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    2023-2024学年北京三十五中高二(上)月考数学试卷(12月份)(含解析)
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    2023-2024学年北京三十五中高二(上)月考数学试卷(12月份)(含解析)

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    这是一份2023-2024学年北京三十五中高二(上)月考数学试卷(12月份)(含解析),共12页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.椭圆x225+y29=1的焦距为( )
    A. 4B. 6C. 8D. 10
    2.点P是抛物线y2=4x上一点,P到该抛物线焦点的距离为4,则点P的横坐标为( )
    A. 2B. 3C. 4D. 5
    3.双曲线x2−y2=1的顶点到其渐近线的距离等于
    ( )
    A. 12B. 22C. 1D. 2
    4.已知直线l1:ax−y−1=0,l2:ax+(a+2)y+1=0.若l1⊥l2,则实数a=( )
    A. −1或1B. 0或1C. −1或2D. −3或2
    5.如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( )
    A. (0,1)B. (0,2)C. (1,+∞)D. (0,+∞)
    6.已知F1、F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点,过F1作x轴的垂线,交椭圆于A、B两点,若△ABF2为等边三角形,则椭圆离心率为( )
    A. 33B. 2 33C. 39D. 12
    7.已知双曲线C:x2a2−y216=1的两个焦点是F1,F2,点P在双曲线C上.若C的离心率为53,且|PF1|=10,则|PF2|=( )
    A. 4或16B. 7或13C. 7或16D. 4或13
    8.已知圆O1的方程为(x−a)2+(y−b)2=4,圆O2的方程为x2+(y−b+1)2=1,其中a,b∈R.那么这两个圆的位置关系不可能为( )
    A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切
    9.设直线l:3x+4y+a=0,圆C:(x−2)2+y2=2,若在直线l上存在一点M,使得过M的圆C的切线MP,MQ(P,Q为切点)满足∠PMQ=90°,则a的取值范围是
    ( )
    A. [−18,6]B. [6−5 2,6+5 2]
    C. [−16,4]D. [−6−5 2,−6+5 2]
    10.点M在直线l:x=2上,若椭圆C:x2+y24=1上存在两点A,B,使得△MAB是等腰三角形,则称椭圆C具有性质P.下列结论中正确的是( )
    A. 对于直线l上的所有点,椭圆C都不具有性质P
    B. 直线l上仅有有限个点,使椭圆C具有性质P
    C. 直线l上有无穷多个点(但不是所有的点),使椭圆C具有性质P
    D. 对于直线l上的所有点,椭圆C都具有性质P
    二、填空题:本题共4小题,每小题3分,共12分。
    11.若双曲线C:x2−y2b2=1 (b>0)的焦距为2 5,则b= ;C的渐近线方程为 .
    12.过点(3,−2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆方程是______ .
    13.已知F为双曲线C:x29−y216=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________.
    14.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在抛物线上,PQ⊥l于点Q.若△PQF是锐角三角形,则点P的横坐标的取值范围是 .
    三、解答题:本题共3小题,共27分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题3分)
    若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP⋅FP的最大值为______.
    16.(本小题12分)
    已知椭圆C的中心在坐标原点,左顶点A(−2,0),离心率e=12,F为右焦点,过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两个不同的点.
    (Ⅰ)求椭圆C的方程;
    (Ⅱ)当|PQ|=247时,求直线PQ的方程;
    (Ⅲ)设线段PQ的中点在直线x+y=0上,求直线PQ的方程.
    17.(本小题12分)
    已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(−1,0),A1(−a,0),A2(a,0),且|A2F|=3.
    (Ⅰ)求椭圆C的方程;
    (Ⅱ)过点F的直线交椭圆C于点M,N.记△A1MN和△A2MN的面积分别为S1和S2.当S2−S1=12 27时,求直线MN的方程.
    答案和解析
    1.【答案】C
    【解析】解:由椭圆x225+y29=1得a2=25,b2=9.∴c= a2−b2=4,∴2c=8.
    因此椭圆的焦距为8.
    故选:C.
    利用椭圆的标准方程及其c= a2−b2即可.
    熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键.
    2.【答案】B
    【解析】解:∵抛物线y2=4x=2px,
    ∴p=2,
    由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,
    ∴P到该抛物线焦点的距离|MF|=4=x+p2=4,
    ∴x=3,
    故选:B.
    由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,已知P到该抛物线焦点的距离|MF|=4,则M到准线的距离也为2,即点M的横坐标x+p2=4,将p的值代入,进而求出x.
    活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法.抛物线上的点到焦点的距离,叫焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解.
    3.【答案】B
    【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.
    求出双曲线的渐近线方程,顶点坐标,利用点到直线的距离求解即可.
    【解答】
    解:双曲线x2−y2=1的顶点坐标(1,0),其渐近线方程为y=±x,
    所以所求的距离为|1−0| 2= 22.
    故选:B.
    4.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查了两条直线垂直关系的应用,解题的关键是掌握两条直线垂直的等价条件,即已知直线l1,l2的方程分别是:l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
    直接利用两条直线垂直,列出关于a的方程,求解即可.
    【解答】
    解:因为l1⊥l2,
    所以a·a+(−1)×(a+2)=0,解得a=−1或2.
    故选C.
    5.【答案】A
    【解析】【分析】
    利用椭圆的定义求解.
    本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的灵活运用.
    【解答】
    解:∵x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,
    把x2+ky2=2转化为椭圆的标准方程,得x22+y22k=1,
    ∴2k>2,解得0∴实数k的取值范围是(0,1).
    故选:A.
    6.【答案】A
    【解析】解:椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,过F1作x轴的垂线与C交于A,B两点,若△ABF2是等边三角形,
    可得2c= 32|AB|,F2(c,0),可得|AB|=2b2a,
    即2ac= 3b2= 3a2− 3c2,
    可得 3e2+2e− 3=0,e∈(0,1),
    解得e= 33.
    故选:A.
    利用已知条件.推出a、b、c的关系,然后求解椭圆的离心率即可.
    本题考查椭圆的简单性质的应用,离心率的求法,考查计算能力,属于基础题.
    7.【答案】A
    【解析】【分析】
    利用双曲线的离心率求解a,结合双曲线的定义求解即可.
    本题考查双曲线的简单性质的应用,双曲线的定义的求法,是基础题.
    【解答】
    解:双曲线C:x2a2−y216=1的两个焦点是F1,F2,
    点P在双曲线C上.若C的离心率为53,
    可得 a2+16a=53,解得a=3,c=5,
    |PF1|=10,则|PF2|=±2a+10,所以|PF2|=4或16.
    故选:A.
    8.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查了两圆位置关系的判断,解题的关键是确定圆心距和两圆半径之间的关系.利用圆的方程求出圆心和半径,然后利用圆心距之间的距离和两圆半径的关系,结合两圆的位置关系的判断方法进行分析即可.
    【解答】
    解:根据题意,圆O1的圆心O1(a,b),半径r=2,
    圆O2的圆心O2(0,b−1),半径R=1,
    所以r+R=3,r−R=1,
    因为O1O2= a2+1≥1,
    所以O1O2≥r−R,
    故两圆不可能是内含.
    故选:C.
    9.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查直线和圆的位置关系,由题意得到圆心到直线的距离小于或等于2是解决问题的关键,属于中档题.
    由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C(2,0)到直线l的距离小于或等于2,再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解.
    【解答】
    解:圆C:(x−2)2+y2=2,圆心为:(2,0),半径为 2,
    ∵在直线l上存在一点M,使得过M的圆C的切线MP,MQ(P,Q为切点)满足∠PMQ=90°,
    ∴在直线l上存在一点M,使得M到C(2,0)的距离等于2,
    ∴只需C(2,0)到直线l的距离小于或等于2,
    故|3×2+4×0+a| 32+42≤2,解得−16≤a≤4,
    故选:C.
    10.【答案】D
    【解析】【分析】
    本题考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系的应用,涉及到分类讨论思想,考查了学生的运算推理能力,属于中档题.
    设出直线AB的方程并与椭圆方程联立,利用韦达定理求出AB的中点N的坐标,进而可以求出直线l2的方程,从而可以求出点M的坐标,根据性质P的定义即可判断求解.
    【解答】
    解:当直线AB为x轴时,不妨取A为椭圆左顶点,B为椭圆右顶点,
    此时|AB|=2,只需取M2, 3或M2,− 3,
    即可满足|AB|=|MB|,即△MAB是等腰三角形;
    当直线AB斜率不为0时,设直线AB的方程为:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),
    联立方程x=my+nx2+y24=1,消去x整理可得:(1+4m2)y2+8mny+4n2−4=0,
    则y1+y2=−8mn1+4m2,且Δ>0,
    若|MA|=|MB|,则M是线段AB的中垂线l2与x=2的交点,
    而AB的中点N坐标为(x1+x22,y1+y22),x1+x2=m(y1+y2)+2n=2n1+4m2,
    所以N(n1+4m2,−4mn1+4m2),又AB的中垂线l2的斜率为k=−m,
    所以l2的方程为:y+4mn1+4m2=−m(x−n1+4m2),
    当x=2时,y=−2m−3mn1+4m2,
    所以M(2,−2m−3mn1+4m2),
    令n=0,此时M2,−2m,
    由于m∈R,即对直线AB:x=my,且直线AB与椭圆C:x2+y24=1恒有两个交点,
    总存在点M2,−2m,使得|MA|=|MB|,
    即对于直线l上的所有点,椭圆C都具有性质P,
    故选:D.
    11.【答案】2
    y=±2x

    【解析】【分析】
    由b= c2−a2,以及渐近线方程为y=±bax,即可得解.
    本题考查双曲线的几何性质,熟练掌握渐近线方程,以及a、b、c的关系是解题的关键,属于基础题.
    【解答】
    解:由题意知,a=1,2c=2 5,∴c= 5,
    ∴b= c2−a2= 5−1=2,
    ∴渐近线方程为y=±bx=±2x.
    故答案为:2;y=±2x.
    12.【答案】x215+y210=1
    【解析】解:根据题意,椭圆4x2+9y2=36的标准方程为x29+y24=1,
    其焦点坐标为(± 5,0),
    则要求的椭圆的焦点坐标为(± 5,0),设其左右焦点为F1、F2,
    又由椭圆经过点(3,−2),
    则有2a=|PF1|+|PF2|= (3− 5)2+(−2)2+ (3+ 5)2+(−2)2=2 15,
    则a= 15,
    又由c= 5,则b2=a2−c2=10,
    则要求椭圆的方程为:x215+y210=1.
    故答案为:x215+y210=1.
    根据题意,求出椭圆的标准方程,分析可得其焦点坐标,即可得要求的椭圆的焦点坐标,设其左右焦点为F1、F2,由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|,由椭圆的几何性质可得b的值,代入椭圆的标准方程即可得答案.
    本题考查椭圆的几何性质,涉及椭圆的标准方程,注意先将已知椭圆的方程变为标准方程,是基础题.
    13.【答案】44
    【解析】解:根据题意,双曲线C:x29−y216=1的左焦点F(−5,0),所以点A(5,0)是双曲线的右焦点,
    虚轴长为:8;
    双曲线图象如图:
    |PF|−|AP|=2a=6 ①
    |QF|−|QA|=2a=6 ②
    而|PQ|=16,
    ①+②
    得:|PF|+|QF|−|PQ|=12,
    ∴周长为:|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44
    故答案为:44.
    根据题意画出双曲线图象,然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决.求出周长即可.
    本题考查双曲线的定义,通过对定义的考查,求出周长,属于基础题.
    14.【答案】(1,+∞)
    【解析】【分析】
    由抛物线的方程可得焦点F的坐标,再由△PQF是锐角三角形,只需要P在焦点F的右侧,可得P的横坐标的范围.
    本题考查抛物线的性质,到焦点的距离等于到准线的距离,属于中档题.
    【解答】
    解:由抛物线的性质可得PQ=PF,
    若△PQF是锐角三角形,所以只需∠QPF<90°,
    只需要P在焦点F的右侧,由抛物线的方程可得焦点F的坐标(1,0),
    所以P的横坐标的范围(1,+∞),
    故答案为:(1,+∞).
    15.【答案】6
    【解析】解:设P(x,y),
    则OP⋅FP=(x,y)⋅(x+1,y)=x2+x+y2,
    又点P在椭圆上,所以x2+x+y2=x2+x+(3−34x2)=14x2+x+3=14(x+2)2+2,
    又−2≤x≤2,
    所以当x=2时,14(x+2)2+2取得最大值为6,即OP⋅FP的最大值为6,
    故答案为:6.
    设P(x,y),由数量积运算及点P在椭圆上可把OP⋅FP表示为x的二次函数,根据二次函数性质可求其最大值.
    本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质,属中档题.
    16.【答案】解:(Ⅰ)由已知得a=2ca=12a2=b2+c2,解得c=1,b2=3,
    所以椭圆的方程为x24+y23=1.
    (Ⅱ)由(Ⅰ)知,椭圆的右焦点F(1,0),
    设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),
    联立x=my+1x24+y23=1得(3m2+4)y2+6my−9=0,
    所以y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4,
    所以|PQ|= (m2+1)(y1−y2)2= (m2+1)(36m2(3m2+4)2+363m2+4)
    =12 (m2+1)2(3m2+4)2=12×m2+13m2+4,
    因为|PQ|=247,
    所以12×m2+13m2+4=247,解得m=±1,
    所以直线PQ的方程为x=±y+1,即x+y−1=0或x−y−1=0.
    (Ⅲ)设PQ中点为(x0,y0),
    所以x0=x1+x22=m(y1+y2)+22=m⋅(−6m3m2+4)+22=43m2+4,
    y0=y1+y22=−3m3m2+4,
    又因为线段PQ的中点在直线x+y=0上,
    所以x0+y0=0,即43m2+4+−3m3m2+4=0,解得m=43,
    所以直线PQ的方程为x=43y+1,即3x−4y−3=0.
    【解析】(Ⅰ)由已知得a=2ca=12a2=b2+c2,解得c,b2,进而得椭圆的方程.
    (Ⅱ)由(Ⅰ)知,椭圆的右焦点F(1,0),设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线PQ与椭圆的方程,可得y1+y2,y1y2,由弦长公式可得|PQ|=12×m2+13m2+4=247,解得m=±1,进而可得直线PQ的方程.
    (Ⅲ)设PQ中点为(x0,y0),由中点坐标公式可得x0=43m2+4,y0=−3m3m2+4,代入直线x+y=0,解得m,进而可得直线PQ的方程.
    本题考查椭圆的方程,直线与椭圆的相交问题,解题中需要一定的计算能力,属于中档题.
    17.【答案】解:(Ⅰ)依题意,椭圆C的半焦距c=1,
    所以|A2F|=a+c=3.
    解得a=2.
    所以b2=a2−c2=3.
    所以椭圆C的方程为x24+y23=1.
    (Ⅱ)当直线MN的斜率不存在时,其方程为x=−1.
    此时M(−1,32),N(−1,−32),或M(−1,−32),N(−1,32).
    所以S1=32,S2=92,即S2−S1=3,不合题意.
    当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1)(k≠0).
    由y=k(x+1),3x2+4y2=12得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0.
    设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=−8k23+4k2,x1x2=4k2−123+4k2.
    因为S1=12|A1F|(|y1|+|y2|),S2=12|A2F|(|y1|+|y2|),
    所以S2−S1=12×2×(|y1|+|y2|)= |y1−y2|=|k(x1−x2)|
    =|k| (x1+x2)2−4x1x2=12|k| k2+13+4k2.
    令12|k| k2+13+4k2=12 27,解得k=±1.
    所以直线MN的方程为x−y+1=0,或x+y+1=0.
    【解析】本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力.
    (Ⅰ)依通过椭圆C的半焦距c=1,结合|A2F|=a+c=3.求解a,b,得到椭圆方程.
    (Ⅱ)当直线MN的斜率不存在时,其方程为x=−1.验证即可.当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1)(k≠0).由y=k(x+1),3x2+4y2=12得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),利用韦达定理结合弦长公式,转化求解三角形的面积,然后推出直线方程即可.
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