2023-2024学年上海市闵行中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海市闵行中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“φ=π2”是“函数y=sin(x+φ)为偶函数”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.设f(n)=1n+1+1n+2+...+1n+n(n∈N∗)，那么f(n+1)−f(n)等于( )
A. 12n+1−1n+1B. 12n+2−1n+1C. 12n+1+12n+2D. 12n+1−12n+2
3.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC(包括端点)上一点，则AP⋅AB的取值范围是( )
A. [1,4+ 24]
B. [1,1+ 22]
C. [1,2+ 22]
D. [ 24,1]
4.设实数x∈(0,π4)，给出如下两个命题：
①存在x，使得sinx，csx，tanx，ctx按某种顺序可组成等差数列；
②存在x，使得sinx，csx，tanx，ctx按某种顺序可组成等比数列．
则( )
A. ①②均为真命题B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题D. ①②均为假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______．
6.角α终边上有一点P(3,−2)，则sinα= ______．
7.已知复数z满足(2+i)z=5，则|z|= ______．
8.数列{an}中，an=nsinnπ2，则a2024的值为______．
9.已知向量a=(1,2)，b=(−2,x)，若a/​/b，则实数x=______．
10.首项为1的等比数列{an}中，4a1，2a2，a3成等差数列，则公比q=______．
11.已知△ABC的三边长AB=4cm，BC=2cm，AC=3cm，则△ABC的面积为______cm2．
12.已知点P(csθ,sinθ)，点A(−2,0)，O为原点，则AO⋅AP的最小值为______．
13.在复平面内，复数z1和z2对应的点分别为A，B，则z1⋅z2= ______．
14.在等差数列{an}中，a1>0，S4=S9，则Sn取最大值时，n=______．
15.如图，在Rt△ABC内有一系列的正方形，它们的边长依次为a1，a2，…，an，…，若AB=a，BC=2a，则所有正方形的面积的和为______．
16.已知空间向量a、b、c、d满足：|a−b|=1，|b−c|=2，(a−b)//(b−c)，(a−d)⋅(b−d)=0，则|c−d|的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=4sinxcsx+2 3cs2x+2 3+a的最大值为2．
(1)求a的值，并求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在[π2,π]上的单调递增区间．
18.(本小题14分)
已知关于x的实系数一元二次方程x2−3ax−3a=0(a∈R)有一对共轭虚根x1，x2．
(1)当a=−13时，求共轭虚根x1和x2；
(2)若|x1−x2|= 3，求实数a的值．
19.(本小题14分)
银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.现在某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；
乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．
(1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为an(万元)，乙方案第n年的利润为bn(万元)，请写出an、bn的表达式；
(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息.若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？(精确到0.1)(净获利=总利润−本息和)
20.(本小题18分)
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知m=(2a,2b),n=(csB,csA)且满足m⋅n=ccsC．
(1)求C；
(2)若c=3，求当函数f(B)=cs2B−4csCsinB取最小值时△ABC的周长；
(3)求sinAsinB的取值范围．
21.(本小题18分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn− Sn−1=1(n∈N∗,n≥2)，a1=1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若[x]表示不超过x的最大整数，如[−1.2]=−2，[2.1]=2，求[1a12+1a22+…+1an2]的值；
(3)设bn=1(2n−1)(an+2)(n∈N∗)，Tn=b1+b2+b3+…+bn，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有Tn>m2024恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.D
5.4
6.−2 1313
7. 5
8.0
9.−4
10.2
11.3 154
12.2
13.−1−3i
14.6或7
15.45a2
16.3
17.解：(1)f(x)=4sinxcsx+2 3cs2x+2 3+a=2sin2x+2 3cs2x+2 3+a=4sin(2x+π3)+2 3+a，
由于函数的最大值为2；
故4+2 3+a=2，解得a=−2 3−2．
函数的最小正周期为2π2=π．
(2)由于函数f(x)=4sin(2x+π3)−2，
由于x∈[π2,π]，故2x+π3∈[4π3,7π3]；
令2x+π3=3π2，解得x=7π12，
故函数的单调递增区间为[7π12,π].
18.解：(1)当a=−13时，
Δ=1−43=−13，
则方程x2+x+13=0的根为x=−1± −(−13)i2=−12± 36i，
解得x1=−12+ 36i，x2=−12− 36i．
(2)∵x1+x2=3a，x1x2=−a，
∴x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= 9a2+4a=23，
整理得9a2+4a=49a=−4±4 218=−2±2 29，
∴a=−2±2 29．
19.解：(1)对于甲方案，
1年后，利润为1(万元)，
2年后，利润为1×(1+0.3)1=1.31万元，
3年后，利润为1.3×(1+0.3)1=1.32万元，
……
故n年后，利润为1.3n−1万元，
因此an=1.3n−1，n∈N∗．
对于乙方案，1年后，利润为1万元，
2年后，利润为1+0.5万元，
3年后，利润为1+0.5+0.5=1+0.5×2万元，
……故n年后，利润为1+0.5×(n−1)万元，
因此bn=1+0.5×(n−1)=0.5n+0.5，n∈N∗．
(2)甲方案十年共获利1+(1+30%)+...+(1+30%)9=(1.3)10−11.3−1=42.63(万元)，
10年后，到期时银行贷款本息为10(1+0.1)10=25.94万元，
故甲方案的净收益为42.63−25.94≈16.7万元，
乙方案十年共获利1+1.5+…+(1+9×0.5)=32.5万元，
贷款本息为1+(1+10%)+...+(1+10%)9+(1+10%)10=1⋅111−10.1≈17.53 万元．
故乙方案的净收益为32.5−17.53=15万元，
由16.7>15，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多．
20.解：(1)∵m=(2a,2b),n=(csB,csA)，∴m⋅n=2acsB+2bcsA=ccsC，
由正弦定理得，2sinAcsB+2sinBcsA=sinCcsC=2sin(A+B)=2sinC，∴csC=12，又0(2)由(1)得，f(B)=cs2B−4csCsinB=1−2sin2B−2sinB=−2(sinB+12)2+32，又0(3)由(1)得，sinAsinB=sinAsin(2π3−A)=sinA( 32csA+12sinA)= 34sin2A−14cs2A+14=12sin(2A−π6)+14，∴当2A−π6=π2，即A=π3时，sinAsinB最大值=34，
∴sinAsinB的取值范围是(0,34]．
21.解：(1)∵ Sn− Sn−1=1(n∈N∗,n≥2)，
∴当n≥2时，an=Sn−Sn−1=( Sn− Sn−1)( Sn+ Sn−1)= Sn+ Sn−1，
由 Sn− Sn−1=1(n∈N∗,n≥2)知，数列{ Sn}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
则 Sn=1+(n−1)×1=n，即Sn=n2．
∴当n≥2时，an= Sn+ Sn−1=n+n−1=2n−1，
a1=1适合上式，则an=2n−1；
(2)由(1)知，1an2=1(2n−1)2=14n2−4n+1，
1an2=14n2−4n+1<14n2−4n=14(1n−1−1n)，
则1a12+1a22+...+1an2<1+14(1−12+12−13+13−14+...+1n−1−1n)
=1+14(1−1n)<1+14=54．
当n=1时，1a12=1<54，即对任意n∈N∗，都有1=1a12≤1a12+1a22+...+1an2<54．
∴[1a12+1a22+…+1an2]=1；
(3)bn=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
则有Tn=12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．
∵Tn+1−Tn=bn+1=1(2n+1)(2n+3)>0，则数列{Tn}单调递增，
(Tn)min=T1=b1=13，
∵对任意正整数n均有Tn>m2024恒成立，
∴m2024<13，可得m<20243=67423，
∵m∈N∗，∴mmax=674，
∴存在正整数m，使得对任意正整数n均有Tn>m2024恒成立，此时m的最大值为674．