甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题（含答案）

兰州一中2020-2021-1学期期末考试试题

高二数学（文科）

命题人：马健      审题人：石磊

（考试时间：120分钟     试卷满分:150分）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．为虚数单位，已知复数是纯虚数，则等于　　

A． B．1 C． D．0

2．命题“若，则或”的否命题为　　

A．若，则或 B．若，则且 

C．若或，则 D．若且，则

3．已知复数，，则复数等于　　

A．1 B． C． D．2

4．命题“关于的不等式在上恒成立”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

5．命题“若抛物线的开口向下，则集合”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是　　

A．都真 B．都假 C．否命题真 D．逆否命题真

6．设椭圆的离心率为，则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

7．下列说法正确的是　　

A．在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 

B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点，，，，，

…，中的一个点 

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 

D．在回归分析中，相关指数为0.98的模型比相关指数为0.80的模型拟合的效果差

8．给出下列命题

（1）实数的共轭复数一定是实数；

（2）满足的复数的轨迹是椭圆；

（3）若，，则；

（4）若“，，是不全相等的实数”，则；

（5）若“，，是不全相等的实数”，则 ，，不能同时成立

其中正确命题的序号是　　

A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（5） D．（3）（4）（5）

9．双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于7，那么点到另一个焦点的距离等于　　

A．1 B．13 C．1或13 D．15

10．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线的实轴长为　　

A． B．3 C． D．6

11．已知是椭圆上的动点，则的最大值为　　

A．5 B． C．6 D．

12．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，且线段被点

平分，则椭圆的离心率为　　

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知抛物线上一点到轴的距离比它到焦点的距离小3，则　 　　 　．

14．双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点，则的标准方程为　 　　 　．

15．已知点在椭圆上，垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为，并且为线段的中点，则点的轨迹方程是　 　　 　．

16．已知函数，，若存在，，，使得成立，则实数的取值范围是　 　　 　．

三、 解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

17．（本小题满分10分）已知命题：“，不等式成立”是真命题．

（1）求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（本小题满分12分）设命题：方程表示双曲线；命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”．

（1）若和均为真命题，求的取值范围；

（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．

19．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，是坐标原点．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知直线与抛物线相交于，两点，

①求；

②若，且在抛物线上，求实数的值．

20．（本小题满分12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，如表1是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），

表1

为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，，得到表

表2

（1）求关于的线性回归方程；

（2）通过（1）中的方程，求关于的回归方程；

（3）用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？

（附：对于线性回归方程，其中，．

21．（本小题满分12分）为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用传统教学和“导学案”两种教学方

式，在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级各随机抽取20

名学生的成绩进行统计，得到如图茎叶图．记成绩不低于70分者为“成绩优良”．

（1）请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由；

（2）构造一个教学方式与成绩优良列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩

优良与教学方式有关”？

（附，其中是样本容量）

独立性检验临界值表：

22．（本小题满分12分）椭圆与抛物线的公共弦长为，且椭圆的离心率为，点为椭圆上一动点（非长轴端点），，为椭圆的左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若的面积为，求直线的方程．

兰州一中2020-2021-1学期期末考试试题

高二数学（文科）

命题人：马健      审题人：石磊

（考试时间：120分钟     试卷满分:150分）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 6         14.          15.         16. ，     

三、 解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

17．（本小题满分10分）

解：由题意命题：“，不等式成立”是真命题．

在恒成立，即，；

因为，所以，即，所以实数的取值范围是；

由得，设，由得，设，因为是的充分不必要条件；

所以，但推不出，；所以，即，所以实数的取值范围是，．

18．（本小题满分12分）

解：（1）若为真命题，则，得，或，

若为真命题，则，得，故和均为真命题时，取交集得，

的取值范围为：．

（2）因为为真命题，为假命题，

所以，一真一假，

当真假时，，解得，或，

当假真时，，无解

综上，实数的取值范围为或．

19．（本小题满分12分）

解：（1）双曲线方程可化为，因此，所以，

所以双曲线的一个焦点是，于是抛物线的焦点为，

则，所以，故抛物线的方程为；

（2）①依题意，由可得，，，，

因为,所以=5

②设，，则由，

得，，

由于在抛物线上，因此，所以．

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），，，，，

，所以．

（Ⅱ）将，，代入，

得，即．

（Ⅲ）因为，

所以预测到2022年底，该地储蓄额可达13.2千亿元．

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）乙班 “导学案”教学方式）教学效果更佳，

理由1、乙班大多在70以上，甲班70分以下的明显更多；

理由2、甲班样本数学成绩的平均分为：70.2；乙班样本数学成绩前十的平均分为：79.05，高以上．

理由3、甲班样本数学成绩的中位数为：，乙班样本成绩的中位数，高以上．

（Ⅱ）列联表如下：

的观测值：．

答：能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．

22．（本小题满分12分）

解：（1）由椭圆和抛物线的对称性可设、交点的坐标为，和，，

由两曲线的公共弦长为，可得，

代入抛物线 得，

将点 代入椭圆方程得，①，

离心率为 可得②，

联立①，②可得，，即椭圆方程为：．

（2）由题意可知，且点不是长轴端点，

因此可设直线的方程为：，，，，，

联立直线方程和椭圆方程可得：，

△恒成立，，

原点到直线的距离，

则点到直线的距离为，，

解得或 （舍去），即直线的方程为．