2023-2024学年河南省商丘市睢阳区坞墙镇中心学校九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市睢阳区坞墙镇中心学校九年级上学期12月月考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了对于抛物线，下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。

九年级数学（RJ）
测试范围：全册
注意事项：
1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟．
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上．
3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列关于奥运会的剪纸图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．“三角形任意两边之和小于第三边”是不可能事件
B．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
C．某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，一定有1张中奖
D．“在同一年出生的367人中，至少有两人的生日相同”是必然事件
3．已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ）
A．4B．C．3D．
4．如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点（ ）

A．OB．PC．QD．M
6．对于抛物线，下列判断正确的是( )
A．抛物线的开口向上B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线D．当时，
7．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．m<0
9．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，的斜边与半圆相切，，，已知，，则阴影部分的面积为( )
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有 个
12．将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为 ．
13．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接．若，则 ．
14．如图，正六边形放置在平面直角坐标系内，若点的坐标为，则点的坐标为 ．

15．如图，ABC是等边三角形，AB＝2，点D在边AB上，且BD＝1，E是边AC的中点，将线段BD绕点B顺时针旋转，点D的对应点为F，连接AF，EF，当AEF为直角三角形时，AF＝ ．
三、解答题（共8题，共75分）
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．学生甲与学生乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：学生甲手中有6，8，10三张扑克牌，学生乙手中有5，7，9三张扑克牌，每人从各自手中取一张牌进行比较，数字大的为本局获胜，每次获取的牌不能放回．
（1）若每人随机取手中的一张牌进行比较，请列举出所有情况；
（2）并求学生乙本局获胜的概率．
18．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根不小于7，求的取值范围．
19．图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点，只用无刻度的直尺，按下列要求作图：

(1)在图中，画出图中向右平移格后的；
(2)在图中，画出图中关于直线对称的；
(3)在图中，画出图中绕点顺时针旋转后的．
20．如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为，连接并延长，交饿延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为元（），请用的代数式来表示销售量为________件；
(2)在（1）的条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元？
(3)在（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
22．已知关于x的二次函数的图象过点，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求当时，y的最大值与最小值的差；
(3)若点，在该二次函数的图象上，且，请直接写出q的取值范围．
23．图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片△ABC和△CDE叠放在一起（C与C'重合）的图形．
（1）感知：固定△ABC，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则可证△CBE≌△CAD，依据 ；进而得到线段BE＝AD，依据 ．
（2）探究：若将图1中的△CDE，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3．
①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系；
②∠APB的度数＝ ．
（3）应用：若将图1中的△CDE，绕点C按逆时针方向旋转一个角度α（0＜α＜360°），当α等于多少度时，△BCD的面积最大？请直接写出答案．
答案与解析
1．D
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．C
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【详解】解：A、“三角形任意两边之和小于第三边”是不可能事件；说法正确；
B、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件；说法正确；
C、某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，一定有1张中奖；此说法错误；
D、“在同一年出生的367人中，至少有两人的生日相同”是必然事件；说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．B
【分析】根据方程根的定义，将代入方程，解出m的值即可．
【详解】解：关于x的方程的一个根为，
所以，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
4．C
【分析】先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆内接四边形的性质即可得．
【详解】解：是半圆的直径，
，
，
，
由圆内接四边形的性质得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
5．B
【分析】根据旋转中心的定义即可求解．
【详解】解：连接，，，，，如图所示：

，，，且，
点P是旋转中心，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转中心的定义，熟练掌握旋转中心的定义是解题的关键．
6．C
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
【详解】解：A、∵，∴抛物线的开口向下，本选项错误，
B、抛物线的顶点为，本选项错误，
C、抛物线的对称轴为：，本选项正确，
D、把代入，解得：，本选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论．
7．B
【分析】由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵将 绕点A顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
8．A
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程即有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
9．B
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
10．A
【分析】根据题意得出，，然后根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵斜边与半圆相切，
∴，
∵，
∴,，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了求扇形的面积，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
11．14
【分析】先由频率估计出摸到黄球的概率，然后利用概率公式求解即可.
【详解】因摸到黄球的频率稳定在0.35左右
则摸到黄球的概率为0.35
设布袋中黄球的个数为x个
由概率公式得
解得
故答案为：14.
【点睛】本题考查了频率估计概率、概率公式，根据频率估计出事件概率是解题关键.
12．
【分析】由平移的规律即可求得答案．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为，即
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
13．50
【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．
【详解】解：绕点逆时针旋转到△的位置，
，，
，
//，
，
，
，
，
故答案为50．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
14．
【分析】根据正六边形的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半等知识点进行解答即可．
【详解】解：连接，

∵点的坐标为，
∴，
∵是正六边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半等知识点，熟练掌握相关知识点是解本题的关键．
15．或
【分析】根据题意，判断出只能是∠AEF＝90°，分两种情形，点B、F、E三点共线，且F在B、E之间，或点B、F、E三点共线，且B在F、E之间，分别通过勾股定理求AF的长即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，E是边AC的中点，
∴只能是∠AEF＝90°，
当点F在△ABC内时，∠AEF＝90°，此时，点B、F、E三点共线，且F在B、E之间，
∴
∴EF＝BE﹣BF＝3﹣1＝2，
∴
当点F在△ABC外时，∠AEF＝90°，此时，点B、F、E三点共线，且B在F、E之间，
此时，EF＝BE+BF＝3+1＝4，
∴
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和等边三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握一元二次方程的求解方法：公式法，配方法，因式分解法，直接开方法是关键．
（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得：，
解得：，；
（2），
整理得：，
，，，
，
，
，．
17．（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；
（2）根据（1）中的结果可以得到乙本局获胜的可能性，从而可以解答本题．
【详解】（1）由题意可得，每人随机取手中的一张牌进行比较的所有情况是：
（6，5）、（6，7）、（6，9）、（8，5）、（8，7）、（8，9）、（10，5）、（10，7）、（10，9）；
（2）学生乙获胜的情况有：（6，7）、（6，9）、（8，9），
∴学生乙本局获胜的概率是：=，
即学生乙本局获胜的概率是．
【点睛】考点：列表法与树状图法．
18．(1)见解析．
(2)．
【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式得到，．根据题意得到，即可求得k的取值范围．
【详解】（1）解：
，
∴方程总有实数根；
（2）解：∵，
∴，
解方程得：，，
由于方程有一个根不小于7，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
19．(1)见解析图；
(2)见解析图；
(3)见解析图．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点的，即可， 与重合；
（3）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，即可，与重合．
【详解】（1）如图中，即为所求；

（2）在图中，或即为所求；

（3）在图中，或即为所求；

【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图，解题的关键是学会掌握平移变换，轴对称变换，旋转变换的性质．
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接、，由题意易得，进而可得，然后有，最后根据圆的基本性质可求解；
（2）由题意及（1）可得，，进而可得，然后根据等积法可求解．
【详解】（1）证明：连接、，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，，AB=AE
∴，，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理可得，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查切线的性质定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
21．(1)
(2)50元或80元
(3)商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、二次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出一元二次方程及二次函数的表达式是解此题的关键．
（1）根据“销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具”，即可得出答案；
（2）根据总利润单件利润销售量，即可列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（3）根据“销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务”列不等式求出的取值范围，设利润为，则，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，
设该种品牌玩具的销售单价为元（），则销售量为件，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
化简得：，
∴，
解得，，
∵，
∴销售价应定为50元或80元；
（3）解：∵该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，
∴，
解得：，
设利润为，则，
∵，
∴二次函数的图象开口向下，有最大值，
∵对称轴为，
∴当时，随x的增大而增大，
∴时，最大，
答：该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
22．(1)y=；
(2)9；
(3)q<-3或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将解析式配成顶点式，根据函数的性质求解即可；
（3）将代入，求得，再令，可得，解得：或，结合函数的图象即可得到q的取值范围．
【详解】（1）解：由题意，得，解得，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）∵，
∴当时，y有最小值，
∵当时，；当时，，
∴当时，y的最大值与最小值的差为；
（3）∵在上，
∴，
令，可得，
解得：或，
∵的图象开口向上，
∴，q的取值范围为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键．
23．（1）定理（两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等），全等三角形的对应边相等；（2）①仍存在，证明见解析；②；（3）或．
【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理可证，然后根据全等三角形的性质可得；
（2）①先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理可证，然后根据全等三角形的性质可得；
②先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得；
（3）先画出图形，过点作于点，再根据直角三角形的定义可得，然后根据三角形的面积公式和旋转角的定义即可得出答案．
【详解】解：（1）和都是等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
，
故答案为：定理（两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等），全等三角形的对应边相等；
（2）①仍存在，证明如下：
和都是等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
；
②，
，
，
故答案为：；
（3）如图，过点作于点，
，当且仅当，即点与点重合时，等号成立，
，
当时，的面积最大，
此时旋转角或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、图形的旋转等知识点，正确找出全等三角形是解题关键．