上海市上海师范大学附属中学闵行分校2024-2025学年高三上学期第三次半月考数学试题

这是一份上海市上海师范大学附属中学闵行分校2024-2025学年高三上学期第三次半月考数学试题，共14页。试卷主要包含了已知复数，其中是虚数单位，，则等内容，欢迎下载使用。

1.函数的定义域是__________.
2.已知向量，若，则实数__________.
3.已知复数，其中是虚数单位，，则
4.已知的展开式中各项系数的和为32，则__________.
5.已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是__________.
6.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是__________天（四舍五入精确）.
7.已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是__________.
8.若函数的值域为，则实数的取值范围是__________.
9.某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为__________.
10.设函数的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，若，则正实数的值为__________.
11.如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则__________.（结果精确到）
12.已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量在方向上的投影向量为，向量满足，则的最小值是__________.
二､单选题（本大题共4题，满分20分）
13.“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
14.小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（ ）
B.0.5 D.0.6
15.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）
A.
B.若，则的最大值为
C.若，则复平面内对应的点位于第一象限
D.若是关于的方程的一个根，则
16.已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，对于正整数有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（ ）
A.甲正确，乙正确 B.甲正确，乙错误
C.甲错误，乙正确 D.甲错误，乙错误
三､解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
18.已知函数.
（1）当时，是否存在实数，使得是奇函数；
（2）对于任意给定的非零实数与轴负半轴总有交点，求实数的取值范围.
19.如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.
（1）若（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
（2）若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？
20.如图1，已知抛物线的方程为，直线的方程为，直线交抛物线于两点为坐标原点.
（1）若，求的面积的大小；
（2）的大小是否是定值？证明你的结论；
（3）如图2，过点分别作抛物线的切线和（两切线交点为），分别与轴交于，求面积的最小值.
21.定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”.
（1）给出两组函数，①和②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；
（2）若是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为“相伴函数”；
（3），写出“和为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.
2025届上师大闵分高三第三次半月考数学试卷
一､填空题
1.【答案】
【解析】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域是.
2.【答案】1
【解析】因为向量，所以，解得.
3.【答案】
【解析】依题意，，而，所以.
4.【答案】
【解析】令，得的展开式中各项系数的和为，解得.
5.【答案】
【解析】设双曲线的方程是，
双曲线的渐近线方程是①.
由椭圆的方程知右焦点，则双曲线的右顶点坐标为
双曲线方程中的②.
解①②得：所求双曲线的标准方程为.
6.【答案】17
【解析】设经过天“进步”的是“退步”的1000倍，
则，即，
故.
7.【答案】
【解析】由题意可知：方程的两根为1，2，且，
可得，整理得，
则不等式即为，
且，可得，解得，
所以不等式的解集是.
8.【答案】
【解析】①当时，，即，
②当时，，即，
由函数的值域为，则.
9.【答案】
【解析】由超几何分布的性质可知，的期望为（人）.
10.【答案】
【解析】作出函数，的大致图象，如图，令，
解得，
则函数的图象与直线连续的三个公共点A，，（可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度）
即，关于直线对称，，
由于，故，
而关于直线对称，
故点横坐标为，
将点横坐标代入，得.
11.【答案】
【解析】由题可得，
设，则.
由题意，在中，，
在中，，
在中，，
将上述三式相乘，得，
从而有，
得，
所以.
12.【答案】
【解析】如图，以的正方向为轴正方向建立平面直角坐标系，设，
非零向量在方向上的投影向量为，
故有，又，故，
则的终点A在或上，
又，
故与垂直，如图所示，
由向量减法的几何表示，可知的终点就落在图中以为圆心，1为半径的圆上，
设，则，
即，
由对称性，不妨设点A在上，
设点关于直线的对称点为，
则有，解得，即，
则，
即的最小值是.
二､单选题
13.【答案】A
【解析】可得，则充分性成立，
得出或，则必要性不成立，
则“”是“”的充分非必要条件，故选：A.
14.【答案】A
【解析】设小明遇到的三人分别为，
则小明遇到三人的概率都为，
若小明与比赛获胜的概率为0.3，与比赛获胜的概率为0.4，与比赛获胜的概率为0.65，
则小明进入决赛的概率为，
故选：A.
15.【答案】B
【解析】对于A，设，则，A错误；
对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，
可看作该单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，
则该单位圆上的点到点的距离最大值为，B正确；
对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C错误；
对于D，依题意，，整理得，
而，因此，解得，D错误.
故选：B.
16.【答案】A
【解析】的零点，即为函数与函数图象在交点的横坐标.
又注意到时，，
时，，
时，.
据此可将两函数图象画在同一坐标系中，如下图所示.
甲命题，注意到时，，.
结合图象可知当.
当.故甲正确；
乙命题，表示两点与间距离，
由图象可知，随着的增大，两点间距离越来越近，
即恒成立.故乙命题正确；
故选：A.
三､解答题
17.【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）因为四棱柱为正四棱柱，
所以平面，且，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）设点到平面的距离为与相交于点，连接，
因为正方形的边长为，
所以，
由三线合一可得：，且，
由勾股定理得：，
所以，
故，
又平面
故，
由，
故点到平面的距离为.
18.【答案】（1）存在，；（2）见详解
【解析】（1）当时，则，可知的定义域为，
若是奇函数，则，解得，
且当时，，
即是奇函数，
综上所述：当时，是奇函数.
（2）令，可得，
因为，则，且，
当时，则；
当时，则；
综上所述：当时，实数的取值范围为；
当时，实数的取值范围为.
19.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由余弦定理，
，
故，又由正弦定理有，
故，
所以扇形的半径，
故种植花卉区域的面积
（2）设，则，
故，
故平行四边形绿地占地面积：
，
因为，故要面积最小，
则当，即时面积取得最小值，
即多大时，平行四边形绿地占地面积最小.
20.【答案】（1）1；（2）是定值；（2）
【解析】（1）当时，直线的方程为，
由解得，
所以的面积为.
（2）由（1）中发现为等腰直角三角形，猜测.
证明：，
得，即，
所以，所以为定值.
（3），对函数求导得到，
所以方程为，整理得，
同理方程为，
分别令得到，
，解得，
由第（2）小题，，得到，
所以，
所以面积的最小值为.
21.【答案】（1）第（1）组是，第（2）组不是；（2）见解析；（3）
【解析】（1）第（1）组是，第（2）组不是.
①和，
，
所以这两组函数是“相伴函数”.
②和，
不一定为非正数，
所以这两组函数不是“相伴函数”.
（2），
所以
，所以
因此成立，
即和为“相伴函数”.
（3）“和为相伴函数”的充要条件是
充分性：已知
则，
，
此时，所以，
即成立，和为相伴函数
必要性：已知和为相伴函数
所以，
，
，
，即，
由于取遍内的所有实数，因此当且仅当时成立，
所以，
所以“和为相伴函数”的充要条件是.