甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题

这是一份甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．抛物线 的准线方程是( )
A． B．C．D．
2．若双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A．eq \f(\r(7),3) B．eq \f(5,4) C．eq \f(4,3) D．eq \f(5,3)
3．“ ”是“方程 表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．右图是抛物线形拱桥，当水面在位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽( )米
A． B． C． D．
5．椭圆的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2．若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A． B．C． D．
6．若两点 ， ，当|eq \(AB,\s\up6(→))|取最小值时， 的值等于( )
A．19 B．－eq \f(8,7) C．eq \f(8,7) D．eq \f(19,14)
7．已知命题p:∃ ，,命题q: ,则( )
A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧()是真命题 D．命题p∨()是假命题
8．设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：与C1的一个交点，则cs∠F1PF2的值是( )
A． B． C． D．
9．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为( )
A．7 B．8 C．9D．10
10．正方体 的棱长为1，O是底面 的中心，则O到平面
的距离为( )
A．eq \f(\r(2),4) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
11．已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A，B两点，为抛物线的焦点， 若
,则＝（ ）
A． B． C． D．
12．过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点,使得 ，若这样的直线有且仅有两条,则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.给定下列命题：
①“ ”是“ ”的充分不必要条件；
②“若sinα≠eq \f(1,2)，则α≠eq \f(π,6)”；
③“若 ，则 且y＝0”的逆否命题；
④命题“∃ ，使 ”的否定.
其中真命题的序号是 .
14．已知 ， ， ,若 共面，则 ＝________.
15. 已知A是双曲线C:的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线于P，Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围是 .
16. 已知点C（2，2），直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于B点，M为线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题10分）
给出两个命题：命题甲：关于 的不等式 的解集为 ，命题乙：函数 为增函数．分别求出符合下列条件的实数 的范围.
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.
（本小题12分）
已知三棱锥S－ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC，SA＝3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出eq \(SB,\s\up6(→))、eq \(SC,\s\up6(→))的坐标；
（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.
（本小题12分）
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，B B1 的中点，AA1＝AC＝CB＝
eq \f(\r(2),2)AB =2.
(1)求证：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值.
（本小题12分）
已知椭圆C：的离心率e＝eq \f(\r(6),3)，A，B是椭圆C上两点，N(3，1)是线段AB的中点.
（1）求直线AB的方程；
（2）若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程.
21.（本小题12分）
已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正实数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→)) <0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．（本小题12分）
已知椭圆C： ，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），
P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 设直线不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：过定点.
兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末考试答案
数学（理科）
选择题：（每小题5分，共60分）
填空题：（每小题5分，共20分）
13.②④14.15.（1,2）16.x+y-2=0
解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
解析：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，
即a＞eq \f(1,3)或a＜－分
乙命题为真时，2 a2－a＞1，
即a＞1或a＜－eq \f(1,2)分
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
a的取值范围是分
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，eq \f(1,3)＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a<－eq \f(1,2)，
∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为
分
（本小题12分）
解析：(1)建系如图，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(eq \r(3)，1,0)，C(0,2,0)．
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1,0)，eq \(SB,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，－3)，eq \(SC,\s\up6(→))＝(0,2，－3)．分
(2)设面SBC的法向量为．
则
令y＝3，则z＝2，x＝eq \r(3)，∴．
设AB与面SBC所成的角为θ，则分
（本小题满分12分）
解析：(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点
，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC＝CB＝eq \f(\r(2),2)AB，得AC⊥分
以C为坐标原点，eq \(CA,\s\up6(→))的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，，eq \(CD,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(0,2,1)，
．
设是平面A1CD的法向量，
则
可取．
同理，设是平面A1CE的法向量，则可取．
从而，故.
即二面角D－A1C－E的正弦值为eq \f(\r(6),3)分
（本小题12分）
解析：(1)离心率e＝eq \f(\r(6),3)，设椭圆C：x2＋3y2＝a2(a＞0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，设直线AB的方程为y＝k(x－3)＋1，代入x2＋3y2＝a2，
整理得(3k2＋1)x2－6k(3k－1)x＋3(3k－1)2－a2＝0.①
Δ＝4[a2(3k2＋1)－3(3k－1)2]＞0，②且，
由N(3，1)是线段AB的中点，得．
解得k＝－1，代入②得a2＞12，直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0..6分
(2)圆心N(3，1)到直线的距离,.
当时方程 = 1 \* GB3 ①即
，解得.
椭圆方程为分
21.（本小题12分）
解析: (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：
(x＞0).化简得y2＝4x(x＞0)分
(2)设过点M(m，0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①
又eq \(FA,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，eq \(FB,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＜0⇔
(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②
又x＝eq \f(y2,4)，于是不等式②等价于eq \f(yeq \\al(2,1),4)·eq \f(yeq \\al(2,2),4)＋y1y2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,1),4)＋\f(yeq \\al(2,2),4)))＋1＜0⇔
eq \f(（y1y2）2,16)＋y1y2－eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（y1＋y2）2－2y1y2))＋1＜0.③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④
对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－2eq \r(2)＜m＜3＋2eq \r(2).
由此可知，存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＜0，且m的取值范围是(3－2eq \r(2)，3＋2eq \r(2))分
22．（本小题12分）
解析:（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此 ，解得
故C的方程为分
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2,
如果l与x轴垂直，设l:x=t,由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（），（t，）则,得t=2，
不符合题设.
从而可设l: ，将代入得
由题设可知
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
而
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
B
B
A
C
C
C
D
A
D
B