2022-2023学年云南省保山市高二上学期10月份联考数学试题含答案

2022-2023学年云南省保山市高二上学期10月份联考数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用集合的交并补运算，先求，再求即可.

【详解】并集及其运算

集合，

.

故选：C.

2．计算（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数除法运算法则计算即可.

【详解】，

故选：D

3．“”是“”的（    ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】由解出的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：由得或

或，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．如果，那么的最小值是（    ）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】D

【分析】利用配凑法来解决基本不等式即可.

【详解】 ，当且仅当“”等号成立. 的最小值为4.

故选：D

5．若，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系式化简求值.

【详解】因为，

得，又，

所以．

所以,

故选：D.

6．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（    ）

A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位

C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位

【答案】B

【分析】利用两角和差公式先将函数化简为，然后再通过三角函数图像的伸缩平移得出答案.

【详解】由题意得，

所以应把函数的图像向右平移个单位.

故选：B.

7．在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，根据直线与平面垂直的判定定理可得平面，再根据平面与平面垂直的判定定理得出平面平面，交线为，在平面内过作于，则的长即为点到截面的距离，在中，利用等面积法求出即可.

【详解】如下图所示：

设，，，又，

平面，平面，平面平面.

又平面平面，过点在平面内作于点，

则的长即为点到截面的距离，在中，，，

由，可得，因此，点到截面的距离为，故选B.

【点睛】本题考查点到平面的距离的计算，考查空间想象能力与逻辑推理能力，属于中等题.

8．圆：与圆：有且仅有一条公切线，则（    ）

A．16 B．25 C．36 D．16或36

【答案】C

【详解】解：由圆：，得，

则圆的圆心，半径，

由圆：，

得圆的圆心，半径且，

因为两圆有且仅有一条公切线，

所以两圆内切，

则，

即，解得.

故选：C.

二、多选题

9．某校期末考试后，为了分析该校高一年级名学生的学习成绩，从中随机抽取了名学生的成绩单，那么下列说法中正确的有（    ）

A．名学生是总体 B．每名学生是个体

C．被抽取的名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本容量是

【答案】ABCD

【分析】根据抽样的定义进行判断即可．

【详解】名学生或他们的成绩是总体，每名学生或他的成绩是个体，被抽取的名学生的成绩是一个样本，样本容量为．

故选：ABCD

10．关于直线，下列说法正确的是（    ）

A．直线在轴上的截距为4 B．当时，直线的倾斜角为0

C．当时，直线不经过第二象限 D．当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8

【答案】BCD

【分析】利用直线方程的斜截式的性质，逐项分析即可.

【详解】对于A，直线可化为，由斜截式可知直线在轴上的截距为，故A错误；

对于B，当时，直线为，即，故直线的倾斜角为0，故B正确；

对于C，当时，有，在轴上的截距为，如图易得直线不经过第二象限，故C正确；

对于D，当时，直线为，如图，

易知直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，且两条边长度都为，故，故D正确；

故选：BCD.

.

11．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列说法中正确的是（    ）

A．若，，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

【答案】AD

【分析】根据空间中的线面、面面关系逐一判断即可.

【详解】由线面平行的性质可得A正确；

若，，则或，故B错误；

由，，推不出，也可能有，故C错误；

若，，则，又，则，故D正确；

故选：AD

12．下列命题中正确的是（    ）

A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面

B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底

C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线

D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为

【答案】ABD

【分析】不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A、B，若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行，可判断C，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断D．

【详解】对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；

对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；

对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错；

对于D，∵，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；

故选：ABD．

【点睛】本题主要考查命题的真假，考查空间基底的定义，考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．

三、填空题

13．若直线y=kx与圆x2+y2-6x+8=0相切，且切点在第四象限，则k=        .

【答案】

【分析】得到圆心和半径，根据圆心到直线的距离等于半径结合即可得结果.

【详解】圆，即，其圆心为，半径等于1.

由题意可得，再根据圆心到直线的距离等于半径可得，求得，

故答案为：.

14．若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是        ．

【答案】(－2,1)

【详解】试题分析：由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围．解：∵过点P（1-a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0， ，故答案为

【解析】直线的斜率公式

点评：本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．

15．已知向量，，且与互相垂直，则的值是      .

【答案】/

【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.

【详解】，

，

因为与互相垂直，

所以,

即，

解得：.

故答案为：

四、双空题

16．已知是偶函数，当时，，则当时，的解析式为      ，不等式的解集是      ．

【答案】         

【分析】根据偶函数的性质由条件求出函数在上的解析式，根据的解析式化简不等式求其解集.

【详解】设，则，则，

因为函数为偶函数，，

所以当时，．

若，

则当时，，化简可得解得；

当时，，化简可得，解得，

所以所求不等式的解集为．

故答案为：，.

五、解答题

17．在中，内角A，B，C对应的边分别为，，，已知．

(1)求角B的大小；

(2)若，的面积为，求的周长．

【答案】(1)；

(2)3.

【分析】(1)根据正弦定理可得，结合同角的三角函数关系和角B的范围即可求解；

(2)根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理求得，即可得解.

【详解】（1）在中，由正弦定理得，

∵，代入化简得，

∵，∴，

∴，又显然，即，

∴，又∵，∴.

（2）∵，由，得．

在△ABC中，由余弦定理，得

∴，

∴，∴△ABC的周长为3．

18．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力做到科学防护，科学预防. 某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答，共有 100 人参加了这次问答，将他们的成绩（满分 100 分）分成 ，，，，，这六组，制成如图 所示的频率分布直方图.

(1)求图中的值，并估计这 100 人问答成绩的平均数 (同一组数据用该组数据的中点值代替）；

(2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率.

【答案】(1)，72

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出参数的值，在根据平均数公式计算可得；

（2）求出，中抽取的人数，利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.

【详解】（1）由图可知，，解得，

估计这人问答成绩的平均数为：

.

（2）由频率分布直方图可知，问答成绩在，这两组的频率之比为.

用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为 5 的样本，

则问答成绩在内的有(人)，分别记为、，

问答成绩在 内的有(人)，分别记为、、，

从中任意抽取 2 人，则实验的样本空间为：

共有 个样本点.

设事件 为 2 人的问答成绩均在内，则，

所以这 2 人的问答成绩均在 内的概率.

19．设常数，已知直线：，：．

(1)若，求的值；

(2)若，求与之间的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由一般式下两直线垂直的充要条件可得，即可求解；（2）根据题意，由一般式下两直线平行的必要条件可求得的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．

【详解】（1）根据题意，直线：，：，

若，则，解可得a

（2）根据题意，若，则有，解可得或，

当时，直线：，：，两直线重合，不符合题意，

当时，直线：，：，即，两直线平行，此时与之间的距离

20．如图，正方体中，分别为的中点．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】(1)证明过程见详解

(2)

【分析】（1）先以为原点建系，再找出各点的坐标，求出平面的法向量，要证线面平行只需证直线的方向向量垂直于平面的法向量即可.

（2）先求出平面的法向量，再根据直线与平面所成的角的正弦值

即可得到答案.

【详解】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设

则，，.

又       为平面的法向量

又平面.

故：平面.

（2）由（1）知，设平面的法向量,

则，即，令，则

设直线与平面所成的角为，则.

故答案为：.

21．如图（），在直角梯形中，，，且，取的中点，连结，并将沿着翻折，翻折后，点分别是线段的中点，如图（）.

(1)求证：；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，利用勾股定理可证得，结合可证得平面，结合线面垂直的性质与判定得到平面，得到；由等腰三角形三线合一得到，进而证得平面，由线面垂直的性质可得结论；

（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1）连接，

，，，为中点，

四边形为正方形，，

翻折后，，，；

又，，平面，平面，

平面，，

又，，平面，平面，

平面，；

，为中点，，

又，平面，平面，

平面，.

（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，；

轴平面，平面的一个法向量；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

，

即平面与平面夹角的余弦值为.

22．已知直线：与圆：交于､两点，且.

（1）求圆的标准方程；

（2）若，点､分别是直线：和圆上的动点，求的最大值及求得最大值时点的坐标.

【答案】（1）；（2）最大值为，此时点的坐标为.

【分析】（1）首先将圆的方程配成标准式，求出圆心到直线的距离，根据弦长得到方程，求出参数的值，即可得解；

（2）依题意可得计算可得；

【详解】解：（1）：，即，

点到的距离，因为，显然，故.

所以圆的标准方程为

（2）由（1）可知圆的方程为，点､分别是直线：和圆上的动点，，当且仅当四点共线时取等号，如下图所示，故最大值为，此时点的坐标为.