2022-2023学年上海市嘉定区八年级上学期期末数学试卷

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一、选择题（本大题共6小题，共12.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把和各选项中的式子化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念解答即可．
【详解】解：．
A．，与被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
B．，与的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；
C．，与被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
D．，与与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
2. 下列根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A．，不是最简二次根式；
B．=2，不是最简二次根式；
C．是最简二次根式；
D．，不是最简二次根式；
故选C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义，即可找出结论．
【详解】解：A．方程是一元二次方程，选项A符合题意；
B．方程是分式方程，选项B不符合题意；
C．原方程整理得，该方程为一元一次方程，选项C不符合题意；
D．是二元一次方程，选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
4. 关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（ ）
A. 点在这个图象上B. 函数值随自变量的增大而减小
C. 图象经过原点D. 图象经过一、三象限
【答案】B
【解析】
【分析】分别应用正比例函数的性质分析即可选择．
【详解】解：A．当时，，所以点在这个图象上，故选项不符合题意；
B．由知，函数值随自变量的增大而增大，故选项符合题意；
C．正比例函数图象都经过原点，故选项不符合题意；
D．由知，图象经过一、三象限，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．
5. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 对顶角相等
B. 等角的补角相等
C. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
D. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等
【答案】D
【解析】
【分析】分别判断后，找到错误的命题就是假命题．
【详解】A、对顶角相等，正确，是真命题；
B、等角的补角相等，正确，是真命题；
C、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，正确，是真命题；
D、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题．
故选D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行线的性质等知识，难度不大．
6. 如果点、在反比例函数的图象上，那么与之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法判断
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【详解】解：当时，函数图象位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，
∴、在第三象限，
，
，
当时，函数图象位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
点，位于第二象限，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象和性质是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
7. ______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了算术平方根的概念，难度较小．
8. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出一元二次方程的两个实数根，再因式分解即可．
【详解】解：时，解得或，

，
故答案为：
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握在实数范围内因式分解的方法，一元二次方程的求根公式是解题的关键．
9. 当______ 时，关于的方程有两个相等的实数根．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程有两根相等的实数根，则，解出，即可．
【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式．
10. 在正比例函数中，当时，，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】直接把，代入正比例函数，求出的值即可．
【详解】解：正比例函数中，当时，，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
11. 函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】解：依题意，得，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
12. 已知函数f（x）=，那么f（3）=_____．
【答案】
【解析】
【分析】把x=3代入函数关系式，计算求值即可．
【详解】当x=3时，f（3）==．
故答案为
【点睛】本题考查求函数值．题目比较简单，已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．
13. 到点P的距离等于4cm的点的轨迹是_____．
【答案】以P为圆心4cm长为半径的圆
【解析】
【分析】根据到定点的距离等于定长的点都在圆上，反过来圆上各点到定点的距离等于定长，得出结论到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．
【详解】到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．
故答案为：以P为圆心，以4cm为半径的圆．
【点睛】本题考查了学生的理解能力和画图能力，到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．
14. 一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为__．
【答案】##24平方厘米
【解析】
【分析】设两直角边是3x、4x，利用勾股定理求出两直角边的长即可得到答案．
【详解】根据题意，设两直角边是3x、4x，
则（3x）2+（4x）2=102，
解得x=2，所以两直角边为6cm，8cm，
×6×8=24，
所以它的面积是，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键．
15. 已知直角坐标平面内的点A（2，﹣1）和B（﹣3，4），那么A、B两点的距离等于_____．
【答案】5
【解析】
【分析】直接利用勾股定理进而得出答案．
【详解】A、B两点的距离为：=5．
故答案为5．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，正确借助网格是解题关键．
16. 如图，中，于，是中点．若，，则的长等于______．
【答案】
【解析】
【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得；然后在直角中，利用勾股定理来求线段的长度即可．
【详解】解：，
是直角三角形，
是的中点，，
，
．
在中，，，，
根据勾股定理得：．
故答案是．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得的长度是解题的难点．
17. 阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，根据该材料填空：已知、是方程的两实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】、是方程的两实数根，根据，，即可求出答案．
【详解】解：、是方程的两实数根，根据，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度一般，关键掌握，是一元二次方程的两根时，，．
18. 如图，在中，已知，，，点在边上，，线段绕点顺时针旋转度后，点旋转至点，如果点恰好落在的边上，那么的面积等______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据勾股定理可求，的长，即可求，，分类讨论当点落在上；当点落在上，再根据勾股定理、等边三角形的性质、旋转的性质，可求的面积．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点在边上，，
∴，，
当点在上时，过点作于点，
∵是由旋转得到，
∴，且，
是等边三角形，
∴，且，，
∴，，
∴，
如图，当点在上时，
∵是由旋转得到，
∴，
在中，，
∴，
综上所述：的面积为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、分母有理化和去绝对值的方法，可以解答本题．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
20. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
【详解】解：
或
∴原方程的解为：
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
21. 已知关于的方程．
（1）当何值时，此方程有实数根；
（2）选择一个你喜欢的的值，并求解此方程．
【答案】（1）当时，方程有实数根；
（2）取，，．
【解析】
【分析】（1）根据，确定的取值范围；
（2）从上题中求得的范围中找到一个喜欢的值代入后得到方程，求解即可．
【小问1详解】
解：要使方程有实数根，必须，
即，
解得，
∴当时，方程有实数根；
【小问2详解】
解：取，方程变为，
，，，
∴，
∴，
∴，．(答案不唯一)
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系是解答此题的关键．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
22. 有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度米与挖掘时间时之间的关系的部分图象．请回答下列问题：
（1）乙队开挖到米时，用了______小时．开挖小时时，甲队比乙队多挖了______米．
（2）甲队在的时段内，关于的函数关系式是______．
（3）乙队在的时段内，施工速度为每小时______米．
（4）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖小时后，施工速度应为每小时______米时，才能与甲队同时完成米的挖掘任务．
【答案】（1），
（2）
（3）
（4）每小时米
【解析】
【分析】（1）看图可得结论；
（2）求出直线的解析式即可；
（3）根据速度等于总工作量除以工作时间即可；
（4）两队同时完成任务，可以看成代数中的追及问题．
【小问1详解】
解：由图可知：乙队开挖到米时，用了小时，
开挖小时时，甲队挖了米，乙队挖了米，
所以甲队比乙队多挖了米；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为：，
把代入得：，解得：，
直线的解析式为：，
即与之间函数关系式是：．
故答案是：．
【小问3详解】
解：施工速度每小时千米；
故答案为：5；
【小问4详解】
解：设应每小时增加千米，才能与甲队同时完成米的挖掘任务，得
，
解得：，
则．
即乙队在开挖小时后，施工速度应为每小时 米，才能与甲队同时完成米的挖掘任务．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数的解析式是关键．
23. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）
【答案】见解析
【解析】
【详解】先根据线段垂直平分线的性质得：AE＝BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．
【解答】证明：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线（已知），
∴AE＝BE，∠EDB＝90°（线段垂直平分线的性质），
∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等边对等角），
∴∠AEC＝30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
Rt△EDB中，
∵F是BE的中点（已知），
∴DF＝BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），
∴AC＝AE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴AC＝DF（等量代换）．
【点睛】本题考查中垂线的性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30°角所对的边与斜边之间的关系，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
24. 已知反比例函数与正比例函数相交与点A，点A的坐标是．
（1）求此正比例函数解析式；
（2）若正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内相交于点B，过点A和点B分别做x轴的垂线，分别交x轴于点C和点D，和相交于点P，求梯形的面积；
（3）连接，求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出，再把代入正比例函数，即可求解；
（2）先求出点，可得，，，再由，即可求解；
（3）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，从而得到，即可求解．
【小问1详解】
解：∵反比例函数过点，
∴，即，
把代入正比例函数得：，
即正比例函数解析式为；
【小问2详解】
解：如图，
联立得：，解得：，
∵点B在一象限，
∴，
∵过点A和点B分别做x轴的垂线，分别交x轴于点C和点D，
∴，，
对于，当时，，
∴点，
∴，，，
∴；
【小问3详解】
解：∵点A和点B在反比例函数图象上，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中的几何图形的面积，反比例函数的图象和性质，把点坐标转化为平面直角坐标系中的线段长度，结合割补法和反比例函数的几何意义求几何图形的面积．
25. 如图，在中，，，，将一个角的顶点放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、交于点、，且．
（1）如图，当点与点重合时，求的长．
（2）如图，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
（3）连接，若是直角三角形，直接写出的长．
【答案】（1）
（2）（）
（3）或
【解析】
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）证明等边三角形，求出，可得，根据，得出，根据一定与线段、相交，得出最大到处，求出即可得出答案；
（3）分为两种情况：为直角顶点时．为直角顶点时，分别构建方程求解即可．
【小问1详解】
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
角的两边分别与的边、交于点、，
过作于，最后只能到点，
此时是，
函数的定义域即的取值范围是：；
【小问3详解】
如图中，当时，
，，，
，
，
，
，
解得：，
即；
当时，如图2，
，

，
解得：，
即；
综上所述：或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了含度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．