福建省南平市2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学（文）试题 Word版含解析

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2018-2019学年度上学期期末考试高二试题
数学（文）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线标准方程知p＝2，可得抛物线准线方程．
【详解】抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且2p=4,=1，
∴抛物线的准线方程是x＝﹣1．
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题．
2.已知数列为等差数列，若，则
A. 5 B. 10 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得，代入数据计算可得答案．
【详解】根据题意，等差数列中，有，
若，
则；
故选：A．
【点睛】本题考查等差数列性质（其中m+n=p+q）的应用，属于基础题．
3.如果，那么下列不等式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质对选项逐个检验即可得出答案．
【详解】，
，，即为，
因此A，C，D正确，而B不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
4.已知函数，则其导函数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据初等函数的导数即可得结果.
【详解】∵，根据对数函数求导公式可得，故选C.
【点睛】本题主要考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．
5.平面内到点、的距离之差等于12的点的集合是
A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹．
【详解】设动点为P，则|P|﹣|P|＝12＝||，
点P的轨迹为一条射线
故选：D．
【点睛】本题考查双曲线的定义及其注意特殊情况，考查了推理能力，属于基础题．
6.函数的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用排除法，根据函数的奇偶性可排除A，C选项；当时，，可排除D选项，即可得结果.
【详解】∵函数的定义域为关于原点对称，
，
∴函数为奇函数，即图象关于原点对称，故可排除A，C选项，
当时，∵，，∴，即图象在轴上方，
故可排除D选项，故答案为C.
【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.
7.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
写出表示焦点在y轴上的双曲线的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义可作出判断．
【详解】方程表示焦点在y轴上的双曲线，
推不出，，
是的必要而不充分条件，
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线方程、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.已知变量，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A. 0 B. -6 C. -10 D. -12
【答案】C
【解析】
【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.
【详解】画约束条件可行域如图：
目标函数z＝x﹣2y可化为y＝x﹣，，即斜率为，截距为﹣的动直线，
数形结合可知，当动直线过点A时，纵截距最大，z最小
由得A（2,6）
∴目标函数z＝x﹣2y的最小值为z＝2﹣12＝﹣10．
故选：C．
【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
9.若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为
A. 36 B. 16 C. 20 D. 24
【答案】B
【解析】
设则,即,又,故选B.
10.两个正实数x、y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得，然后将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求的最小值8，然后解不等式即可得出答案．
【详解】由题意可知，，
由基本不等式可得，
当且仅当，即当时，等号成立，
所以，即，解得．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，对代数式进行灵活配凑是解本题的关键，属于中等题．
11.已知，分别是双曲线的左顶点、右焦点，过的直线与的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和轴分别交于，两点.若，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件设出直线l的方程，与y＝﹣x联立，求P点坐标，将x＝0带入直线l，求Q点坐标，由AP⊥AQ，知kAP•kAQ，由此求离心率．
【详解】∵A，F分别是双曲线的左顶点、右焦点，
∴A（﹣a，0）F（c，0），
∵过F的直线l与C的一条渐近线垂直，
且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点，
∴直线l的方程为：y＝﹣，
直线l：y＝﹣与y＝﹣x联立：
，解得P点
将x＝0带入直线l：y＝﹣，得Q（0，），
∵AP⊥AQ，∴kAP•kAQ＝×＝﹣1，
化简得b2﹣ac﹣a2＝﹣c2，
把b2＝c2﹣a2代入，得2c2﹣2a2﹣ac＝0
同除a2得2e2﹣2﹣e＝0，
∴e＝，或e＝（舍）．
故选：D．
【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，关键是根据已知条件写出关于a,b,c的等量关系，考查分析推理能力和计算能力，是中档题．
12.已知函数，，使得对于，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将，使得对于，且，都有转化为函数在区间上存在单调递增区间，即在区间上存在子区间使得成立，根据二次函数的性质可得结果.
【详解】根据题意得函数在区间上存在单调递增区间，
∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立．
，
设，则或，
即或，
得，故选A．
【点睛】本题主要考查函数的导数的综合应用，不等式的解法，将题意等价转化为函数存在单调递增区间是解题的关键，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.命题“若，则”的否命题的__________．（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】
写出否命题，即可判断其真假．
【详解】∵“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的否命题为：
“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”，
显然是真命题．
故答案为：真．
【点睛】本题考查四种命题的真假判断，考查命题的否命题，原命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”．
14.数列的前项和，则的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用递推关系当时，；当时，，再验证时的情形即可得出结果．
【详解】∵，∴时，．
当时，，
当时，不满足，
则数列的通项公式为：，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了递推关系、数列通项公式与前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.直线经过点，且与曲线相切，若直线的倾斜角为，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设切点为（m，m2），求函数导数，求得切线斜率可得切点，再由两点斜率公式，计算即可得答案．
【详解】设切点为（m，m2），y＝x2的导数为y′＝2x，
切线l的斜率为k＝2m＝tan45°＝1，
解得m＝，可得切点为（，），
由1＝，解得t＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
16.设a、b、c是正实数满足，则的最小值为____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用放缩法和基本不等式的性质进行求解．
【详解】，b，c是正实数，满足，
，
当且仅当时取等号
故答案为：．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用和放缩法，属于中等题．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在等比数列中，．
求数列的通项公式；
设，且数列为递减数列，求数列的前n项和．
【答案】(1)或；(2)．
【解析】
【分析】
设公比为q，由等比数列的通项公式可得首项和公比的方程组，解方程即可得到所求通项公式；数列为递减数列，可得，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和.
【详解】等比数列的公比设为q，，
可得，，
解得，，或，，
则或；
若，不满足数列为递减数列，
则，
数列的前n项和．
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18.设函数，.
（1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；
（2）若在上为单调增函数，求的取值范围.
【答案】（1）2（2）
【解析】
【分析】
（1）求出的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出的极小值即可；（2）转化为对于恒成立，即对于恒成立，结合的范围可得结果.
【详解】（1）由题设，当时，，则，（）
∴当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
∴当时，取得极小值，，∴的极小值为2.
（2）因为在上为单调增函数，
所以对于恒成立，
即对于恒成立，
进而
【点睛】本题主要考查了函数的极值问题，考查导数在单调性中的应用，转化思想，函数单调递增即恒成立，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，属于中档题.
19.已知椭圆的方程为，点P的坐标为，求过点P且与椭圆相切的直线方程．
【答案】或．
【解析】
【分析】
设出切线方程，联立方程组，通过判别式为0，求解即可．
【详解】椭圆的方程为，可得，
点P的坐标为，过点P且与椭圆相切的直线方程之一是，
另一条切线为：．
由：可得：，
，
解得．
过点P且与椭圆相切的直线方程：或．
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
20.已知抛物线C：，点在x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛线C相交于A、B两点，O为坐标原点．
若，且直线l的斜率为1，求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切；
是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，恒为定值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见证明；(2)见解析
【解析】
【分析】
写出直线AB方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理与弦长公式计算值，并求出线段AB的中点到准线的距离，证明该距离等于的一半，即可证明结论成立；设直线AB的方程为，并设点、，列出韦达定理，结合弦长公式得出的表达式，根据表达式为定值得出m的值，从而可求出定点M的坐标．
【详解】当时，且直线l的斜率为1时，直线l的方程为，设点、，
将直线l的方程代入抛物线C的方程，消去y得，，
由韦达定理可得，，
由弦长公式可得，
线段AB的中点的横坐标为3，所以，线段AB的中点到抛物线准线的距离为4，
因此，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切；
设直线l的方程为，设点、，
将直线l的方程代入抛物线方程并化简得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
所以，为定值，
所以，，即时，恒为定值．
此时，定点M的坐标为．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，灵活利用韦达定理求解，是解本题的关键，属于中等题．
21.在平面直角坐标系中，中心在原点的椭圆的上焦点为，离心率等于.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线交椭圆于、两点，问：线段上是否存在一点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明.
【答案】（1）（2）存在满足条件的点
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，，即可求出椭圆方程；（2）设满足条件的点，则，设的方程为：，（），代入椭圆方程，根据菱形的对角线互相垂直即，结合韦达定理和向量的运算即可求出．
【详解】解：（1）由题意可知椭圆的离心率，，
所以，，进而椭圆的方程为
（2）存在满足条件的点.
设满足条件的点，则（），
设的方程为：，（），代入椭圆方程，，
设，，则，∴.
∵以、为邻边的平行四边形为菱形，∴
∵
∴，且的方向向量为
∴ 即
∵，∴，
∴，∴存在满足条件的点.
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
22.已知函数，直线．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；
（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由．
【答案】（Ⅰ）极小值，无极大值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出函数定义域再求导，得令，解得的值，画出 当变化时，与的变化情况表所示，可得函数的单调区间，从而得到函数有极小值，无极大值
（Ⅱ）对于是否存在问题，先假设存在某个，使得直线与曲线相切，先设出切点，再求，
求得切线满足斜率，又由于过点，可得方程显然无解，所以假设不成立． 所以对于任意，直线都不是曲线的切线.
（Ⅲ）写出“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.
由分离系数法得，令，得，其中，且.考察函数，其中，求导得到函数的单调性，从而得到方程根的情况，命题得证
试题解析：函数定义域为，
求导，得，
令，解得．
当变化时，与的变化情况如下表所示：
所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，
所以函数有极小值，无极大值．
（Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切，
设切点为，又因为，
所以切线满足斜率，且过点，所以，
即，此方程显然无解，所以假设不成立．
所以对于任意，直线都不是曲线的切线.
（Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.
由方程，得.
令，则，其中，且.考察函数，其中，
因为时，所以函数在单调递增，且.
而方程中，，且.
所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，
故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.
考点：导数的单调性与导数及导数的几何意义.