2023-2024学年辽宁省鞍山市第五十一中学九年级上学期12月月考数学试题(含解析)

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山市第五十一中学九年级上学期12月月考数学试题(含解析)，共28页。试卷主要包含了关于的图象，下列叙述正确的是，一次综合实践主题为等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共5小题）
1．如若关于x的方程有一个根为， 则a的值是（ ）
A．9B．5C．3D．
2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．关于的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为
B．对称轴为直线
C．当时，y随x的增大而增大
D．开口向下
4．如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．一元二次方程与的所有实数根的和等于（ ）
A．2B．-4C．4D．3
6．如图，在的正方形网格中，以O为位似中心，把格点放大为原来的2倍，则A的对应点为（ ）
A．点B．点C．点D．点
7．若点都在二次函数的图象上，则的大小关系正确的是（ ）
A．B． C．D．
8．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在同一直角坐标系下，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF=（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共3小题）
11．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是 ．
12．已知实数，满足，则代数式的最小值是 ．
13．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的项点均是格点，则的值是 ．

14．如图，在平面直角坐标内有点，点第一次跳动到点，第二次点跳动到，第三次点跳动到，第四次点跳动到依此规律动下去，则点的坐标是 ．

15．如图，中，，，，把绕点顺时针方向旋转度得到，交射线于点，当是等腰三角形时，则线段的长为 ．

三．解答题（共3小题）
16．解下列方程：
(1)；
(2)．
17．如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线对应的函数表达式并用配方法求顶点D的坐标．
(2)点F在抛物线上，且位于之间．过点F作x轴的平行线交抛物线于点G．过点G、点F作x轴的垂线垂足分别为H、E．求矩形周长的最大值．
18．如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G．
(1)若，求证：．
(2)若，求的长．
19．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．经过市场调研发现，每月销售的数量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其对应关系如表：
在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的，
(1)请求出y关于x的函数关系式．
(2)设小明每月获得利润为w（元），求售价定为多少元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是多少？
20．党的十八大以来，复兴号实现对31个省区市全覆盖按照有关规定：距离铁轨道200米以内的区域噪音影响超过标准，不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．请阅读以下材料，完成问题：
材料1：在中的所对的直角边等于斜边的一半．
材料2：如图是一个小区平面示意图，矩形为一新建小区，直线为高铁轨道，、是直线上的两点，点、、在一直线上，且，．
小王看中了①号楼单元的一套住宅，与售楼人员的对话如图：
(1)小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由；
(2)若一列长度为228米的高铁以252千米/时的速度通过时，则单元用户受到影响时间有多长？（温馨提示：，，）
21．（1）在数学课上，李老师给出如下问题：如图，在平面直角坐标系中，点、点、点，求的面积
小明、小宇同学提出了他们的解题思路
①小明同学从三角形的形状入手
②如图：小宇同学连接，将三角形的面积转化为若干个小三角形的面积的和差．
请你选择一名同学的解法，求出的面积．

（2）李老师肯定了这两名同学的思路，并指出小宇的解法对于研究三角形（有两个点在轴上）面积具有普遍意义．李老师提出了下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与一次函数交于A、C两点，点D是某函数图像上的一点，且的面积为4，利用小宇同学的解法求出点D的横坐标．

说明：①点D的位置需要同学自己确定
②请先在答题卡上写明点D的具体位置，并在答题卡上的对应图形上标清点D．如果需要增加新的函数图像，直接在答题卡，上画出图像并标清点D．
22．阅读材料：如图，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证．
(1)类比迁移：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图，延长至点，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程．
(2)方法运用：如图，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，．
①请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
②若，，请直接写出的长．
23．自从我校九年级数学兴趣学习小组成立以来，参与同学集思广益，兴趣盎然，一次某学习小组为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程
【实践】：（1）他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式
【应用】：（2）按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽米，最高米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙，可借助图2解决）？
【探究】：（3）该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下问题，请予解答：
如图3，过原点作一条直线，交抛物线于，交抛物线的对称轴于，为直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，问在直线上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，理解定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3．C
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式，根据二次函数的性质直接判断每个选项即可．
【详解】解：
抛物线的顶点坐标为，对称轴直线为直线，故选项A、B错误，不符合题意；
，
抛物线的开口向上，有最小值为3，且当时，随增大而增大，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意，
故选：C．
4．D
【分析】根据旋转的性质推出，，根据等边对等角即可求解．
【详解】解：由题意可得：
将绕点C顺时针旋转得，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查图形旋转的性质；熟知旋转图形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
5．D
【详解】解：方程中，
∴该方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系求出两根之和为3．
方程中 ，所以该方程无解．
∴方程与一共只有两个实数根，即所有实数根的和3．
故选：D．
6．C
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点到位似中心的距离比值，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵以O为位似中心，把格点放大为原来的2倍，
∴对应点到位似中心的距离比值为1：2，
∴A的对应点为：点．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点到位似中心的距离比值是解题关键．
7．C
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式的特点，确定其开口方向和对称轴，根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵点都在二次函数的图象上，，
∴，
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查垂径定理以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，，过圆心O，连接，，
，
，纸条的宽为，，，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：B．
9．C
【分析】根据一次函数和二次函数的图象来判断即可．
【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，得，由直线可知，，,故本选项正确；
D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟知一次函数和二次函数的图象是解题的关键．
10．B
【详解】解：由折叠的性质可得，∠EDF=∠C=60º,CE=DE,CF=DF
再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120º
可得∠ADE=∠BFD，又因∠A=∠B=60º，
根据两角对应相等的两三角形相似可得△AED∽△BDF
所以，
设AD=a，BD=2a，AB=BC=CA=3a，
再设CE==DE=x，CF==DF=y，则AE=3a-x，BF=3a-y，
所以
整理可得ay=3ax-xy，2ax=3ay-xy，即xy=3ax-ay①，xy=3ay-2ax②；
把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax，所以5ax=4ay，，
即
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质．
11．k＜﹣
【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝9+4k＜0，解之即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（﹣k）＝9+4k＜0，
解得：k＜﹣．
故答案为：k＜﹣．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知：Δ>0，一元二次方程有两个不相等的实数根；Δ=0，一元二次方程有两个相等的实数根；Δ<0，一元二次方程没有实数根；是解本题的关键．
12．3
【分析】此题考查了代数式的变式与二次函数最值，解题的关键是由题意得，代入代数式可得，由此可知代数式的最小值是3．
【详解】解：，
，，
，
，
当时，代数式有最小值等于3，
故答案为：3．
13．##
【分析】延长到D，连接，由网格可得，即得，可求出答案．
【详解】解：延长到，连接，如图：

∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
14．
【分析】根据跳动后点的坐标的变化，可得出变化规律“，（n为非负整数）”，再代入即可求出结论．
【详解】解：因为，，
，，
，，
，，
…
，（n为正整数），
当时，，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标规律探究，解决本题的关键是寻找点的变化规律．
15．5或6或
【分析】根据等腰三角形的顶点不同进行分类讨论：①当为顶点，即，即可求解；②当为顶点，即，由等腰三角形的定义得，再由旋转的性质和勾股定理可求，，由等腰三角形的性质得，即可求解；③当为顶点，即，过作交于，由判定得，由相似的性质得，从而可求出、的长，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：①当为顶点，即，
如图，
与重合，
；
②当为顶点，即，
如图，

，
由旋转得：，
，
，
，
，
，
，
，
；
③当为顶点，即，
如图，过作交于，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
综上所述：的长为或或；
故答案：或或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等；掌握相关的判定方法及性质，能根据等腰三角形不同顶点进行分类讨论是解题的关键．
16．(1)，
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程，含特殊角的三角函数值计算，掌握一元二次方程的常用解法，各个特殊角的锐角三角函数值是解决此题的关键．
（1）将方程变形为，利用因式分解法解该一元二次方程即可；
（2）原式利用特殊角的三角函数值及二次根式性质，化简绝对值法则计算即可得到结果．
【详解】（1）解：，
，
，
∴或，
∴，；
（2）解：原式
．
17．(1)，顶点
(2)20
【分析】（1）根据对称轴公式得出，把点A的坐标代入函数表达式得出，求出a，b的值即可；
（2）设，矩形周长为s，则，根据矩形的性质求出，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解∶∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴抛物线对应的函数表达式，
∵
，
∴顶点坐标为；
（2）解：设，矩形周长为s，
则，
∴
，
∴当时，s有最大值为20，
即矩形周长的最大值为20．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、矩形的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质是解本题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件．
（1）依据等量代换得到，依据，可得，进而得出，即；
（2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
即；
（2）解：∵平行四边形中，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．(1)
(2)当售价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元
【分析】此题主要考查待定系数法求一次函数解析式、根据实际问题求二次函数解析式及根据二次函数的增减性求最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
【详解】（1）设y与x的函数关系式为，
，得，
即y与x的函数关系式为；
（2）由题意可得，
，
∵在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的，
∴，，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，w取得最大值，此时．
答：当售价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
20．(1)理由见解析
(2)受影响的时间为秒
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，含的直角三角形的性质．解决问题的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形．
（1）作过点作，垂足为，根据含的直角三角形可求得的长，再与200米比较大小即可求解；
（2）在上找到点、，使得米，根据勾股定理可求，即可，根据速度可得单元用户受到影响时间有多长．
【详解】（1）解：作过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∵，米
∴，则米，
∴米，
又∵，
∴单元用户会受到影响，则售楼人员的说法不可信．
（2）在上找到点、，使得米，
∴米，
∴米，
又∵速度252千米/时米/秒，
∴时间秒，
即受影响的时间为秒．
21．（1）5；（2）点D是一次函数上的一点，，点的坐标为或（答案不唯一）
【分析】本题考查坐标与图形，二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积问题，根据图形表示出三角形的面积，列出方程是解决问题的关键．
（1）小明同学的解法：由勾股可得，，，进而可知，即：，利用直角三角形面积公式即可求解；小宇同学的解法：连接，根据，利用三角形面积公式即可求解；
（2）由题意可得，，，当点D是一次函数上的一点时，设，①点在右侧时，则；②点在左侧时，则；分别求出的值，即可求得点的坐标．
【详解】解：（1）小明同学的解法：∵、、，
∴，
，
，
∴，即：，
∴；
小宇同学的解法：连接，

则
；
（2）当时，，解得，，
当时，，解得，，
∴，，，
则，，，
∴，
当点D是一次函数上的一点时，设，
①点在右侧时，

则
即：，解得：，
则点的坐标为，
②点在左侧时，

则
即：，解得：，
则点的坐标为，
综上，点D是一次函数上的一点，点的坐标为或（答案不唯一）．
22．(1)见解析
(2)①，见解析；②2或4
【分析】（1）延长至，使，连接，证明（），由全等三角形的性质可得出，，则可得出结论；
（2）①延长至点，使，连接、，先证（），得，，则，再证（），得，，然后证是等边三角形，即可得出结论；
②分两种情况，当为的中位线时，，可求出答案；当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，证明（），得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：延长至，使，连接，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①解：线段与的数量关系为：，
证明如下：延长至点，使，连接、，如图所示：
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
②解：的长为或．
当为的中位线时，，
∴为的中点，
∴，
∴，
如图，当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，
∵为等腰三角形，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴（），
∴，
∴，即，
∴，即，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理的证明、旋转的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（1）．
（2）该隧道能让最宽米，最高米的两辆车居中并列行驶．
（3）存在，点的坐标为，，，．
【分析】（1）本题考查用待定系数法求解析式，将图形中的点代入解析式中即可解题．
（2）本题将车宽转化为横坐标，将横坐标代入解析式求解，判断，即可解题．
（3）因为三角形为等腰直角三角形，需分类讨论，再根据等腰直角三角形性质和函数解析式，即可求出点坐标．
【详解】（1）解：由图知，设二次函数的解析式为，
则，解得，所以二次函数解析式为，变为一般式有 ．
（2）解：车宽3米，高米，
当时，，
（米），满足车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为米，
所以可以让最宽米，最高米的两辆车居中并列行驶．
（3）解：存在，点的坐标为，，，．
理由如下：
为等腰直角三角形，
下面分三类讨论，
①当，时，
为直线与对称轴的交点，
，
，
设所在的直线解析式为，
则有，解得，故，
为与的交点，
则有，解得，，
点为，，则点的坐标为，，
②当，时，因为轴，所以该情况不存在，
③当，时，
，
轴，
，
的纵坐标为5，则，解得，，
点的坐标为，，
综上所述，点的坐标为，，，．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质和数形结合思想，能够将题干条件转化为数学知识解决问题，是解此题的关键．
x/（元/件）
22
25
30
35
…
y/件
280
250
200
150
…