2022-2023学年上海市嘉定区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市嘉定区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列图形一定是相似图形的是(    )

A. 两个矩形 B. 两个等腰三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个正方形

2.    如图，在中，，，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

3.    如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为、，那么另一个三角形中最小的内角为(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

4.    如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.    已知线段，，，求作线段，使，下列作图中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，已知在中，边，高，正方形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，那么这个正方形的边长等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）

7.    已知，那么______．
8.    计算：______．
9.    在比例尺为：的地图上，甲乙两地的距离是厘米，那么甲乙两地的实际距离是______千米．
10. 已知两个相似三角形的相似比是：，那么它们对应的角平分线之比是______．
11. 已知在中，是中线，是重心，如果，那么 ______ ．
12. 已知点是线段的黄金分割点，，那么______．
13. 已知向量与方向相反，长度为，则用来表示为：______．
14. 如图，，：：，，则______．

15. 在中，，，，那么______．
16. 如图所示，在正方形网格上有个斜三角形，，，，，，，在中，与三角形相似的有______填序号
17. 新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，中，、是中线，且，垂足为，像这样的三角形称为“中垂三角形”，如果，，那么此时的长为______ ．

18. 如图，在中，，直线将分割成面积相等的两部分．将沿直线翻折，点恰好落在点处，连接，若，则：          ．
     

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19. 已知，且，求、、值

四、解答题（本大题共6小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    计算：．
21. 本小题分
    如图，已知在中，是边上的中线，设，；
    求用向量，的式子表示；
    如果点在中线上，求作在，方向上的分向量；不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量．

22. 本小题分
    如图，在▱中，点是线段延长线上的一点，与交于点．
    求证：∽；
    若：：，且，求▱的面积．

23. 本小题分
    已知：如图，在中，点、分别在边、上，且，、交于点．
    求证：∽；
    如果平分，求证：．

24. 本小题分
    已知：如图，在四边形中，，，且，
    点是边的中点．
    求证：；
    作，垂足为点，并交于点求证：．

25. 本小题分
    如图，在等腰梯形中，，，，，点是边上的一个动点不与点、重合，作，使边交边与点不与点、重合，设，．
    求边的长：
    当与相似时，求的长：
    求关于的函数关系式，并写出定义域．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意．
C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；
D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；
故选：．
根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．
本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
故选：．
根据正切的定义计算，得到答案．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：一个三角形的两个内角分别为、，
另一个内角．
两个三角形相似，
另一个三角形中最小的内角为．
故选：．
先求出该三角形的另一个内角的度数，再由相似三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，不合题意；
，，不合题意；
，，不合题意；
，不能判断与平行，符合题意；
故选：．
根据平行线分线段成比例定理的逆定理，即“三条直线被两条直线所截，如果截得的对应线段成比例，那么三条直线平行”，进行分析判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的逆定理，即“三条直线被两条直线所截，如果截得的对应线段成比例，那么三条直线平行”．
 

5.【答案】 

【解析】解：、由得，但是所求线段，所以图形不能画出，故选项A不正确；
B、由得，故选项B不正确；
C、由得，故选项C正确；
D、由得，与已知不符合，故选项D不正确；
故选：．
利用得比例式，与已知图形作对比，可以得出结论．
本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是各地中考考查相似三角形常见题型．
利用正方形的性质可知，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得∽，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长．
【解答】
解：四边形是正方形，，，
∽，
又，
，，
，
设，则，
，
解得：，
．
答：这个正方形的边长为．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
直接利用已知得出，进而得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
去括号合并同类向量即可．
本题考查平面向量，解题的关键是掌握去括号法则，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：设甲乙两地的实际距离为厘米，
根据题意得，：：，
解得，
厘米千米．
即甲乙两地的实际距离为千米．
故答案为：．
根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离．要注意统一单位．
本题考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换是解决问题的关键．
 

10.【答案】： 

【解析】解：两个相似三角形的相似比是：，
它们对应的角平分线之比是：．
故答案为：：．
直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应角平分线的比等于相似比是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：是的重心，且是中线，
．
根据三角形重心的性质即可求出的长．
此题考查了三角形重心性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的倍．
 

12.【答案】 

【解析】解：由于为线段的黄金分割点，
且，
则．
；
故答案为：
根据黄金分割点的定义，知是较长线段；所以，代入数据即可得出的长度，进而得出．
此题考查黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．
 

13.【答案】且 

【解析】解：与方向相反，长度为，
且．
故答案为：且．
根据平面向量的方向性即可得出结论．
本题考查了平面向量的方向性和表示方法，比较简单．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作，交于点，

，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作，交于点，利用平行四边形的判定可得四边形和四边形都是平行四边形，从而可得，，进而可得，然后证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：
，，
，
故答案为：．
根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可．
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在中，，则，，．
 

16.【答案】 

【解析】解：设每个小正方形的边长为，则的各边长分别为、、则
的各边长分别为、、；
的各边长分别为、、为各边长的倍；
的各边长分别为、、为各边长的倍；
的各边长分别为、、为各边长的倍；
的各边长分别为、、．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形相似的是．
故答案为．
两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．
此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．根据三角形中位线的性质，得到，，再由勾股定理得到结果．
【解答】
解：如图，连接，
、是中线，
是的中位线，
可得：，
，
，
，
在中，
，，
，，
，，
在中，
，
，
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质，根据已知得出，，以及是解题关键．
利用翻折变换的性质得出，，进而利用相似三角形的判定与性质得出对应边之间的比值与高之间关系，即可得出答案．
【解答】
解：连接，交于点，交于点，

将沿直线翻折，点恰好落在点处，
于点，
，
于点，
设与边交于点、，
，
∽，
：：：，
：：，
：：，
是由翻折得到，
≌，
，
：：，
，
，
：：，
，，
，
，
：：，
故答案为：：．  

19.【答案】解：设，，，
，
，
，
，
，，． 

【解析】首先设，，，然后再代入，可得的值，进而可得答案．
此题主要考查了比例的性质，关键是掌握用同一未知数表示各未知数．
 

20.【答案】解：原式


． 

【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
 

21.【答案】解：是边上的中线，，
，
；

如图，过点作，，
则、分别是在，方向上的分向量． 

【解析】由是边上的中线，，可求得，然后由三角形法则，求得；
利用平行四边形法则，即可求得在，方向上的分向量．
此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，，，
∽；
解：四边形是平行四边形，
，，，
∽，∽，
：：，
：：：，
：：，
：：，
：：，：：，
：：，，
的面积为，
的面积为，
▱的面积． 

【解析】根据平行四边形对角相等可得，对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等得到，然后利用两角对应相等，两三角形相似即可证明．
由于∽，可根据两三角形的相似比，求出的面积，也就求出了四边形的面积．同理可根据∽，求出的面积．由此可求出▱的面积．
本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定以及三角形的面积，是中考的重点内容，要熟练掌握，熟记平行四边形的各种性质以及相似三角形的各种判断方法是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
、、、四点共圆，
，而，
∽．
解：过点作，；
平分，
；设，
则，，
，而，
． 

【解析】证明、、、四点共圆，得到，即可解决问题．
如图，作辅助线，证明；由，，得到，根据，即可解决问题．
该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握相似三角形的判定及其性质、四点共圆的判定等几何知识点．
 

24.【答案】证明：，
，
，
而，
∽，
，
；
解：，
，
而，
，
又是边的中点，
，
，
，
∽，
，
而，
，
． 

【解析】由，即得∽，然后利用相似三角形的性质和平行线的判定即可求解；
利用已知条件证明∽，然后利用相似三角形的性质和直角三角形中斜边上中线的性质即可证明．
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图：过作，过作，
等腰梯形，，，，
；；；，


；

与相似有两种情况，如图：



当时


过作
由知：，

，
当时




是等腰三角形
过作
等腰三角形三线合一性质


综上，当∽时，的长为或；
作图如下，

易知，否则点将在的延长线上或与重合；
，

故，三线合一，为的中点；
又；
故∽；则有

而
又∽
故有：；，，；
整理即可得：； 

【解析】根据等腰梯形的性质，可得；；，根据勾股定理，可得的长，根据线段的和差，可得答案；
分类讨论，当时，根据正切函数，可得的长，根据线段的和差，可得答案，当时，根据等腰三角形的性质，可得与的关系，根据线段的和差，可得答案；
根据相似三角形的性质，可得函数解析式，根据线段的和差，可得定义域．
本题考查了相似形综合题，利用了等腰梯形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，分类讨论是解题关键．