2023-2024学年福建省福州市永泰县第一中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省福州市永泰县第一中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数，是的反函数，则（ ）
A．10B．8C．5D．2
【答案】C
【分析】根据对数函数与指数函数的反函数关系，再应用对数及指数运算即可.
【详解】因为函数，是的反函数，故，故.
故选：C
2．已知全集，集合，那么（ ）
A．（－1，4）B．（－1，4]C．（－2，5）D．[－2，5）
【答案】D
【分析】通过解绝对值不等式和分式不等式求出集合，然后求并集.
【详解】由，解得，，即
由，可得，即
所以
故选：D
3．下面命题中不正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“
C．设x，，若“”则“且”是真命题
D．设a，，则“且”是“”的充要条件
【答案】C
【分析】利用充分必要条件的定义判断AD，利用命题的否定判断B，举反例来判断C.
【详解】解：A，或，
“”是“”的充分不必要条件，A正确；
B，命题“”的否定是“，B正确；
C，当时，满足，但且不成立，C错误；
D，∵且，D正确.
故选：C．
4．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性以及定义域判断BD，由判断AC.
【详解】由图可知，函数为奇函数，且定义域不是.
对于B，的定义域为，故B错误；
对于D，，即该函数为偶函数，故D错误；
对于AC，两个函数的定义域都为，因为，所以A错误，C正确；
故选：C
5．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由特殊角三角函数值、指数函数和对数函数单调性，结合临界值可得到大小关系.
【详解】，.
故选：A.
6．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.
【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数,
又，，
由零点存在定理可知,零点所在区间为.
故选:.
7．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，
分、、讨论，根据在上单调性可得答案.
【详解】因为是减函数，函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，
当时，在单调递减， 时，符合题意；
当时，若在单调递减，
则，解得；
当时，若在单调递减，
则，解得；
综上所述，实数a的取值范围.
故选：A.
8．已知函数满足，函数，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】已知条件可得出，由，有，可得出结果.
【详解】依题意有，
设，则，∴，
即，所以.
故选：D
二、多选题
9．下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则
B．在定义域内既是奇函数，又是减函数
C．若有意义，则
D．为奇函数
【答案】AD
【分析】先根据同角三角函数关系判断,根据函数单调性,对数函数定义域和奇偶性判断选项即可.
【详解】对于:因为,可得,,故正确;
对于:,,则在定义域内不是减函数,故错误;
对于:若有意义,则,可得定义域为,故错误;
对于:的定义域为关于原点对称
,为奇函数,故正确.
故选:.
10．下列说法正确的有（ ）
A．终边在y轴上的角的集合为
B．已知，则
C．已知x，，且，则的最小值为8
D．已知幂函数的图象过点，则
【答案】BD
【分析】根据终边在y轴上的角的集合为可判定选项A，根据指数式与对数式互化可求出a、b，从而可判定选项B，利用“1“的代换和基本不等式可判定选项C，利用幂函数的定义和性质可判定选项D.
【详解】解：终边在y轴上的角的集合为，故选项A不正确；
因为，所以，，则，故选项B正确；
因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9，故选项C不正确；
因为幂函数的图象过点，所以，，即，所以，故选项D正确．
故选：BD
11．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．
C．当时，
D．对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立.
【答案】ABD
【分析】判断的正负即可判断A；判断与2的关系即可判断B；通过，判断及的单调性；根据复合函数单调性即可判断在上单调性，进而求解值域判断C；根据奇偶性及在上单调递减判断在定义域上的单调性，再结合单调性的定义即可判断D.
【详解】因为，所以，即恒成立，
所以函数的定义域为R，故选项A正确；
，
所以，故选项B正确；
因为，
且函数在上单调递增，又有在上单调递减，
所以在上单调递减，所以，
且x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷，所以，故选项C错误；
记函数，由选项A知的定义域为R，
且，所以是奇函数，
因为，且函数在上单调递增，
又有在上单调递减，所以在上单调递减，所以，
因为是奇函数，所以在上单调递减，
所以在R上单调递减，且，所以在R上单调递减，
所以对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立，故选项D正确.
故选：ABD
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是
B．若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是
C．若函数有四个零点，，则
D．若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【分析】根据函数图象变换作出函数图象即可判断选项A，数形结合将问题转化为的图象与直线有三个交点即可判断选项B，根据题意，作出图象，确定有四个交点时，，利用双勾函数性质求出的取值范围，即可求解选项C，根据一元二次方程的根结合的图象，数形结合可判断选项D.
【详解】利用函数图象变换，作图如下：
由图可知，函数的单调递增区间是，故A错误；
函数恰有三个零点，
即的图象与直线有三个交点，所以或，
故B正确；
函数有四个零点，则，
不妨设，
令，解得或，
令，解得或，
所以由图可知，
，
则有，即，
所以，所以，
，即，
则，所以，
设，则对钩函数在单调递减，
所以，
所以，
即
又因为，所以，
故C正确；
令，解得或，
由解得，所以有三个不同的解，
由B选项分析过程可知，或，解得，或，
所以实数的取值范围是，故D正确；
故选:BCD.
【点睛】关键点点睛：数形结合是解决本题的关键，选项B中将问题转化为的图象与直线有三个交点，选项C中，根据的图象与直线有四个交点，确定四个零点分布的位置，并根据解析式确定和，利用换元思想将变为单变量函数，利用双勾函数性质求范围,属于综合性较强的问题.
三、填空题
13．一个扇形的面积是，它的周长是，则圆心角为 弧度．
【答案】2
【分析】设出扇形的圆心角和半径，利用扇形的周长和面积列方程组求出圆心角的值．
【详解】解：设扇形的圆心角为，半径为，
则扇形的周长为，①
面积为，②
由①②解得，；
所以扇形的圆心角为2弧度．
故答案为：2
14．已知A是三角形内角，且，则 ．
【答案】
【分析】根据正切值的正负确定A为钝角，再根据同角三角函数关系求出余弦值即可得解.
【详解】因为，且A为三角形内角，所以A为钝角，则，
又，解得（正值舍去）.
故答案为：.
15．已知函数有两个零点且均比大，实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用二次函数零点的分布列式即可得解.
【详解】因为有两个零点且均比大，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
16．已知函数 ，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是 ，设，则 .
【答案】
【分析】画出函数的图像，结合图像找到，，然后利用、可得答案.
【详解】由 有四个不同的零点 ，即方程 有四个不同的解，
函数 的图像如下图，且 与 的交点的横坐标为 ，
与 的交点的横坐标为 ，
由图可知 ，
由二次函数的对称性，可得 ，
由 ，得 ，
即 ，得 ，所以 ，
故 .
故答案为：① ；②-2.
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)5
(2)21
【分析】（1）利用根式与指数幂的运算及特殊角三角函数值求解；
（2）利用对数的性质和运算求解.
【详解】（1）
；
（2）
.
18．已知角的终边经过点().
（1）求的值；
（2）若是第二象限角，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先利用诱导公式对式子进行化简，再根据角的终边经过的点求出，即可求解；
（2）先根据是第二象限角，判断出的符号，进而根据三角函数定义求出，再对式子进行化简代入即可求解.
【详解】解：（1）,
,
即
.
又角的终边经过点()，
，
故；
（2）是第二象限角，
，
则，
，
.
19．已知，．
(1)求的值；
(2)若且，试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出的值，再利用完全平方公式即可求出的值；
（2）根据第一问求出的值，再利用齐次法求出的值，进行比较即可.
【详解】（1）因为，两边平方得，
所以，
因为，所以，，所以，
所以，所以；
（2）由（1）得，，
两式相加得，则；
两式相关系得，则；
所以，
因为，则，
又，所以，
即，解得（正值舍去），
因为，所以.
20．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为时，该公司对函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立.
(1)现有两个奖励函数模型：①；②.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围.
【答案】(1) 函数模型：②符合公司要求；(2) ．
【解析】(1)由判断函数模型：①不符合条件③，故不符合公司要求；一一验证函数模型： ②满足题目给出的三个条件，说明函数模型： ②符合公司要求；
(2)由说明符合条件①，再求解基本不等式及基本不等式取最值时满足的条件求出a满足②③的范围，取交集即可．
【详解】(1)对于函数模型：①，验证条件③：当时而即不成立，故不符合公司要求；
对于函数模型：②，当时，条件①是增函数满足；
∴，满足条件②；
对于条件③：记
则
∵∴当时，
∴恒成立，即条件③也成立.
故函数模型： ②符合公司要求.
(2)∵，∴函数符合条件①；
由函数符合条件②，得，解得：；
由函数符合条件③，得对恒成立，
即对恒成立.
∵，当且仅当，即x=50时等号成立，
∴
综上所述，实数a的取值范围．
【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围．
21．已知．
(1)求函数的表达式，判断函数的单调性并证明；
(2)关于x的不等式在上有解，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；在R上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）令，则，代入条件可得答案，然后任取，通过计算的正负可得单调性；
（2）将原式整理得到在上有解，转化为，求出的最大值即可.
【详解】（1）令，则，故，
在R上单调递增，证明如下：
任取，则，
，，
，即，
故在R上单调递增；
（2）由已知，
化简得，
令，由（1）知在上单调递增，
所以，
故在上有解，
即在上有解，则，
因为在上单调递减，又，
.
22．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数有且仅有一个零点，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2），，由参变量分离法可得出，结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围；
（3）令，所以关于的方程有且仅有一个正实根，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围.
【详解】（1）因为，，所以，
则，又，
所以，
所以，解得，
所以.
（2）由，得，
当时，，令，则，
所以对任意，恒成立，等价于在上恒成立，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上的最大值为，
所以，
所以实数的取值范围为.
（3）因为函数有且仅有一个零点，
令，所以关于的方程有且仅有一个正实根，
因为，所以有且仅有一个正实根，
当，即时，方程可化为，解得，不符合题意；
当，即时，函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点，
所以方程恒有一个正实根；
当，即时，要使得有且仅有一个正实根，
则，解得.
综上，实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题第3小题解决的关键是熟练掌握二次方程根的分布，从而得解.