2024-2025学年上海市闵行中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市闵行中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.给出下列关系式，错误的是( )
A. 1∈{0,1,2}B. ⌀⊆{1,2,3}
C. {1}∈{1,2,3}D. {0,1,2}={1,2,0}
2.“x+y<2024”是“x<2012或y<2012”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知关于x的不等式mx2+nx+2024>0，下列结论正确的是( )
A. 不等式mx2+nx+2024>0的解集不可以是R
B. 不等式mx2+nx+2024>0的解集可以是⌀
C. 不等式mx2+nx+2024>0的解集可以是{x|x<2024}
D. 不等式mx2+nx+2024>0的解集可以是(1,2024)
4.已知a、b都是正数，集合A={x|x−ax+a≥0}，B={x|(b+x)(b−x)≥0}，若任意的m∈R，都有m∈A或m∈B，则下列结论中正确的是( )
A. abD. a≥b
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x>π}，则A∩B= ______．
6.不等式x−1x+1<0的解集是______．
7.集合P={(x,y)|x+y=1x−y−3=0}可以用列举法表示为______．
8.设方程x2−18x+3=0的两根为x1，x2，则1x1+1x2=______．
9.已知不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|−110.若要用反证法证明“对于三个实数a，b，c，若a≠c，则a≠b或b≠c”，应假设______．
11.某班共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______．
12.已知集合A={x|(a−1)x2+3x−2=0}是单元素集，则实数a的取值集合为______．
13.已知集合A={x|x2−9x+18<0}，B={x|x2−5ax+6a2=0}，若A∩B≠⌀，则实数a的取值范围是______．
14.不等式|x2+x|+(|x|−1)2≠0的解集是______．
15.已知m、n∈R，关于x的不等式组x2−14x+m<0nx16.已知集合A={(x,y)|(ax2+2x+a)(ay2+2y+a)>0，x∈R，y∈R}，集合B={(x,y)|(x2+x+1)(y2+2y+2)>0，x∈R，y∈R}，且A∩B=A∪B，则实数a的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知集合A={x|x2+2x−8≤0}，集合B={x|2x−7x−6≤1}．
(1)求集合B；
(2)若全集U=R，求B−∪A．
18.(本小题14分)
已知p：实数x满足x2−10x+16≤0，q：实数x满足x2−4mx+3m2≤0(其中m>0)．
(1)若m=1，且p和q至少有一个为真，求实数x的取值范围；
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19.(本小题14分)
如图所示，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地(图中四边形EFGH).使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=200米，BC=100米，且AE=AH=CF=CG．

(1)设AE=x米(0(2)为使绿地面积不小于空地面积的一半，求AE长的最大值．
20.(本小题18分)
解决下列问题：
(1)已知m、n∈R，设a=(m2+1)(n2+4)，b=(mn+2)2.比较a与b的大小；
(2)已知命题p：如果实数a、b为正数，且满足a+b=2，则1+2ba≥3和1+2ab≥3中至少有一个成立.判断命题p是否正确，并说明理由；
(3)请根据矩形图表信息，补齐不等式 a2+c2+ b2+d2≥_____.(其中a，b，c，d都为正数)并给出它的代数证明．
21.(本小题18分)
已知函数m(x)和n(x)，定义集合T(m(x),n(x))={x|m(x)(1)设p(x)=|x−3|，q(x)=4−|x−5|，求T(p(x),q(x))；
(2)设u(x)=x−1，v(x)=(x−a)2+2a，w(x)=a(x−1)2+6，若任意x0∈R，都有x0∈[T(u(x),v(x))]∩[T(v(x),w(x))]，求实数a的取值范围；
(3)设f(x)=|2x−b|，g(x)=x+4bx−1，ℎ(x)=2，若存在x0∈R，使得x0∈T(f(x),ℎ(x))且x0∈T(g(x),ℎ(x))，求实数b的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.B
5.{4}
6.(−1,1)
7.{(2,−1)}
8.6
9.0
10.a=b且b=c成立
11.12
12.{−18,1}
13.(1,3)
14.(−∞,−1)∪(−1,+∞)
15.−39
16.(−∞−1)∪(1,+∞)
17.解：(1)由2x−7x−6≤1得，x−1x−6≤0，
即(x−1)(x−6)≤0且x−6≠0，
解得1≤x<6，
所以B={x|1≤x<6}；
(2)若全集U=R，则B−={x|x<1或x≥6}，
由x2+2x−8≤0得，(x+4)(x−2)≤0，
解得−4≤x≤2，
即A={x|−4≤x≤2}，
所以B−∪A={x|x≤2或x≥6}．
18.解：(1)根据题意，对于p：实数x满足x2−10x+16≤0，解得2≤x≤8，
当m=1时，q：x2−4x+3≤0，解得1≤x≤3，
若p和q至少有一个为真，∴2≤x≤8或1≤x≤3，解可得1≤x≤8，
∴实数x的取值范围为[1,8]；
(2)根据题意，当m>0时，由x2−4mx+3m2≤0，解得m≤x≤3m，即q：m≤x≤3m，
∵q是p的充分不必要条件，
∴m≥23m≤8(等号不同时取)，∴2≤m≤83，
即m的取值范围为[2,83].
19.解：(1)已知AB=200米，BC=100米，且AE=AH=CF=CG，
设AE=x米，则0∴S△AEH=12x2，S△BEF=12(200−x)(100−x)，
S四边形EFGH=S矩形ABCD−2S△AEH−2S△BEF=20000−x2−(200−x)(100−x)=−2x2+300x，
则四边形EFGH的面积S关于x的表达式为S=−2x2+300x；
(2)若绿地面积不小于空地面积的一半，
则−2x2+300x≥10000，即x2−150x+5000≤0
解得50≤x≤100，故AE的长的最大值为100米．
20.解：(1)因为a=(m2+1)(n2+4)，b=(mn+2)2，
则a−b=(m2+1)(n2+4)−(mn+2)2
=m2n2+4m2+n2+4−m2n2−4mn−4=4m2+n2−4mn=(2m−n)2≥0，
所以a−b≥0，即a≥b；
(2)命题P正确，证明如下：
假设1+2ba≥3和1+2ab≥3都不成立，
则1+2ba<3且1+2ab<3，a>0，b>0，
所以1+2b<3a且1+2a<3b，
故2+2a+2b<3a+3b，可得a+b>2，
与已知a+b=2矛盾，故假设不成立，
所以1+2ba≥3和1+2ab≥3中至少有一个成立．
(3)填 (a+b)2+(c+d)2，证明如下：
( a2+c2+ b2+d2)2−( (a+b)2+(c+d)2)2
=a2+c2+b2+d2+2 (a2+c2)(b2+d2)−(a2+c2+b2+d2+2ab+2cd)
=2 (a2+c2)(b2+d2)−2(ab+cd)=2[ (a2+c2)(b2+d2)−(ab+cd)]，
又因为(a2+c2)(b2+d2)−(ab+cd)2=a2d2+b2c2−2abcd=(ad−bc)2≥0，当ad=bc时取等号，
所以(a2+c2)(b2+d2)≥(ab+cd)2，
所以 (a2+c2)(b2+d2)≥(ab+cd)，
所以( a2+c2+ b2+d2)2≥( (a+b)2+(c+d)2)2，
即 a2+c2+ b2+d2≥ (a+b)2+(c+d)2，
即原式得证．
21.解：(1)由p(x)当x≥5时，不等式化为x−3+x−5<4，得x<6，
此时，不等式的解为5≤x<6．
当3≤x<5时，不等式化为x−3+5−x<4，即2<4，恒成立，
此时，不等式的解为3≤x<5．
当x<3时，不等式化为3−x+5−x<4，得x>2．
此时，不等式的解为2综上所述，p(x)(2)由题意知，不等式x−1<(x−a)2+2a①恒成立，
且不等式(x−a)2+2a由①得，x2−(2a+1)x+(a2+2a+1)>0，
则Δ=(2a+1)2−4(a2+2a+1)<0，解得a>−34；
由②得，(a−1)x2−a2−a+6>0，
当a=1时，不等式化为−1−1+6>0恒成立，
当a≠1时，应满足a−1>0−a2−a+6>0，解得1综上知，a的取值范围是[1,2)．
(3)由题意得，不等式组f(x)<2g(x)<2有解，
由f(x)<2⇔−2<2x−b<2⇔b2−1又g(x)<2转化为x−(4b+2)x−1>0，
①当4b+2=1，即b=−14时，上式为1>0，对任意x∈(−∞,1)∪(1,+∞)恒成立．
此时不等式组f(x)<2g(x)<2有解，满足题意；
②当4b+2<1，即b<−14时，g(x)<2⇔x<4b+2或x>1，
要使不等式组f(x)<2g(x)<2有解，则b2−1<4b+2或b2+1>1，解得b>−67，
则有−67③当4b+2>1，即b>−14时，g(x)<2⇔x<1或x>4b+2．
要使不等式组f(x)<2g(x)<2有解，
则b2−1<1或b2+1>4b+2，解得b<4，
则有−14综上所述，b的取值范围是(−67,4)．