2022-2023学年福建省南平市高二上学期期末质量检测数学试题含解析

2022-2023学年福建省南平市高二上学期期末质量检测数学试题

一、单选题

1．如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为那么该质点在秒时的瞬时速度为：（    ）（单位：米/秒）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.

【详解】，

所以.

故选：D.

2．直线与直线之间的距离为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】由两线距离公式求值即可.

【详解】，显然与另一条直线平行，则所求距离为.

故选：C.

3．函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数的除法法则和复合函数的导数法则进行求解.

【详解】因为；

所以；

故.

故选：D.

4．如图，在平行六面体中，M为与的交点．记，，则下列正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用平行六面体的性质以及空间向量的线性运算即可求解.

【详解】由题意可知：在平行六面体中，M为与的交点，

所以为的中点，则，

所以

，

故选：.

5．若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】原命题等价为在R上恒成立，结合二次函数的性质列不等式求解即可.

【详解】∵函数在R上是增函数，在R上恒成立，

∴.

故选：B.

6．过抛物线C：焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，若E为线段AB的中点，M为抛物线C上任意一点，则的最小值为（    ）

A．3 B． C．6 D．

【答案】A

【分析】利用中点关系求出E的轨迹方程，结合椭圆定义由数形结合可得最小值.

【详解】设，E为线段AB的中点，则，

又，两式相减得，

由，∴，∴E的轨迹为顶点在的抛物线.

如图所示，、EP垂直C的准线于N、P，则 ，

则当与F重合时，最小，为.故的最小值为3.

故选：A.

7．若数列的前n项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由新定义求得，然后由求得，从而可求得（裂项相消法）后得的最小值，解相应不等式可得结论．

【详解】由题意,即,

∴时，，

又，∴时，，

，

，

易知是递增数列，∴的最小值是（时取得），

由题意，解得．

故选：B．

8．已知函数的最小值为－1，过点的直线中有且只有两条与函数的图象相切，则实数b的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先利用导数求出函数的最小值，结合题意可得，设过点的直线与函数的图象相切的切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过点建立方程，再结合过点的直线有两条与函数的图象相切可得，解之即可求解.

【详解】因为，则，

令可得．

当时，，是增函数．

当时，，是减函数．

所以当时，有最小值，所以，

设过点的直线与函数的图象相切的切点为，

则切线方程为，

又切线过点，

所以，

即，

即．

过点的直线有两条与函数的图象相切，

则，即，

解得：或．

故选：.

二、多选题

9．若函数，则（    ）

A．函数只有极大值没有极小值 B．函数只有最大值没有最小值

C．函数只有极小值没有极大值 D．函数只有最小值没有最大值

【答案】CD

【分析】由导数法研究函数的极值、最值.

【详解】，单调递增，由，

则.

∴函数有唯一极小值，即最小值，没有极大值、最大值.

故选：CD.

10．函数，以下说法正确的是（    ）

A．函数有零点 B．当时，函数有两个零点

C．函数有且只有一个零点 D．函数有且只有两个零点

【答案】BC

【分析】利用导函数研究函数的单调性，进而得到函数的最值，根据零点存在定理求解即可.

【详解】，定义域，所以，

令解得，令解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，，

则的图象如图所示：

故A错误；

又当时，，所以从图像可得，当时，函数有两个零点，B正确；

恒成立，

所以在上单调递减，

又，，所以函数有且只有一个零点，C正确，D错误；

故选：BC

11．已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为.若对任意的，都有，则的值可能为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】ABC

【分析】由等差数数列前项和公式推导出，由此能求出的值不可能为.

【详解】数列是公差不为0的等差数列，前项和.

若对任意的，都有，

，，解得，

当时，．成立；

当时，．成立；

当时，．成立；

当时，．不成立．

的值不可能为．

故选：ABC．

12．双曲线E的一个焦点为，一条渐近线l的方程为，M，N是双曲线E上不同两点，则（    ）

A．渐近线l与圆相切

B．M，N的中点与原点连线斜率可能为

C．当直线MN过双曲线E的右焦点时，满足的直线MN只有3条

D．满足的点M有且仅有2个

【答案】AC

【分析】求出圆心到直线的距离即可判断A；根据题意求出双曲线的方程，假设存在点，符合题意，利用点差法求出，即可判断B；求出通径及实轴长即可判断C；分别比较与的大小即可判断D.

【详解】圆的圆心为，半径为1，

圆心到曲线E的渐近线的距离为，

所以渐近线l与圆相切，故A正确；

因，所以，即，

又一条渐近线l的方程为，所以，

可解得：，，

所以曲线E的方程为，

假设存在点，符合题意，

则的中点，，

由，，

相减得，

所以，

所以共线，故直线与渐近线重合，矛盾，故B不正确；

双曲线E的焦距为，则直线MN过左右顶点时，，符合题意，

令，则有，解得，

所以双曲线的通径为，

即直线MN过双曲线E的右焦点时，，

所以当直线不过左右顶点时，满足的线段有2条，

综上，满足的线段包含实轴共有3条，故C正确；

，所以右支上有两点满足题意，

，所以左支上有两点满足题意，

满足的点M有且仅有4个，D不正确．

故选：AC.

【点睛】结论点睛：

①已知椭圆的弦的中点，则；

②已知双曲线的弦的中点，则；

③已知抛物线的弦的中点，则.

三、填空题

13．已知等差数列的前n项和为，若，则______．

【答案】35

【分析】根据等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质求解即可.

【详解】解：等差数列的前n项和为，，

，

故答案为：35.

14．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，请写出满足题意的直线PF的一个方程_____________．

【答案】（或，写其中一个即可）

【分析】求出焦点坐标，由焦半径公式求得点坐标后可得直线方程．

【详解】由题意焦点为为，设，

则，，，，

若，则，直线方程为，即，

若，则，直线方程为，即，

故答案为：或（写一个即可）．

15．某牧场年年初牛的存栏数为，计划以后每年存栏数的增长率为，且每年年底卖出头牛，按照该计划预计经过_____________年后存栏数首次超过．（结果保留成整数）参考数据：，

【答案】

【分析】根据题意列出数列的递推公式，求出通项公式，解不等式得出答案.

【详解】设年年初牛的存栏数为，经过年（即年）,年初牛的存栏数为，经过年年初牛的存栏数为，

则，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列.

因此，由得，即.

所以按照该计划预计经过年后存栏数首次超过．

故答案为：7.

16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，的面积为，，则椭圆的长轴长为_____________．

【答案】7

【分析】先根据椭圆的定义结合余弦定理和三角形面积公式可得，再利用正弦定理列式即可求解.

【详解】因为是椭圆上一点，所以，，，

由余弦定理

，

可得，

所以，

即,

所以，

又因为，所以，

由及正弦定理得，

所以，即，又，所以长轴长，

故答案为：

四、解答题

17．已知圆M过点，，．

(1)求圆M的方程；

(2)求过点的直线被圆M截得的弦长的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据圆的性质设出圆心坐标，利用相等关系求出圆心和半径，进而可得方程；

（2）根据点在圆内，确定弦长最短的状态，结合勾股定理可得答案.

【详解】（1）由题意圆心M在AB中垂线上，设圆心，

则由得，

解得，，所以圆M的方程．

（2）因为，点在圆内，

当弦所在的直线和MN连线垂直时，截得弦长DE最短，

此时，，

即弦长的最小值为．

18．已知四面体ABCD的顶点坐标分别为，，，．

(1)若M是BD的中点，求直线CM与平面ACD所成的角的正弦值；

(2)若P，A，C，D四点共面，且BP⊥平面ACD，求点P的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意分别求出向量和平面ACD的一个法向量，再用直线与平面所成的角的正弦值公式代入计算即可；

（2）由题意，，于是点P的坐标为，由P，A，C，D四点共面，可设，将坐标分别代入即可解得，从而求得点P的坐标.

【详解】（1）由题意，，，，，

可设平面ACD的法向量，

则，即，

化简得．

令，则，，

可得平面ACD的一个法向量，

设直线CM与平面ACD所成的角为，

则，

即直线CM与平面ACD所成的角的正弦值为；

（2）由题意，，于是点P的坐标为，

又P，A，C，D四点共面，可设，

即，

即，

解得，

所以所求点P的坐标为．

19．已知数列的前项和为，且满足，等差数列中，，.

(1)求数列，的通项公式；

(2)定义，记，求数列的前20项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据，作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，再设数列的公差为，即可得到方程组，解得、，从而求出的通项公式；

（2）根据通项公式判断数列的单调性，即可得到的通项公式，再用分组求和法计算可得.

【详解】（1）解：因为，当时，解得，

当时，所以，即，

所以，即是以为首项，为公比的等比数列，

所以；

设数列的公差为，由，，可得，解得，

所以.

（2）解：因为，即数列为递增数列，

即数列单调递减，

，，，，，，

，，，，，，

所以当时，当时，

所以，

所以

.

20．已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于M，N两点，当轴时，．

(1)求双曲线C的离心率e；

(2)当l倾斜角为时，线段MN垂直平分线交x轴于P，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可得：，也即，进而求出双曲线的离心率；

（2）结合（1）的结论可得双曲线C的方程为，设直线MN的方程为，

联立方程组，利用韦达定理和中点坐标公式可得MN的垂直平分线的方程为，进而得到P的坐标为，计算可得，，进而求解.

【详解】（1）根据题意．

所以，所以双曲线C的离心率．

（2）由（1）知，双曲线C的方程为．

直线MN的方程为，

联立方程组，得，

设，，，

则，．

因为，所以MN的中点坐标为．

MN的垂直平分线的方程为，

所以P的坐标为，

所以．

又，

所以．

21．在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，M是AB的中点，且，，．

(1)证明：平面EDC⊥平面ABCD；

(2)若，当平面ABF与平面CEF所夹的角的余弦值为时，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用面面垂直的判定定理进行证明；

（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角的余弦值为求出的值.

【详解】（1）因为，取CD中点O，连接OE，则EO⊥DC，且EO＝2，

因为O，M是AB的中点，所以OM＝2，所以，即EO⊥OM，

又因为EO⊥DC，且，平面ABCD，平面ABCD，

所以EO⊥平面ABCD，又平面ABCD，

所以平面EDC⊥平面ABCD；

（2）由（1）以O为原点，OM，OC，OE为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

设平面CEF的一个法向量为，

则，取，

，，

设平面ABF的一个法向量为，

则，取，

所以，

解得，即当平面ABF与平面CEF所夹的角的余弦值为时，．

22．定义椭圆C：上的点的“圆化点”为．已知椭圆C的离心率为，“圆化点”D在圆上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，点M，N的“圆化点”分别为点P，Q．记直线l，AP，AQ的斜率分别为k，，，若，则直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点的坐标；若直线l不过定点，说明理由．

【答案】(1)

(2)直线l过定点

【分析】（1）结合离心率及点的位置求得，，得到椭圆的方程；

（2）设直线l的方程为，与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到用参数表示，代入化简整理可得，从而得到直线的定点坐标.

【详解】（1）由题意，所以，

由得，

又点在圆上，，

所以，即，，

所以椭圆C的方程为.

（2）设直线l的方程为，，，其中，

联立，

消y得，，

由，，，

得

，

因为，则，

即，所以直线l方程为，

即直线l过定点．

【点睛】求解圆锥曲线中定点问题的两种求法：

（1）    特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.

（2）    直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程（包含直线方程）中的常数变成变量，将变量当成常数，将原方程转化为的形式；②根据曲线（包含直线）过定点时与参数没有关系（即方程对参数的任意值都成立），得到方程组；③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决.