2023-2024学年北京市顺义一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年北京市顺义一中高二（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知向量，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.空间四边形中，，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.已知空间向量，，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.已知向量，，且，那么(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知是空间的一个基底，在下列向量中，与向量，一定可以构成空间的另一个基底的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

8.已知正方体的不在同一表面的两个顶点，，则正方体的棱长等于(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.在正方体中，为线段的中点，点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.与同向的单位向量是______ ．

12.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是______．

 

13.若过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围为______．

14.已知正方体的棱长为，则点到直线的距离为______．

15.在棱长为的正方体中，点和分别是正方形和的中心，点为正方体表面上及内部的点，若点满足，其中、、，且，则满足条件的所有点构成的图形的面积是______．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

已知直线过点，，直线过点，，．

若 ，求的值；

若，求的值．

17.本小题分

如图，在平行六面体中，，，设向量．
用、、表示向量；
求．

18.本小题分

已知四棱锥中，底面是正方形，平面，，是的中点．
求直线与直线所成角的余弦值；
求证：平面；
求点到平面的距离．

19.本小题分

在三棱柱中，侧面为矩形，平面，，，分别是棱，的中点．
求证：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．

20.本小题分

如图，在中，，，，、分别为、上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图．
求证：平面；
若是的中点，求与平面所成角的大小；
线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．

21.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，在上，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
Ⅲ点是线段上异于两端点的任意一点，若满足异面直线与所成角，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】

利用空间向量运算的坐标表示即可得出．
本题考查了空间向量运算的坐标表示，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

【解答】
解：．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：因为，所以．
故选：．
利用向量加法的三角形法则列式求解即可．
本题考查向量加法的三角形法则，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：的充要条件为即
所以的充分不必要条件．
故选：．
先利用向量垂直的充要条件求出成立的充要条件，再判断是的什么条件即可得出正确选项．
本题主要考查了向量的数量积判断向量的共线与垂直、必要条件、充分条件与充要条件的判断，判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再利用充要条件的定义判断．

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，向量，，且，
则设，即，
则有，
则，，
则，故；
故选：．
根据题意，设，即，分析可得、的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
本题考查空间向量的平行以及模的计算，关键是求出、的值．

5.【答案】 

【解析】解：对于，，
，，不能构成空间的另一个基底，故A错误，
对于，，故不能构成空间的另一个基底，故B错误，
对于，不存在，使得成立，故能构成空间的另一个基底，故C正确，
对于，假设存在，使得，则，解得，
故，故不能构成空间的另一个基底，故D错误．
故选：．
根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可．
本题主要考查空间向量基底的定义，属于基础题．

6.【答案】 

【解析】解：在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，
，
．
故选：．
先求出，由此能求出．
本题考查向量的数量积的求法，考查对称、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7.【答案】 

【解析】【分析】

本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键．
根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．

【解答】
解：如图所示：

点，，过点的直线与线段有公共点，
直线的斜率或，
的斜率为，的斜率为，
直线的斜率或，
故选D．

8.【答案】 

【解析】解：正方体中不在同一表面上两顶点，，
是正方体的体对角线，，
设正方体的棱长为，
则，解得．
正方体的棱长为，
故选：．
先根据题意可知是正方体的体对角线，利用空间两点的距离公式求出，再由正方体体对角线的平方等于棱长平方的倍求得正方体的棱长．
本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．

9.【答案】 

【解析】解：因为在四棱锥中，底面是正方形，
，，，，
所以

．
故选：．
利用空间向量加法法则求解．
本题考查空间向量的基本定理，注意空间向量加法法则的合理运用，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为，
则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设，，，
则，
解得，，
设直线与平面所成角为，
则，
，或时，，时，．
直线与平面所成角的正弦值的取值范围是
故选：．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

11.【答案】 

【解析】解：与同向的单位向量为：

故答案为：
利用单位向量的定义写出与同向的单位向量，并化简．
本题考查了单位向量的概念与应用的问题，属于基础题．

12.【答案】 

【解析】解：的坐标为，
，，，
．
故答案为：．
由的坐标为，分别求出和的坐标，由此能求出结果．
本题考查空间向量的坐标的求法，是基础题．

13.【答案】 

【解析】【分析】
由直线的倾斜角为钝角，能得出直线的斜率小于，解不等式求出实数的取值范围．
本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．
【解答】
解：过点和的直线的倾斜角为钝角，
直线的斜率小于，
即，即 ，解得，
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过作，则即为点到直线的距离，

在正方体中，平面，，
在直角中，，且，
所以，点到直线的距离为．
故答案为：．
连接，过作，则即为所求，由三角形等面积计算求解．
本题考查了点到直线距离的计算，属于中档题．

15.【答案】 

【解析】解：因为点满足，其中、、，且，所以点，，三点共面，
又因为和分别是矩形和的中心，所以，，
连接，，则，所以即为经过，，三点的平面与正方体的截面，
故点可以是正方体表面上线段，，上的点．
所以所有点构成的图形的面积为．
故答案为：．
因为点满足，其中、、，且，所以点，，三点共面，只需要找到平面与正方体表面的交线即可．
本题考查空间向量共面基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．

16.【答案】解：直线过点，，
直线的斜率为：．
若，则直线的斜率存在且有，解得：；
当时，直线的斜率为，
要使，则，矛盾；
当时，要使，则，解得：．
若，则的值为． 

【解析】本题考查了直线的一般式方程与两直线平行、垂直的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．
由两点式求出和的斜率，由斜率相等求得的值；
分的斜率为和不为讨论，当的斜率为时，由，的横坐标相等求的值；不为时由两直线的斜率乘积等于得答案．

17.【答案】解：在平行六面体中，，，
设向量，
则．
．


． 

【解析】利用空间向量的基本定理与空间向量的线性运算能用，，表示向量；
利用向量数量积的运算能求出结果．
本题考查空间向量的基本定理、空间向量的线性运算、向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18.【答案】解：以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系．

由题意，，，，，，
设直线与直线所成的角为，
因为，，所以，
所以直线与直线所成角的余弦值为；
证明：因为，，，
所以，，
所以，，又，，平面，
所以平面；
解：由知，为平面的一个法向量，
设点到平面的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值，
由，得，
所以点到平面的距离为． 

【解析】建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值；
利用数量积坐标运算得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；
利用点到平面距离向量公式直接计算即可．
本题主要考查线面垂直的证明，线面角的求法，点到平面距离的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．

19.【答案】解：证明：在三棱柱中，，且，

因为点，分别是棱，的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
解：因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
于是，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】根据直线平行于平面的判定定理可知只需证线线平行，利用平行四边形可得，从而可证得平面；
先利用线面垂直的判定定理证明平面，再建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，然后利用公式可求出直线与平面所成角的正弦值．
本题主要考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、以及线面所成角，解题的关键是利用空间向量的方法求解，同时考查了学生空间想象能力，属于中档题．

20.【答案】解：证明：，，，
平面，
又平面，，
又，，
平面；
如图建系，则，，
，，，
，，
设平面法向量为，
则，，，
，
又，，
，
与平面所成角的大小为；
设线段上存在点，设点坐标为，则，
，，
设平面法向量为，
则，，
，
假设平面与平面垂直，则，
，，，
，
不存在线段上存在点，使平面与平面垂直． 

【解析】证明平面，因为，只需证明，即证明平面；
建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面法向量，，利用向量的夹角公式，即可求得与平面所成角的大小；
若存在点坐标为，则，求出平面法向量为，假设平面与平面垂直，则，可求得，从而可得结论．
本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会．

21.【答案】证明：Ⅰ以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图的空间直角坐标系，

，，，，，，
设，
，
，


，
，平面的法向量．
，
，
又平面，
平面，
解：Ⅱ设平面的法向量，
，
，即，令，

，
平面的法向量，
设二面角所成的锐二面角为，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
Ⅲ令，，
，
，
．
，
或舍
，
． 

【解析】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
Ⅰ以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图的空间直角坐标系，利用向量法能证明平面．
Ⅱ求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
Ⅲ令，，求出，由此利用向量法能求出的长．