2023-2024学年河南省焦作十一中高二（上）月考数学试卷（11月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省焦作十一中高二（上）月考数学试卷（11月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(1,1,0)，则与a同向共线的单位向量e=( )
A. (− 22, 22,0)B. (0,1,0)C. ( 22, 22,0)D. (−1,−1,0)
2.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB+AD−CC1=( )
A. AC1
B. A1C
C. D1B
D. DB1
3.已知空间向量a=(2,−1,2)，b=(1,−2,1)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. (43,−23,43)B. (2,−1,2)C. (23,−43,23)D. (1,−2,1)
4.已知向量a=(−1,2,12)，b=(−3,x,2)，且a⊥b，则实数x等于( )
A. 1B. 2C. −2D. −1
5.直线x+ 3y−2=0的倾斜角为( )
A. π6B. π4C. π3D. 5π6
6.过点A(2,3)且与直线l：2x−4y+7=0平行的直线方程是( )
A. x−2y+4=0B. x−2y−4=0C. 2x−y+1=0D. x+2y−8=0
7.已知A(−2,0)，B(4,a)两点到直线l：3x−4y+1=0的距离相等，则a=( )
A. 2B. 92C. 2或−8D. 2或92
8.抛物线y=14x2的焦点到准线的距离为( )
A. 18B. 14C. 1D. 2
9.椭圆x2+2y2=4的焦点坐标为( )
A. ( 2,0)，(− 2,0)B. (0, 2)，(0,− 2)
C. ( 6,0)，(− 6,0)D. (0, 6)，(0,− 6)
10.双曲线C：x22−y24=1的实轴长为( )
A. 2 2B. 2C. 4D. 2
11.阿波罗尼斯(约公元前262−190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P与A、B距离之比为 2，当P、A、B不共线时，△PAB面积的最大值是( )
A. 23B. 2 23C. 2D. 2 2
12.阿基米德(公元前287年−公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为 32，面积为8π，则椭圆C的方程为( )
A. x24+y2=1B. x216+y24=1C. x216+y212=1D. x24+y216=1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,−4,2)，且a⊥c,b//c，则|2a+b|=______．
14.已知圆C：x2+y2−2x−4y+m=0.若圆C与圆D：(x+2)2+(y+2)2=1有三条公切线，则m的值为 ．
15.如图，已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点，AF1与y轴交于点B，若∠AF2B=3∠F1AF2=90°，则C的离心率为______．
16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l：2x+y−3=0平行，则双曲线C的离心率是 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知点A(−4,0)，B(0,3)，△ABC是等腰三角形，且AB⊥BC．
(1)求点C的坐标；
(2)求边AC的中线所在直线的方程．
18.(本小题12分)
已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：kx−y−5k+4=0．
(1)若直线l平分圆C，求k的值；
(2)若直线l被圆C截得的弦长为6，求k的值．
19.(本小题12分)
已知椭圆的焦点分别为F1(−4,0)，F2(4,0)，离心率e=0.8．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在椭圆上是否存在点P，使F1P⋅F2P=0，若存在，求出坐标．
20.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．
(1)求证：D1F/​/平面A1EC1；
(2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；
(3)求二面角A−A1C1−E的正弦值．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，AP⊥BD．
(1)证明：BC⊥平面PDB;
(2)若AB= 2，PB与平面APD所成角为45°，求点B到平面APC的距离．
22.(本小题12分)
已知抛物线y2=−4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A、B两点．
(1)求|AB|的值；
(2)求1|AF|+1|BF|的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：向量a=(1,1,0)，则与a同向共线的单位向量为
e=a|a|=(1 2,1 2,0)=( 22, 22,0)．
故选：C．
根据共线向量和单位向量的定义计算即可．
本题考查了共线向量和单位向量的定义与应用问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵ABCD−A1B1C1D1为平行四面体，
∴AB+AD−CC1=DC+AD+C1C=AC+C1C=A1C1+C1C=A1C．
故选：B．
根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．
本题主要考查向量的加减法法则，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：a⋅b=6，|a|=3，
故向量b在向量a上的投影向量是：a⋅b|a|2⋅a=69(2,−1,2)=(43,−23,43).
故选：A．
根据投影向量的求解公式计算即可．
本题考查空间向量条件下投影向量的计算，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查考查空间向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用空间向量垂直的性质直接求解．
【解答】
解：∵向量a=(−1,2,12)，b=(−3,x,2)，且a⊥b，
∴a⋅b=3+2x+1=0，
解得实数x=−2．
故本题选C．
5.【答案】D
【解析】解：直线x+ 3y−2=0，即为y=− 33x+2 33，
所以，tanα=− 33，α∈[0,π)，
所以α=5π6．
故选：D．
由一般式求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角．
本题考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵所求直线与直线l：2x−4y+7=0平行，
∴可设所求直线为2x−4y+m=0，
∵所求直线过点A(2,3)，
∴4−12+m=0，解得m=8，
∴所求直线的方程为x−2y+4=0．
故选：A．
根据已知条件，结合直线平行的性质，设出所求直线，再结合该直线过点A(2,3)，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查点到直线的距离公式，考查方程思想，属于基础题．
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】
解：∵A(−2,0)，B(4,a)两点到直线l：3x−4y+1=0的距离相等，
∴|−2×3−4×0+1| 32+(−4)2=|3×4−4a+1| 32+(−4)2，解得a=2或92．
故选：D．
8.【答案】D
【解析】解：抛物线y=14x2，
则x2=4y，即2p=4，解得p=2，
所以抛物线的焦点为(0,1)，准线为y=−1，
故抛物线y=14x2的焦点到准线的距离为2．
故选：D．
根据已知条件，将原方程化为标准方程，即可求出焦点与准线，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：椭圆x2+2y2=4的标准方程为：x24+y22=1，
可得a=2，b= 2，c= 2，
所以椭圆的焦点坐标( 2,0)，(− 2,0)．
故选：A．
化简椭圆方程为标准方程，然后求解a，b，推出c即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．
10.【答案】A
【解析】【分析】
由双曲线的方程可知a的值，从而可得实轴长．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
【解答】
解：由双曲线的方程可知焦点在x轴上，
且a2=2，即a= 2，
所以实轴长2a=2 2，
故选：A．
11.【答案】D
【解析】解：如图，以经过A、B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建系，如图：
则A(−1,0)、B(1,0)，设P(x,y)，
∵|PA||PB|= 2，∴ (x+1)2+y2 (x−1)2+y2= 2，
两边平方并整理得：x2+y2−6x+1=0⇒(x−3)2+y2=8，所以圆的半径为2 2，
∴△PAB面积的最大值是12×2×2 2=2 2．
故选：D．
以经过A、B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为 y轴建系，利用 |PA||PB|= 2求出圆的方程，可得圆的半径，进而可求出三角形面积的最大值．
本题考查了轨迹方程的计算，属于中档题．
12.【答案】B
【解析】【分析】
由题意，设出椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于a，b的方程组，求解方程组即可得答案．
本题考查椭圆的性质的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
【解答】
解：由题意，设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
因为椭圆C的离心率为 32，面积为8π，
所以e=ca= 1−b2a2= 328π=abπ，解得a2=16，b2=4，
所以椭圆C的方程为x216+y24=1．
故选：B．
13.【答案】3 2
【解析】解：向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,−4,2)，且a⊥c,b//c，
∴2x−4+2=012=y−4=12，解得x=1，y=−2，
∴2a+b=(2,2,2)+(1,−2,1)=(3,0,3)，
则|2a+b|= 32+02+32=3 2．
故答案为：3 2．
利用向量垂直和向量平行的性质列方程求出x，y，利用向量坐标运算法则求出2a+b，由此能求出|2a+b|．
本题考查向量的模的求法，考查向量垂直、向量平行的性质、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】−11
【解析】【分析】
本题考查两圆位置关系、相外切、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解．
【解答】
解：∵圆C：x2+y2−2x−4y+m=0，即(x−1)2+(y−2)2=5−m，
∴圆C的圆心为C(1,2)，半径为 5−m，
∵圆D：(x+2)2+(y+2)2=1，∴圆D的圆心为D(−2,−2)，半径为1，
∵圆C与圆D有三条公切线，∴圆C与圆D相外切，
∴|CD|= (1+2)2+(2+2)2= 5−m+1，
解得m=−11．
∴m的值为−11．
故答案为−11．
15.【答案】 3−12
【解析】解：由题意知|BF1|=|BF2|，设|BF1|=t，由∠AF2B=3∠F1AF2=90°，可得∠F1AF2=∠BF2O=30°，
从而可得|AF2|= 3t，|AB|=2t，|F1F2|= 3t=2c；
根据椭圆的定义，2a=|AF2|+|AB|+|BF1|=(3+ 3t)，
所以e=2c2a= 3t(3+ 3)t= 3−12．
故答案为： 3−12．
由椭圆的对称性可得|BF1|=|BF2|，再由∠AF2B=3∠F1AF2=90°，可得∠F1AF2=∠BF2O=30°，进而可得|AF2|，|AB|，|F1F2|与|BF1|的关系，再由椭圆的定义可得2a的值，求出椭圆的离心率．
本题考查椭圆的性质的应用及由三角形中角度关系求边的关系，属于中档题．
16.【答案】 5
【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程的形式，是中档题．
根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±bax，结合题意可得ba=2，即b=2a，由双曲线离心率公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l：2x+y−3=0平行，
ba=2，即b=2a，
则c= a2+b2= 5a，
则其离心率e=ca= 5，
故答案为： 5．
17.【答案】解：(1)因为△ABC是等腰三角形，且AB⊥BC，则|AB|=|BC|=5
设C(x,y)，
所以kABkBC=−1|BC|=5，即34×y−3x=−1 x2+(y−3)2=5，
解得：x=3y=−1或x=−3y=7，
所以C(3,−1)或(−3,7)．
(2)设边AC的中点为D，
当C(3,−1)时，则D(−12,−12)，
所以y−3−12−3=x−0−12−0，即7x−y+3=0，
所以边AC的中线所在直线的方程为7x−y+3=0；
当C(−3,7)时，则D(−72,72)，
所以y−372−3=x−0−72−0，即x+7y−21=0，
所以边AC的中线所在直线的方程为x+7y−21=0；
所以边AC的中线所在直线的方程为7x−y+3=0或x+7y−21=0．
【解析】(1)利用直线垂直的性质，结合两点间距离公式列方程可得解；
(2)求出中点坐标，利用点斜式可得方程．
本题考查直线方程的求解，是基础题．
18.【答案】解：(1)圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，的圆心(1,2)，直线l：kx−y−5k+4=0.若直线l平分圆C，
可得k−2−5k+4=0，解得k=12．
(2)圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，圆心坐标(1,2)，半径为5．
圆心到直线l：kx−y−5k+4=0的距离为：|k−2−5k+4| 1+k2=|4k−2| 1+k2．
由垂径定理可得：(|4k−2| 1+k2)2+32=52，
解得k=−34．
【解析】(1)求出圆的圆心坐标，代入直线方程，即可求出k．
(2)求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径半弦长满足的勾股定理求解即可．
本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查计算能力．
19.【答案】解：(1)由椭圆的焦点分别为F1(−4,0)，F2(4,0)，离心率e=0.8．
可设椭圆的标准方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)．
则c=4，ca=0.8，b2=a2−c2，
解得c=4，a=5，b=3．
∴椭圆的标准方程为：x225+y29=1．
(2)当点P取椭圆短轴的一个端点时，∠F1PF2取得最大值，
而tan∠OPF1=43>1，∴∠F1PF2>90°．
因此在椭圆上存在点P，使F1P⋅F2P=0．
设P(x0,y0)，
则x0225+y029=1x02−16+y02=0，
解得x0=±5 74y0=±94，
∴P(±5 74,±94)．
【解析】(1)由题意可设椭圆的标准方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0).利用c=4，ca=0.8，b2=a2−c2，解出即可．
(2)当点P取椭圆短轴的一个端点时，∠F1PF2取得最大值，而tan∠OPF1=43>1，可得∠F1PF2>90°.因此在椭圆上是否存在点P，使F1P⋅F2P=0．
设P(x0,y0)，联立x0225+y029=1x02−16+y02=0，解出即可．
本题考查了椭圆的定义及其性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A10,0,2，E2,1,0，C12,2,2，
故A1C1=(2,2,0),EC1=(0,1,2)，
设平面A1EC1的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1C1=0n⋅EC1=0，即x+y=0y+2z=0，
令z=1，则x=2，y=−2，故n=(2,−2,1)，
又F1,2,0，D10,2,2，所以FD1=(−1,0,2)，
则n⋅FD1=0，又D1F⊄平面A1EC1，
故D1F/​/平面A1EC1；
(2)解：由(1)可知，AC1=(2,2,2)，
则|cs|=|n⋅AC1||n||AC1|=23×2 3= 39，
故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为 39；
(3)解：由(1)可知，AA1=(0,0,2)，
设平面AA1C1的法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅AA1=0m⋅A1C1=0，即c=0a+b=0，
令a=1，则b=−1，故m=(1,−1,0)，
所以|cs|=|m⋅n||m||n|=43× 2=2 23，
故二面角A−A1C1−E的正弦值为 1−89=13．
【解析】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
(1)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面A1EC1的法向量，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明；
(2)利用(1)中的结论，由向量的夹角公式求解，即可得到答案；
(3)利用待定系数法求出平面AA1C1的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可．
21.【答案】解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，BC在平面ABCD内，BD在平面ABCD内，
∴PD⊥BC，PD⊥BD，
又AP⊥BD，AP∩PD=P，且AP，PD均在平面APD内，
∴BD⊥平面APD，
又AD在平面APD内，
∴BD⊥AD，
又底面ABCD为平行四边形，
∴BC⊥BD，
又PD∩BD=D，且PD，BD都在平面PBD内，
∴BC⊥平面PDB；
(2)由(1)知，PB与平面APD所成角即为∠BPD，故∠BPD=45°，
又AB= 2，∠DAB=45°，
∴AD=BD=PD=1,AP= 1+1= 2,PC= 1+2= 3，AC=2 14+1= 5，
∴AP2+PC2=AC2，即AP⊥CP，
∴S△APC=12× 2× 3= 62，S△ABC=12×1× 2× 22=12．
设点B到平面APC的距离为h，
又VP−ABC=VB−PAC，
∴13S△ABC⋅PD=13S△PAC⋅h，
即12×1= 62h，
解得h= 66，
即点B到平面APC的距离为 66．
【解析】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查利用等体积法求点到平面的距离，考查逻辑推理及运算求解能力，属于中档题．
(1)先证明BD⊥平面APD，可得BD⊥AD，再由底面ABCD为平行四边形，可得BC⊥BD，结合PD⊥BC即可得证；
(2)求出各棱长，利用等体积法即可求得点B到平面APC的距离．
22.【答案】解：抛物线C：y2=−4x的焦点为F(−1,0)，
AB的方程为y=1×(x+1)=x+1，代入y2=−4x
整理得x2+6x+1=0，故x1+x2=−6，x1x2=1
(1)所以，|AB|=−(x1+x2)+p=6+2=8．
(2)利用抛物线定义可得|AF|=−x1+1，|BF|=−x2+1，
∴1|AF|+1|BF|=11−x1+11−x2=2−(x1+x2)1−(x1+x2)+x1x2=1．
【解析】(1)写出直线方程代入抛物线方程利用韦达定理以及抛物线的性质，求解写出|AB|即可．
(2)利用|AF|=−x1+1，|BF|=−x2+1，及根与系数的关系即可得出．
本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，弦长公式的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．