，然后根据元素的关系判断集合的关系．【详解】时，表示所有奇数，表示所有整数，所以且，所以CD正确.故选：AB10．已知函数关于函数的结论正确的是（    ）A．的定义域为R B．的值域为C．若，则x的值是 D．的解集为【答案】BC【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D.【详解】函数的定义域是，故A错误；当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．故选：BC．11．若不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ）A． B．C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为【答案】ABD【分析】先由题意及根与系数的关系得到，，即可判断A、B；对于C、D：把不等式转化为，即可求解.【详解】因为不等式的解集为，所以，故，此时，所以A正确, B正确；，解得：或.所以D正确；C错误.故选：ABD12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则关于函数和的叙述中正确的是（    ）A． B．函数的值域为C．方程的解集为R D．若，则【答案】ACD【分析】根据高斯函数的定义结合选项逐项分析即可得出结果.【详解】根据高斯函数的定义：对于A，显然正确；对于B，因为，函数的值域为[0，1），所以B错误；对于C，因为函数的值城为[0，1），所以对任意的x，方程的解集为R.所以C正确；对于D，∵.∴，即，所以D正确.故选：ACD.三、填空题13．设函数，则 .【答案】【解析】先求出，再求出的值即可【详解】解：因为，所以，故答案为：【点睛】此题考查分段函数求值，求值时要注意自变量的取值范围，属于基础题14．已知函数的定义域为，求的定义域 ．【答案】【分析】由题可列式，解出即可.【详解】由题意，函数的定义域为，则函数满足，解得，即，即函数的定义域为．故答案为：.15．已知命题p：“，”是假命题，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】由题意可知命题的否定为真命题，再由不等式恒成立讨论的取值即可求解.【详解】由题可得“，恒成立”是真命题当时，则有恒成立，符合题意；当时，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：16．已知函数，若在上的值域为，则实数t的取值范围为 ．【答案】【分析】根据题意分析可得：在上的值域为，讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数的对称性分析运算.【详解】当时，则，即在上的值域为；当时，则，可得：在上的值域为，∵开口向下，对称轴为，则有：①当，即时， 在上单调递减，则，不合题意，舍去；②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，则，解得，又∵，则，∴；③当，即时，在上单调递增，且，则在上的值域为，不合题意，舍去；综上所述：实数t的取值范围为.故答案为：.四、解答题17．已知集合.(1)求;(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）解一元二次方程求得集合，根据集合并集计算即可；（2）根据题意得，即可得到方程求出的值，验证即可.【详解】（1）由题知，由，解得或，所以，由，解得或，所以，所以.（2）因为，所以，所以，解得或，当时，，与矛盾，当时，，满足题意，综上可得，，所以的值.18．已知a，b为正实数，且满足．(1)求ab的最大值；(2)求的最小值．【答案】(1)8(2)【分析】根据题意整理可得，令，利用分离常数结合基本不等式运算求解.【详解】（1）∵，则，可得，令，则，∴，又∵，当且仅当，即时等号成立，∴，故ab的最大值为8.（2）由（1）可知：，令，则，∴，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.19．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为的矩形市民休闲广场.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为的草坪，南北边缘都留有的空地栽植花木.(1)设占用空地的面积为（单位：），矩形休闲广场东西距离为（单位：，），试用表示的函数；(2)当为多少时，占用空地的面积最少？并求最小值.【答案】(1)；(2)当休闲广场东西距离为40m时，用地最小值为4880m2.【分析】（1）根据矩形面积公式求得的表达式.（2）利用基本不等式求得的最小值以及此时的值.【详解】（1）因为广场面积须为，所以矩形广场的南北距离为，所以.（2）由（1）知，当且仅当时，等号成立.答：当休闲广场东西距离为时，用地最小值为4880m2.20．已知.（1）若关于的不等式的解集为或，求实数的值；（2）若关于的不等式的解集中恰有个整数，求正整数的值.【答案】（1）；（2）1或2.【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，结合韦达定理可得；（2）根据是正数，求得不等式的解，然后考虑正整数解的情况可得的值．【详解】解：（1）若不等式的解集为，则，.（2）不等式即有两整数解，，又为正整数，则解集必含，两整数解为，或，.当时，整数解为，，，不符合；或21．已知定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式;(2)判断的单调性（并用单调性定义证明）;(3)解不等式.【答案】(1)(2)函数在上单调递增，证明见解析；(3)【分析】（1）由题意得，又，求解、，即可得出答案；（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，通分、因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；（3）根据单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可，需注意函数的定义域.【详解】（1）定义在上的奇函数，则，即，解得，又，即，解得，，经检验符合题意；（2）函数在上是增函数，证明如下：任取、且，则，因为，则，，故，即，因此函数在上是增函数.（3），，，解得，不等式的解集为．22．已知二次函数（1）若在的最大值为，求的值；（2）若对任意实数，总存在，使得．求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】由解析式可知为开口方向向上，对称轴为的二次函数；（1）分别在和两种情况下，根据函数单调性可确定最大值点，由最大值构造方程求得结果；（2）将问题转化为对恒成立，分别在、、和，根据单调性可得，将看做关于的函数，利用恒成立的思想可求得结果.【详解】由解析式知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数，（1）当，即时，在上单调递减，，不合题意；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，又，，在的最大值为，，解得：；综上所述：.（2）若对任意实数，总存在，使得，则对恒成立，①当时，在上单调递增，，当时，单调递增，，；②当，即时，在上单调递减，，当时，单调递减，，；③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，当时，又，，令，则在上单调递增，，解得：；④当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，当时，在上单调递减，，解得：；综上所述：的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查根据二次函数最值求解参数值、恒成立问题的求解，本题解题关键是能够将问题转化为对恒成立，从而通过对于函数单调性的讨论得到最值.