2023-2024学年辽宁省鞍山市铁东、高新、铁西区上册12月月考九年级数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山市铁东、高新、铁西区上册12月月考九年级数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，直线l1l2l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB∶BC＝5∶3，DE＝15，则EF的长为（ ）
A．6B．9C．10D．25
4．已知二次函数的图象经过，，则b的值为（ ）
A．2B．C．4D．
5．如图，D是中边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），AP为△AOC中线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则的长为（ ）
A．B．C．或D．或
7．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽的和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，中，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ）
A．B．4C．D．5
9．如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，（点A在点B的左侧），且，则点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知一元二次方程的两个实数根分别是a和b，则抛物线的顶点坐标为 ．
12．如图，四边形内接于，交延长线于点，平分，连接，若，，则的长为 ．
13．已知是方程的一个根，则代数式的值是 ．
14．如图，矩形中，点A在函数的图象上，点B，C在x轴上，交y轴于点F，延长至点E，使，连接交y轴于点P，连接，．若的面积为4，则k的值为 ．
15．如图，为的直径，为上一点，连接，，，，连接，点在边上（），点关于直线的对称点为，连接与边交于点，连接．当为直角三角形时， ．

三、解答题（本题共8小题，共75分，写出必要文字说明、演算步骤或推理过程）
16．解方程
(1)；
(2)．
17．如图，点是的边上的一点，点为上的一点，若，，求证：．

18．某超市以每件24元的价格购进一种商品，以每件30元的价格出售，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，日销售量就会减少5件，但物价部门规定商品售价不高于进价的2倍，设每件商品售价为x元．
(1)当每件商品的售价为多少元时，每天该商品销售利润达2240元？
(2)设超市每天销售这种商品的利润为w元，则每件商品的售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
19．某蔬菜生产基地在冬天气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)当时，求与的关系式；
(2)解释线段的实际意义；
(3)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是：，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
20．如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为．测得在点的仰角，测得在点的仰角．求银幕的高度．（参考数据：，，，，，）
21．如图，在中，，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为，求线段的长．
22．【发现问题】
某数学兴趣小组的同学发现，条直线把平面分割成部分，条直线最多把平面分割成部分，条直线最多把平面分割成部分，条直线最多把平面分割成部分，平面被直线最多分割成的部分随着直线条数的变化而变化．
【提出问题】
平面被直线最多分割成的部分与直线的条数之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小组同学结合实际操作和计算得到下表（一）所示的数据：
然后在平面直角坐标系中，描出表（一）中各对数值所对应的点，得到图，兴趣小组的同学根据图中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．
为了验证猜想，同学们根据以往学习经验，先从另一组数据入手，制定了表（二），在平面直角坐标系中，描出表（二）中各对数值所对应的点，得到图，根据图中点的分布情况，猜想其图象也是二次函数图象的一部分；如图，同学们从“形”的角度出发，再借助“补”的思想，进而得出图中图象确为二次函数图象的一部分；再将图中图象平移，就可以得到图中的图象，进而求出与的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出与的关系式；
(2)当平面被直线最多分割成部分时，求直线的条数；
(3)点是（）中所求抛物线上的一点，且位于第一象限，点，．当中有一个角等于时，请求出点的坐标．
23．【问题初探】
（1）如图，在等边中，为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：；
【类比分析】
（2）如图，在等腰中，，底角度数为，，为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，在线段上取点，使，连接；
求证：；
【学以致用】
（3）如图，在等腰中，，底角度数为，，点为延长线上的一点，连接，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，在线段上取点，使，连接交于，求线段的长．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，故选项A错误；
B、是中心对称图形，符合题意，故选项B正确；
C、不是中心对称图形，不符合题意，故选项C错误；
D、不是中心对称图形，符合题意，故选项D错误；
故选B.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的判断，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程．
【详解】解：A、去括号整理可得，是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不符合题意；
C、没有明确a是否为0，若a为0，则不是一元二次方程，不符合题意；
D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
3．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，DE=15，
∴，即，
解得，EF=9，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．C
【分析】由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称轴为 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.
【详解】解： 二次函数的图象经过，，
二次函数图象的对称轴为：
解得：
故选C
【点睛】本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.
5．C
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；
B、当时，再由,可得出，故此选项不合题意；
C、当时,无法得出，故此选项符合题意；
D、当时，即，再由，可得出，故此选项不合题意；
故选：C.
6．D
【分析】根据勾股定理求出OC，然后根据直角三角形的性质求出OP，进而分在第一象限和第三象限进行分类求解即可．
【详解】解：∵△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），
∴，
∴由勾股定理可得，
∵AP为△AOC中线，
∴，
当以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则可分：
①当在第一象限时，如图所示：
∴，
∴；
②当在第三象限时，如图所示：
∴，
∴；
综上所述：或；
故选D．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及位似，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及位似是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设长为x步，根据题意列出一元二次方程即可，弄懂题意得到宽与长是关键．
【详解】解：设长为x步，根据题意得，
．
故选：A．
8．A
【分析】先根据勾股定理求出，再根据旋转的性质可得，，从而求出，在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得，
∴，，，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
9．B
【分析】根据圆周角定理解决问题即可．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
10．D
【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，先根据对称轴计算公式求出对称轴为直线，再由对称性得到点A到对称轴的距离为2，由此即可求出答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵抛物线与x轴交于A，B两点，
∴点A和点B到对称轴的距离相等，
∵，
∴点A到对称轴的距离为2，
又∵点A在对称轴左侧，
∴点A的坐标为，
故选D．
11．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：和求出和的值，再代入到抛物线解析式中，再求得顶点坐标即可．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是a和b
则抛物线解析式为：
抛物线顶点坐标为
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
12．
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是：连接，先根据圆内接四边形的性质得到，再证明得到，然后利用勾股定理计算的长．
【详解】解：连接，如图，
四边形内接于，
，
，
，
平分
，
，
，
，
，
，
在中，．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查一元二次方程的解和求代数式的值，把代入方程得，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键．
【详解】∵是方程的一个根，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】设，与交于点，由题意可得，根据四边形是矩形，可得轴,进而可得，可得出，设，则,由的面积为4，可得出，再由,可得，可得到点坐标，代入解析式即可求得出结果．
【详解】解：如图，设，与交于点，
,
,
，
四边形是矩形，
轴，，
，
即：
设，则，
，
的面积为4，
，
，
，
点A在函数的图象上
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的运用，矩形性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式等，熟练掌握并灵活运用反比例函数系数的几何意义是解题关键．
15．或
【分析】由题意可得不可能是，可分两种情况：①当时，作于点，由为的直径，可得，进而求出，由可得，再根据勾股定理可得，根据对称的性质可推出，从而得，根据线段的和差求，最后结合对称的性质和相似三角形的判定与性质即可求解；②当时，根据对称的性质得到，由（１）知，根据线段的和差得到，设，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】由题意可得不可能是，可分两种情况：
①当时，作于点，

为的直径，
，
，，
根据勾股定理得：，
，
，
，
点关于直线的对称点为，
，
，
，
，
点关于直线的对称点为，
，
在和中，
，，
∽，
，
，
，
即，
；
②当时，

点关于直线的对称点为，
，，
由①可知，，
，
设，则，
，
，
解得：；
即或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，相似三角形，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握相关知识，运用分类讨论的思想解题．
16．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程即可．
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用公式法解方程；
【详解】（1）解：，
，
，
∴，；
（2）解：
，
∴方程有两个不相等的实数根，用求根公式：
∴， ．
17．见解析
【分析】先根据等边对等角得到，进而得到，再由即可证明．
【详解】证明：，
，

，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，熟知两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
18．(1)当每件商品的售价为38元时，每天该商品销售利润达2240元；
(2)当每件商品的售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元．
【分析】本题考查了二元一次方程组和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设每件商品的售价为x元时，每天该商品销售利润达2240元，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）设超市每天销售这种商品的利润为w元，根据题意表示出w，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每件商品的售价为x元时，每天该商品销售利润达2240元，
根据题意得，
解得（应舍去），，
∴当每件商品的售价为38元时，每天该商品销售利润达2240元；
（2）设超市每天销售这种商品的利润为w元，
∴
∵
∴抛物线开口向下，
∴当时，w有最大值2645，
∴当每件商品的售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元．
19．(1)；
(2)线段表示恒温系统设定恒温为；
(3)小时．
【分析】（）利用待定系数法求函数解析式即可；
（）根据函数图象结合题意回答即可；
（）把代入和中，即可求得结论．
本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数的关系式，解题的关键是根据图象求出一次函数、反比例函数解析式．
【详解】（1）当时为双曲线的一部分，设与的关系式为，
∴，解得：，
∴与的关系式为；
（2）线段表示恒温系统设定恒温为；
（3）设段的解析式为，由图象可知过点，，
∴，
解得：，
∴段的解析式为，
∴当时，代入得；
代入得，
∴最适合生长的时间有（小时）．
20．5.1m
【分析】延长，交于、，在中，可得：，在中，可得 ，从而可得，再利用，列方程解方程可得答案．
【详解】解：延长，交于、，
由题意知，
在中，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
又∵，，
∴，
∵，
∴，


解得，
∴．
答：银幕的高度为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数的含义求解三角形的边长是解题的关键．
21．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（）利用相似三角形的判定与性质得到，利用勾股定理求得的长，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解题的根据．
22．(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（）根据表一的数据可以利用待定系数法求出解析式；
（）代入（）中解析式，然后解方程即可；
（）根据（）中解析式，再根据二次函数的性质求解；
此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质及其应用．
【详解】（1）由题意设与的关系式为，
由表一可得：，解得：，
∴与的关系式为；
（2）当时，，整理得：，
解得：，（舍去），
∴当平面被直线最多分割成部分时，直线的条数为；
（3）由（）得：与的关系式为，
∵位于第一象限，
∴如图，当，过作于点，
∴，
∴，
∴
则设，
∵点，
∴点，
∴，整理得：，
解得：或（舍去）；
∴点；
如图，当，过作于点，
∴，
∴，
∴，
则设，
∵点，
∴点，
∴，整理得：，
解得：或（舍去）；
∴点；
∵，
此时点与点重合，，
综上可知：点的坐标或．
23．（）证明见解析；（）证明见解析；（）．
【分析】（）在上截取，利用证明，得，即可证明结论；
（）在上截取，使得 ，根据，得，进而解决问题；
（）延长至点，使得 ，根据根据，得， 再证明，得，设，则，，过点作于点，过点作于点，求出的长，进而解决问题；
本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线及熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（）证明：在上截取，

∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（）证明：在上截取，使得 ，
∵，，
∴，
∵，
∴，
由同（）理得，，
∴，

∴ ，
∴，，
∴，
∴；
（）延长至点，使得 ，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴,
∴，
∴，
∴，
设，则，，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
表（一）
条直线
最多把平面分成部分
表（二）