河南省商丘市睢阳区商丘市第九中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份河南省商丘市睢阳区商丘市第九中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了本试卷共6页，三大题，凸透镜成像的原理如图所示，，小明设计了杠杆平衡实验等内容，欢迎下载使用。

九年级数学（BS）
考试范围：上册全册
注意事项：
1．本试卷共6页，三大题．满分120分，考试时间100分钟．
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．答卷前请将弥封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选型，其中只有一个是正确的．
1．如图，几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列判断错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
3．一元二次方程3x2＋1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（ ）
A．3，1B．－3，－1C．3，－1D．－3x2，－1
4．若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20=0的根，则△ABC的周长是（ ）
A．9B．10C．9或10D．7或10
5．如图所示4张背面相同的卡片，卡片正面画有常见的生活现象，现将所有卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好都是化学变化图案的概率是（ ）
火柴燃烧化学变化灯泡发光物理变化
粉刷墙壁化学变化 酒精消毒化学变化
A．B．C．D．
6．凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A．B．C．D．
7．小明设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，以保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：），观察并记录弹簧测力计的示数F（单位：N）有什么变化．小明根据实验得到的下列结论中，不正确的是（ ）
A．L与F的函数关系式为B．当时，
C．当时，D．保持木杆水平，F的最小值为10
8．如图，在▱ABCD中，点M，N分别是AD、BC的中点，点O是CM，DN的交点，CM、DN的延长线交AB于点P、Q．若▱ABCD的面积为192，则△POQ的面积为（ ）
A．72B．144C．208D．216
9．如图，已知点、、都在反比例函数的图象上，点、、都在轴上，，，都是等边三角形，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，把一张矩形纸片按如图所示的方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．某露营装备公司，对一批帐篷进行抽检，统计合格的数量，列表如下：
在这批帐篷中任取一项，是合格产品的概率大约为 （结果精确到0.01）．
12．如图，在中，点在线段上，，那么 ．

13．已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例．身高的小明的影子长为，这时测得一棵树的影长为，则这棵树的高为 ．
14．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为和，则关于的不等式的解集是 ．
15．如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．某校就“遇见路人摔倒后如何处理”的问题，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，图1和图2是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图. 请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）该校随机抽查了 名学生？请将图1补充完整；
（2）在图2中，“视情况而定”部分所占的圆心角是 度；
（3）在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择“马上救助”，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
18．已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；
（2）以B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比2：1，直接写出C2点坐标是 ；
（3）△A2BC2的面积是 平方单位．
19．如图，在平面直角坐标系中．四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值．
20．在中，，，过点B作，垂足为点D．

(1)求的值；
(2)点E是延长线上一点，连接，当时，求线段的长．
21．如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？

22．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
23．正方形ABCD中，点E为对角线BD上任意一点（不与B，D重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F．
（1）如图1，求证：AE＝EF；
（2）如图2，EG⊥BD，交线段CD于点G，EF与BG相交于点H，若点H是BG的中点，求证：AE＝EH；
（3）若，直接写出的值．
答案与解析
1．A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看，底层是一个矩形，上层的左边是一个矩形．
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2．C
【分析】根据正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，判断即可；
【详解】解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项正确，不符合题意；
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项正确，不符合题意；
C．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如：等腰梯形的对角线相等，选项错误，符合题意；
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊四边形的特征，掌握常见的特殊四边形的特征是解题关键．
3．B
【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程3x2＋1＝6x的一次项系数为6，
∴化为一般式为：-3x2+6x-1＝0
∴二次项系数和常数项分别为：-3，-1．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的一般式，本题属于基础题型．
4．A
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝5，再根据三角形三边的关系可判断△ABC的第三边长为4，然后计算△ABC的周长．
【详解】解：∵x2﹣9x+20=0，
∴（x−4）（x−5）＝0，
∴x−4＝0或x−5＝0，
∴x1＝4，x2＝5，
∵2＋3=5，
∴△ABC的第三边长为4，
∴△ABC的周长为2＋3＋4＝9．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
5．A
【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率．将四种生活现象分别记作、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将四种生活现象分别记作、、、，列表如下：
由表知共有种等可能结果，其中这两张卡片正面恰好都是化学变化图案的有种结果，
∴这两张卡片正面恰好都是化学变化图案的概率为，
故选：A．
6．A
【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
【详解】解：∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键．
7．C
【分析】根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，可得出即即可得出结论．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
故选项正确，不符合题意．
∴当时，，
故选项正确，不符合题意．
∴当时，，
∴故选项错误，符合题意．
∵一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，
∴右侧最长为，
故选项正确，不符合题意．
故选：
【点睛】本题主要考查了反比例函数与实际问题的综合，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
8．D
【分析】由题意易得AM=DM，BN=CN，则易证PA=CD=BQ，然后设平行四边形ABCD的高为h，则可得△POQ的高为，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠DCM=∠P，
∵点M，N分别是AD、BC的中点，
∴AM=DM，BN=CN，
∵∠AMP=∠DMC，
∴△AMP≌△DMC（AAS），
∴AP=CD，
同理可证CD=BQ，
∴PA=CD=BQ，
∵CD∥AB，
∴△COD∽△POQ，
∴，
设平行四边形ABCD的高为h，则有△POQ的高为，
∵，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质及平行四边形的性质是解题的关键．
9．A
【分析】分别过作x轴的垂线，垂足分别为，并设，，的边长分别为2a，2b，2c，则利用等边三角形的性质可分别求得a，b，c的值，从而可求得结果．
【详解】如图，分别过作x轴的垂线，垂足分别为，设，，的边长分别为2a，2b，2c
∵是等边三角形，轴
∴OC=a，
由勾股定理可得
∴点A1的坐标为
∵点A1在反比例函数的图象上
∴
解得a=1或a=－1（舍去）
∴OB1=2
同理，在等边三角形中，B1D=b，A2D=
∴点A2的坐标为
∵点A2在反比例函数的图象上
∴
解得或（舍去）
∴
∴OB2=
同理可得A3的坐标为
∵点A3在反比例函数的图象上
∴
解得或（舍去）
∴
∴OB3=
∴点B3的坐标为
故选：A
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，勾股定理等知识，关键是作每个等边三角形的高，进而得出点的坐标．
10．A
【分析】此题主要考查了折叠问题，勾股定理．根据翻折的性质可得，，再结合为等腰直角三角形，以及勾股定理求解的长度，即可由求解．
【详解】解：如图所示，根据翻折的性质可得，，
∵结合为等腰直角三角形，
∴设，则，
在中，，
解得：（舍去负值），
∴，
∴，
故选：A．
11．0.95
【分析】根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率．
【详解】当抽检的数量达到800以后，产品的合格率在0.952附近波动，
则可知某一件产品的合格的概率为0.95，
故答案为：0.95．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，熟练掌握利用频率估计概率的相关知识是解题的关键．
12．
【分析】证明，得出，即可得出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
13．
【分析】根据同一时刻物体的高与影子的长成正比例，列出比例式，即可求解．
【详解】解：设这棵树的高为，依题意得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意列出比例式是解题的关键．
14．或
【分析】根据，则反比例函数大于一次函数，进而结合图象得出答案．
【详解】解：根据图像可得：关于x的不等式的解集是：x＜0或1＜x＜5，
故答案为：x＜0或1＜x＜5．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确数形结合是解题关键．
15．
【分析】在的下方作，截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可．
【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，．
四边形是菱形，，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟知一元二次方程的解法是解答本题的关键．
（1）本小题采用配方法，先将移项，然后进行配方和直接开平方，即可得到答案；
（2）本小题采用因式分解法，先将等式右边的项因式分解，然后移项到等式左边，再利用提取公因式法因式分解，即可得到答案．
【详解】（1）把常数项移到方程的右边，得，
配方，得，
即，
两边开平方，得，
即，或，
∴，；
（2）原方程可变形为，
，
即，
，或，
，．
17．（1）200；补图见解析；（2）72；（3）
【详解】解：（1）该校随机抽查了：24÷12%=200（名）；C类：200﹣16﹣120﹣24=40（名）；
如图：
（2）40÷200×360°=72°；
（3）画树形图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，
∴P（抽取的两人恰好是甲和乙）=．
18．（1）图见解析；（2）图见解析，（1，0）；（3）10
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点的坐标即可画出平移后的图形；
（2）利用位似图形的性质得出对应点的坐标即可画出平移后的图形，进而可得点C2的坐标；
（3）根据所画图形判断出△A2BC2为等腰直角三角形，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2BC2即为所求，C2点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）；
（3）∵A2C2=BC2=，A2B=，
∴A2C22+BC22= A2B2，
∴△A2BC2是等腰直角三角形，且∠A2C2B=90°，
∴△A2BC2的面积位为：×（）2＝10平方单位，
故答案为：10．
【点睛】本题考查平移变换和位似变换的性质、勾股定理及其逆定理、三角形的面积公式，掌握变换性质，正确得出变换后的对应点的位置是解答的关键．
19．
【分析】先根据一次函数求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，再代入反比例函数即可求得点B的坐标，再结合点D为AB的中点可得点D的坐标，最后将点D坐标代入一次函数即可求得答案．
【详解】解：把代入，得．
∴．
∵轴，
∴点横坐标为．
把代入，得．
∴．
∵点为的中点，
∴．
∴．
∵点在直线上，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）过A作于F，先根据等腰三角形的三线合一性质和勾股定理求得、，再证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：过A作于F，则，

∵，，
∴，则，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
即的值为；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
21．的值是或
【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质，列出等式，即可求解．
【详解】解：当△PBQ∽△ABC时，
，
即，
解得，
经检验：是方程的解，
当△PBQ∽△CBA时，
，
即，
解得，
经检验：是方程的解，
∴的值是或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
22．(1)平均每天销售数量为32件
(2)当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元
【分析】（1）根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件”，列出平均每天销售的数量即可，
（2）设每件商品降价元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
若降价6元，则多售出12件，
平均每天销售数量为：（件)，
答：平均每天销售数量为32件；
（2）解：设每件商品降价元，
根据题意得：
，
解得：，，
，（符合题意），
，（舍去），
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
23．（1）见详解；（2）见详解；（3）．
【分析】（1）过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，通过证明四边形ABQP是矩形，利用矩形的性质，证明△AEP≌△EFQ，即可得出结论；
（2）连接CE，CH，则CH，EH都是直角三角形斜边上的中线，证明∠EHC＝90°后，利用勾股定理得CE＝EH，通过△CDE≌△ADE 得出CE＝AE，进而得出结论；
（3）设正方形ABCD的边长为a，可将BF，FC的长都用含a的代数式表示，求出的值．
【详解】（1）证明：如图1，过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，则∠APE＝∠DPE＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC．
∴∠EQF＝180°﹣∠APE＝90°．
∴∠APE＝∠EQF．
∵∠PAB＝∠ABQ＝90°，
∴四边形ABQP是矩形．
∴AP＝BQ．
∵∠C＝90°，BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB＝45°．
∴∠QEB＝45°．
∴∠QEB＝∠CBD．
∴BQ＝EQ．
∴AP＝EQ．
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°．
∴∠AEP＝90°﹣∠FEQ＝∠EFQ．
∴△AEP≌△EFQ（AAS）．
∴AE＝EF．
（2）如图2，连接CE，CH，
∵EG⊥BD，
∴∠BEG＝∠BCG＝90°．
∵点H是BG的中点，
∴EH＝CH＝BG＝BH．
∴∠HEB＝∠HBE，∠HCB＝∠HBC．
∴∠EHG＝∠HEB+∠HBE＝2∠HBE，∠CHG＝∠HCB+∠HBC＝2∠HBC．
∴∠EHC＝∠EHG+∠CHG＝2（∠HBE+∠HBC）＝2∠CBD＝90°．
∴CE2＝CH2+EH2＝2EH2，
∴CE＝EH．
∵AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD＝45°．
∴∠CDE＝∠ADE．
∵CD＝AD，DE＝DE，
∴△CDE≌△ADE（SAS）．
∴CE＝AE．
∴AE＝EH．
（3）如图3，过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，连接CE，设正方形ABCD的边长为a，
由（1），（2）得，EF＝EC＝AE，
∴CQ＝FQ．
∵∠QPD＝∠PDC＝∠DCQ＝90°，
∴四边形PQCD是矩形．
∴CQ＝PD．
∵，
∴DE＝DB．
∵DB＝＝a，
∴DE＝a．
∵∠PED＝∠PDE＝45°，
∴PD＝PE．
∴2PD2＝DE2，
∴2PD2＝，
∴PD＝a．
∴CQ＝FQ＝a．
∴FC＝CQ+FQ＝a+a＝a．
∴BF＝a﹣a＝a．
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等，解题的关键是正确地作出辅助线，构造全等三角形和矩形．难度较大，属于考试压轴题．
抽检产品数
400
600
800
1000
2000
合格产品数
382
576
762
951
1904
合格率
0.955
0.960
0.953
0.951
0.952