2023-2024学年福建省宁德市博雅培文学校七年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省宁德市博雅培文学校七年级上学期期中数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

八年级数学科试卷
分值：150分；考试时间：120分钟；
第Ⅰ卷 （选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．某学校的平面示意图如图所示，如果宠物店所在位置的坐标为，儿童公园所在位置的坐标为，则所在的位置是（ ）
A．医院B．学校C．汽车站D．水果店
4．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．三角形的三边长满足关系a+b＝c
B．三角形的三边长之比2：3：4
C．三角形的三边长分别为5、12、13
D．三角形的一边长等于另一边长的一半
5．在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴距离为4，则直线OM的表达式是（ ）
A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣
6．若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b的值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．1
7．已知一次函数y=x+m和y=-x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于点B,C,那么△ABC的面积是 ( )
A．2B．3C．4D．6
8．在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（ ）
A．B．C．D．
9．甲、乙两辆汽车沿同路线从地前往地，、两地间的距离为240千米，甲车以40千米时的速度与速行驶，行驶3小时后出现故障，停车维修1小时，修好后以80千米时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后以80千米时的速度匀速前往地，甲、乙两车到达地后均作停留，下列选项中，能正确反映两车与地之间的距离（千米）与甲车出发的时间（小时）的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
10．如图是用四个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，用，表示直角三角形的两直角边长，有下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．已知函数，当 时，函数值为0．
12．已知的整数部分为，的整数部分为，则 ．
13．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m．
14．在平面直角坐标系中，已知点和点，经过点的直线轴，是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，点的坐标为 ．
15．M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若M﹣N恰是某正整数的立方，则这样的数共 个．
16．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为
三、解答题（本大题共8小题，86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标，（___，___）；（___，___）；（___，___）；
(2)连接，求四边形的面积．
19．如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答问题：
(1)请将下表补充完整：
(2)写出整齐叠放在桌面上碗的高度y（cm）与碗的数量x（个）之间的关系式________；当碗的数量为10个时，碗的高度是________cm；
(3)若这摞碗的高度为20.8cm，求这摞碗的数量．
20．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向左爬了2个单位长度到达点B，点A表示2﹣，设点B所表示的数为m．
(1)实数m的值是 ；|m＋1|＋|m﹣1|＝ ．
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示c和d，且有|2c＋d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．
21．观察下表中的每一组值：
（1）根据表中前四组、、值的变化规律，第5组中 ； ；第组中 ； ； .
（2）试证明以表中每组、、为边的三角形都是直角三角形.
22．已知a，b，m都是实数，若a+b=2，则称a与b是关于1的“平衡数”．
（1）4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”；
（2）若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由．
23．在疫情期间，某口罩生产厂为提高生产效益引进了新的设备，其中甲表示新设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系，乙表示旧设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系：
（1）由图象可知，新设备因工人操作不当停止生产了 天；
（2）求新，旧设备每天分别生产多少万个口罩？
（3）在生产过程中，x为何值时，新旧设备所生产的口罩数量相同．
24．如图1，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且．

（1）求的面积．
（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．
①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当时，求t的值．
②M为线段BA延长线上一点，且，在直线AC上是否存在点N，使得是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案与解析
1．C
【分析】最简二次根式的两个要求： ① 被开方数不含有分母（小数）；② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式，据此进行分析判断即可．
【详解】A. ，被开方数是分数，不是最简二次根式；
B. ，被开方数是小数，不是最简二次根式；
C. ，符合条件，是最简二次根式；
D. ，被开方数可以开方，不是最简二次根式.
故选：C
【点睛】本题考查最简二次根式的要求，牢记相关内容并灵活应用是解题关键．
2．B
【分析】此题考查轴对称的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特点，关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此得到答案．
【详解】解：关于y轴对称的点的坐标是．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了坐标位置的确定，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解答本题的关键．
根据题意，宠物店向右两个单位，向上三个单位为坐标原点，建立直角坐标系，然后找到的位置，由此得到答案．
【详解】解：根据题意，建立如图所示平面直角坐标系，
由图可以得到：
所在的位置是学校，
故选：．
4．C
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项逐一判断即可．
【详解】A：三角形的三边满足关系a+b＝c，不符合勾股定理的逆定理，故本选项错误；
B：∵22+32＝13≠42＝16，∴此三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C：∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；
D：三角形的一边等于另一边的一半无法判断三角形的形状，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
5．B
【分析】由已知可求M（﹣4，3），再用待定系数法求OM的解析式．
【详解】解：∵点M到x轴的距离为3，到y轴距离为4，M在第二象限，
∴M（﹣4，3），
设OM的解析式为y＝kx+b，
将点O（0，0），M（﹣4，3）代入，得
，
∴，
∴y＝x，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次函数解析式的求法；熟练掌握平面内点的坐标特点，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
6．D
【详解】试题解析：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴b+3=2，7a+b=6a-b，
∴a=2，b=-1，
∴a+b=2-1=1，
故选D．
7．C
【分析】首先把（-2，0）分别代入一次函数y=x+m和y= -x+n，求出m，n的值，则求出两个函数的解析式；然后求出B、C两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【详解】一次函数y=x+m和y=-x+n的图象都经过点A(-2,0)，
所以可得0=×(−2)+m，0= −×(−2)+n，
∴m=3，n=−1，
∴两函数表达式分别为y=x+3，y=−x−1，
直线y=x+3与y=−x−1与y轴的交点分别为B(0,3)，C(0,−1)，
S△ABC=BC⋅AO=×4×2=4，
故选C.
【点睛】本题考查一次函数的图象，熟练掌握图像性质是解题的关键.
8．C
【分析】本题考查了长方体展成平面图形，熟练掌握两点之间线段最短，利用勾股定理求最短路径，是解答本题的关键．
根据两点之间线段最短即可确定蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理求出，由此得到答案．
【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长，
根据题意得：
，，
由勾股定理得：，
，
蚂蚁需要爬行的最短路径的长为，
故选．
9．C
【分析】根据甲车和乙车的行驶速度和出发时间，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】由题意得，甲行驶3小时后出现故障后停车维修1小时，故A选项错误；
由题意得，乙车在甲车出发2小时后以80千米/时的速度匀速前往B地，故B选项错误；
由题意得，甲车维修后行驶到B地的用时为：(240-120)÷80=1.5（小时）,
∴甲车到达B地的时间为：3+1+1.5=5.5（小时），
乙车行驶到B地的时间为：240÷80=3（小时），
∴乙车行驶到B地的时间为：3+2=5（小时），故C选项正确；
由题意得，甲刚开始的速度为40千米/时，乙的速度为80千米/时，甲出发3～4小时（1小时维修）行驶的路程为千米，（小时），即乙出发小时后（此时甲在维修）两车相遇，故D选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查行程问题与函数图像，准确找出题目中的行驶速度和行驶时间，是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，直角三角形的面积公式，是解答本题的关键．
根据图中关系，大正方形的面积为49，则其边长是，利用勾股定理得①，根据图中关系得到：，根据图中关系，得到四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，即，联立，得到，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
①大正方形的面积为49，则其边长是，利用勾股定理得，故①正确；
②小正方形的面积为4，则其边长为，根据图中关系得到：，即，故②正确；
③根据图中关系，得到四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，即，化简得：，故③正确；
④，则，故④不正确，
故选：．
11．##
【分析】本题考查了求函数自变量的值，将代入函数解析式，即可求解．
【详解】解：依题意，，
解得：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小的方法，是解答本题的关键．根据题意，估算，的大小，求出，，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，，
，，
，，
，
故答案为：．
13．4
【详解】解：解如图所示：在RtABC中，BC=3，AC=5，
由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2
设旗杆顶部距离底部AB=x米，则有32+x2=52，
解得x=4
故答案为：4．
【点睛】本题考查勾股定理．
14．
【分析】根据经过点的直线轴，是直线上的一个动点，得到R的纵坐标与P点相同，根据最短时，此时R点横坐标与Q点相同，即可得出结论．
本题主要考查了坐标与图形性质，熟练掌握垂直于y轴的直线上的点的纵坐标相同，垂直于x轴的直线上的点的横坐标相同，垂线段最短，是解决问题的关键．
【详解】∵点，经过点的直线轴，是直线上的一个动点，如图，
∴R的纵坐标为3，
由题意可知，当时，最短，
∴此时R点横坐标与Q点相同，
∵，
∴R的横坐标2，
∴，
故答案为：．
15．6．
【分析】设两位数M=10a+b，则N=10b+a，并且a、b为正整数，且1≤a，b≤9，那么得到M﹣N=(10a+b)﹣(10b+a)=9(a﹣b)=c3，进一步得到c3＜100，所以c≤4，而且c3是9的倍数，所以c=3，然后由此得到a﹣b=3，接着就可以解决问题．
【详解】设两位数M=10a+b，则N=10b+a，由a、b为正整数，且1≤a，b≤9，
∴M﹣N=(10a+b)﹣(10b+a)=9(a﹣b)=c3，
又c是某正整数，显然c3＜100，
∴c≤4，而且c3是9的倍数，
所以c=3，即a﹣b=3，
∴满足条件的两位数有41、52、63、74、85、96共6个．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了数字问题，整数的混合运算，立方根的应用，难度比较大，要求学生有比较好的分析问题和解决问题的能力才能熟练地解决题目的问题．
16．3或
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质．
17．(1)
(2)
【分析】（1）原式先化简二次根式，再合并即可；
（2）原式先化简绝对值，再计算除法，最后进行加减运算即可得到答案．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
18．(1)见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
(2)3
【分析】本题主要考查作图-轴对称变换：
（1）分别作出A，B，C的对应点，再顺次连接可得，再根据坐标系写出各顶点的坐标即可．
（2）根据梯形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）如图，即为所作，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
（2）四边形的面积
19．(1)6.4，8.8；
(2)，14.8；
(3)这摞碗的数量为15个．
【分析】（1）根据表格先得出每增加1，就增加1.2，然后利用规律计算；
（2）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度（碗的总数，从而可得，然后把代入函数关系式中求解；
（3）把代入函数关系式即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：6.4，8.8；
（2）解：由题意得：
，
整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：，
当时，，
当碗的数量为10个时，碗的高度是，
故答案为：，14.8；
（3）解：当时，，
解得：，
这摞碗的数量为15个．
【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是准确熟练地进行计算出增加一个碗的高度．
20．(1)-，2；
(2)±．
【分析】（1）点A沿数轴向左爬了2个单位长度，则点A的坐标减去2，得点B坐标即得m的值，然后利用绝对值的意义，去绝对值进行求解；
（2）根据非负数的性质，得到关于c、d的方程组，再进进行讨论，分别求平方根．
【详解】（1）点A表示，
点B所表示的数为：=，
；
，
∴=-2m=；
故答案为：-；．
（2）∵|2c+d|与互为相反数，
∴|2c+d|+=0，
∴|2c+d|=0，且=0，
，
解得：或，
①当时，2c﹣3d=﹣20，无平方根．
②当时，2c﹣3d=20．
∴2c﹣3d的平方根为±．
【点睛】此题考查了数轴、非负数的性质、绝对值的意义、相反数的意义、平方根与二元二次方程组等知识，正确去掉绝对值与解二元二次方程组是解此题的关键．
21．（1）60；61；；；；（2）见解析
【分析】（1）根据已知条件列类似等式求解即可求出第5组中的b与c，根据上述式子可发现规律第组中an=,bn=,cn=；
（2）根据（1）的规律运用勾股定理的逆定理求解证明即可.
【详解】（1）根据上图的规律可知第5组中a=11
∴60，61
第1组中的a，b，c分别为：3，，；
第2组中的a，b，c分别为：5，，；
第3组中的a，b，c分别为：7，，；
⋯
∴第组中的a，b，c分别为；；
（2）证：
都是直角三角形
【点睛】本题考查了新定义下实数运算，通过已知条件找到运算规律是解题的关键.
22．（1），；（2）不是，理由详见解析.
【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此即可计算4和关于1的“平衡数”；
（2）先根据，求出m的值，再计算与的和，根据所求得结果即可判断.
【详解】解：（1）2-4=-2，所以4与-2是关于1的“平衡数”，
，所以与是关于1的“平衡数”
故依次填：，；
（2）不是.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴
=
=
=3.
∴与不是关于1的“平衡数”.
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算.掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“平衡数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并.
23．（1）2；（2）甲设备每天生产4.8万个口罩，乙设备每天生产2.4万个口罩；（3）在生产过程中，x为2或4时，新旧设备所生产的口罩数量相同
【分析】（1）图象中甲对应的函数图象在1≤x≤3时，其产量y保持不变，据此可得答案；
（2）结合图象，用产量除以所用时间求解可得答案；
（3）分停产前和停产后分别列出方程求解可得．
【详解】解：（1）由图象知，新设备因工人操作不当停止生产了2天，
故答案为：2．；
（2）新设备：4.8÷1＝4.8（万个/天），乙设备：16.8÷7＝2.4（万个/天），
答：甲设备每天生产4.8万个口罩，乙设备每天生产2.4万个口罩；
（3）①2.4x＝4.8，解得x＝2；
②2.4x＝4.8（x﹣2），解得x＝4；
答：在生产过程中，x为2或4时，新旧设备所生产的口罩数量相同．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象问题，理解题意，从图象中提取有效信息是解题关键．
24．（1）10；（2）①；②存在；，．
【分析】（1）把代入求出一次函数解析式为，得到，根据，求出，求得；
（2）①设，利用待定系数法直线AC的解析式为，由，根据代入数值求出t的值；
②如图所示，当N点在轴下方时，得到，设，过P点作直线x轴，作，，证明，得到，，再证明，得到，，求得，作，则，根据，得到，列得求出a得到；当N点在x轴上方时，点与关于对称，得到，即．
【详解】（1）把代入得：，
一次函数解析式为，
令，得，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）①设，
∴P在线段AB上，
∴，
设直线AC的解析式为，代入，得
，
∴，
∴，
又∵轴，则，
∴，
，
又∵，
∴得．
②如图所示，当N点在轴下方时，
∵，
∴，
∴，
∵是以PM为直角边的等腰直角三角形，
当时，，，
设，
过P点作直线x轴，作，，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
∴，作，则，
∵，
∴，
∴M在直线AB上，
∴
，
∴，
∴．
当N点在x轴上方时，点与关于对称，
则，即，
综上：存在一点或使是以MN为直角边的等腰直角三角形．
．
【点睛】此题考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
碗的数量x（个）
1
2
3
4
5
…
高度y（cm）
4
5.2
7.6
…
名称组别
名称组别
第1组
3
第5组
第2组
5
第3组
7
第4组
8
第组