2022-2023学年河南省南阳市西峡县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省南阳市西峡县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 16的算术平方根是( )
A. 2B. 4C. ±2D. ±4
2.常数e与π一样是常用的无理数.e≈2.71828182845….在数字“2.71828182845”中“8”出现的频数和频率分别是( )
A. 4，13B. 13，4C. 12，4D. 5，23
3.下列运算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. (2x3y)2=2x6y2C. a3÷(−a)2=aD. x2+2x=2x2
4.下列运算错误的是( )
A. (x+2)(x−2)=x2−4B. (−x−2)(−x+2)=x2−4
C. (−x−2)(x+2)=−x2−4x−4D. −(x+2)(2−x)=4−x2
5.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 全等三角形的三边对应相等
B. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
C. 若x2=4y2，则x=2y
D. 全等三角形的三个角对应相等
6.下面是小华证明“ 2是无理数”的过程：“假设 2是有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设 2=qp(p、q是互质的正整数)，则 2p=q，两边平方，得2p2=q2①，2p2是偶数，q2是一个偶数，因此q也是一个偶数，设q=2k(k是正整数)，由①式得，2p2=(2k)2，从而p2=2k2，p2是偶数，因而p也是一个偶数，这与p、q互质矛盾，所以 2不是有理数，因此 2是无理数.”则下列说法错误的是( )
A. 这种证明方法叫反证法
B. 反证法是一种间接的证明方法
C. 2是无理数，可以表示成两个正整数的商的形式
D. 2是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式．
7.如图，边长为a cm的正方形，将它的边长增加b cm.根据该图可写出的等式是( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2
B. (a+b)2=a2+b2+2ab
C. (a−b)2=a2+b2−2ab
D. (a+b)2=a2+b2
8.在等腰△ABC中，若∠A=40°，则∠B等于( )
A. 70°B. 70°或100°C. 40°或70°D. 40°或70°或100°
9.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm.将长方形沿对角线AC折叠，点D落在了D′位置，AD′与BC相交于点E.则BE的长等于( )
A. 78cm
B. 34cm
C. 23cm
D. 56cm
10.在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D在边AB上，AD=AC.按下列步骤作图：(1)以D为圆心，以适当的长度为半径画弧，交AB于M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN长为半径画弧，相交于点E；(2)作直线DE交BC于F；(3)连接CD.下列说法：①△ACD是等边三角形；②△CDB是等腰三角形；③△CDF是等腰三角形；④AD=BD=CD.其中正确的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(−x3y2+14x2y2)÷(−12x2y)= ______ ．
12.因式分解：x3y−10x2y+25xy= ______ ．
13.如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E.若BC=6cm，DE=2cm，则△BCD的面积为______cm2．
14.如图，在数轴上点A表示的数是______ ．
15.已知：(x+y)2=1，(x−y)2=2，则x2+y2= ______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1) (−6)2+3−125+ 214；
(2)16−|π2− 102|(精确到0.01．π≈3.142, 10≈3.162).
17.(本小题8分)
如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB=CD，若∠1=∠2，EC=FB.求证：∠E=∠F．
18.(本小题8分)
如图，有A，B，C三个村庄，要在P点建一所学校，使学校到三个村庄的距离相等.请用尺规作图的方法确定点P的位置，并说明理由.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.)
19.(本小题9分)
某中学为了对青少年进行“偶像教育”，从七、八年级随机抽取了部分学生进行调查，每名学生可根据自己所最喜欢的所属的领域，从图(1)所示的类别中选择一种提交.经过统计、整理、分析，得到如图(2)所示的两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次一共调查了多少名学生？最喜欢的偶像A类学生有多少名？
(2)补全条形统计图；
(3)计算在扇形统计图中“A”所在的扇形圆心角的度数是多少？
(4)请对该校七、八年级学生的“追星现象”作出评价，并提出一条合理化建议．
20.(本小题9分)
先化简，再计算：[(y−x)(x+y)2+(x−2y)(x2−3xy+y2)]÷(−y)，其中，x=1，y=−1．
21.(本小题10分)
已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c.设b2+c2=m(m>0)，且m满足m2−2ma2+a4=ab−b2−14a2．
(1)求证：△ABC是直角三角形，并指出哪个角是直角；
(2)求(cb)2的值．
22.(本小题10分)
学校有一块四边形ABCD的空地，A，C之间有一条垂直于BC的小路AC，如图.学校计划在这块空地上种植花卉.已知：AB=13米，BC=12米，CD=4米，DA=3米．
(1)这块空地ABCD的面积是多少平方米？(小路AC的面积忽略不计)
(2)顶点D到小路AC的距离是多少米？
23.(本小题11分)
如图，在△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC.在△ABC的外部作等边△ACD，E为AC的中点，连结DE并延长交BC于点F，连结BD．
(1)求∠BDF的度数；
(2)①尺规作图：作出∠ACB的平分线CM，交AB于点M，交EF于点N；
②求证：MB=MN．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： 16=4，4的算术平方根是2，
故选：A．
利用算术平方根定义计算即可得到结果．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：“2.71828182845”中“8”出现了4次，则“8”出现的频数为4；
“2.71828182845”中共12个数据，则“8”的频率为：412=13．
故选：A．
频数是数据在样本中出现的次数，频率指频数与样本总数的比值．
本题考查了频数和频率的概念，熟练掌握频数的概念和频率的计算公式是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.a3⋅a2=a5≠a6，故此选项不符合题意；
B.(2x3y)2=4x6y2≠2x6y2，故此选项不符合题意；
C.a3÷(−a)2=a，故此选项符合题意；
D.x2与2x不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意．
故选：C．
利用同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项对各选项依次进行判断即可．
本题考查同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项．掌握相应的运算法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、(x+2)(x−2)=x2−4，故A不符合题意；
B、(−x−2)(−x+2)=x2−4，故B不符合题意；
C、(−x−2)(x+2)=−(x+2)2=−x2−4x−4，故C不符合题意；
D、−(x+2)(2−x)=−(4−x2)=−4+x2，故D符合题意；
故选：D．
利用平方差公式，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、全等三角形的三边对应相等，其逆命题为：三边对应相等的三角形是全等三角形，逆命题为真命题，本选项不符合题意；
B、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，其逆命题为：线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等，逆命题为真命题，本选项不符合题意；
C、若x2=4y2，则x=2y，其逆命题为：若x=2y，则x2=4y2，逆命题为真命题，本选项不符合题意；
D、全等三角形的三个角对应相等，其逆命题为：三个角对应相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题；
故选：D．
将原命题的条件和结论互换位置，即可得到其逆命题，再进行判断即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是知道如何写出一个命题的逆命题．
6.【答案】C
【解析】解：A.由反证法的一般步骤可以得出这种证明方法叫反证法，故本选项正确，不符合题意；
B.反证法是一种间接的证明方法，故本选项正确，不符合题意；
C. 2是无理数，但不能表示成两个正整数的商的形式，故本选项错误，符合题意；
D. 2是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断即可．
此题主要考查了反证法及无理数，正确把握反证法的一般步骤是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题可得，大正方形的面积为=四个小图形的面积和，即a2+2ab+b2；
大正方形的面积的边长为(a+b)，则正方形的面积=(a+b)2；
∴(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选：B．
依据大正方形的面积的不同表示方法，即可得到等式．
本题主要考查了完全平方公式的几何应用，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
8.【答案】D
【解析】解：若∠A为顶角，则∠B=180°−∠A2=180°−40°2=70°．
若∠B为顶角，则∠B=180°−2∠A=180°−80°=100°．
若∠C为顶角，则∠B=∠A=40°．
故选：D．
需要分三种情况讨论：若∠A为顶角；若∠B为顶角；若∠C为顶角．
本题主要考查等腰三角形的性质，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：设BE=x cm，则EC=(4−x)cm．
根据图形折叠的性质可知
CD=CD′，∠D=∠D′．
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB=CD=3cm，∠B=∠D=90°．
∴AB=CD′=3cm，∠B=∠D′=90°．
在△ABE和△CED′中
∠B=∠D′∠AEB=∠CED′AB=CD′
∴△ABE≌△CED′(AAS)．
∴BE=ED′=x cm．
在Rt△CED′中
EC2=ED′2+CD′2，
即(4−x)2=x2+32．
解得x=78．
∴BE=78cm．
故选：A．
设BE=x cm，则EC=(4−x)cm，根据题意可证得Rt△ABE≌Rt△CED′，可得BE=ED′=xcm，根据EC2=ED′2+CD′2可得到关于x的方程，求解即可得到答案．
本题主要考查矩形的性质、图形折叠的性质、勾股定理，能采用数形结合的方法得到关于未知数的方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=180°−∠ACB−∠B=180°−90°−30°=60°，
又∵AD=AC，
∴△ACD是等边三角形．
故说法①正确；
②∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°．
∴∠DCB=∠ACB−∠ACD=90°−60°=30°．
∴∠DCB=∠B．
∴△CDB是等腰三角形．
故说法②正确；
③∵△CDB是等腰三角形，
∴∠B=∠DCB=30°．
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°．
又∵∠ADF=90°，
∴∠CDF=∠ADF−∠ADC=90°−60°=30°．
∴∠CDF=∠DCB．
∴△CDF是等腰三角形．
故说法③正确；
④∵△ACD是等边三角形，
∴AD=CD．
∵△CDB是等腰三角形，
∴BD=CD．
∴AD=BD=CD，故说法④正确；
所以，说法正确的是①②③④．
故选：A．
先求得∠A的度数，结合AD=AC，即可判断说法①是否正确；根据∠DCB=∠ACB−∠ACD即可求得∠DCB的度数，即可判断说法②是否正确；先求得∠B=∠DCB=30°，根据∠CDF=∠ADF−∠ADC即可求得∠CDF的度数，即可判断说法③是否正确；根据①②的证明过程即可判断说法④是否正确．
本题主要考查等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、直线的垂线的性质，牢记等腰三角形的判定定理及性质、等边三角形的判定定理及性质、直线的垂线的性质是解题的关键．
11.【答案】2xy−12y
【解析】解：原式=−x3y2÷(−12x2y)+14x2y2÷(−12x2y)
=2xy−12y．
故答案为：2xy−12y．
根据多项式与单项式的除法法则计算即可．
本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可．
12.【答案】xy(x−5)2
【解析】解：x3y−10x2y+25xy
=xy(x2−10x+25)
=xy(x−5)2．
故答案为：xy(x−5)2．
先提取公因式，再套用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：作DF⊥BC于F，
∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF=DE=2，
∴△BCD的面积=12×BC×DF=6(cm2)，
故答案为：6．
作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14.【答案】− 6
【解析】解：如图，
由图可知：在Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=DE=1，
∴CE= CD2+DE2= 2，
在Rt△CEF中，∠CEF=90°，EF=2，
∴ CE2+EF2= 6，
∴CA=CD= 6，
∵点A在负半轴上，
∴点A表示的数是− 6，
故答案为：− 6．
如图，先由勾股定理求出CE= 2，CF= 6，再根据CA=CD= 6，然后由点A在负半轴上，即可求得点A表示的数是− 6．
本题考查勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15.【答案】32
【解析】解：∵(x+y)2=1，(x−y)2=2，
∴x2+2xy+y2=1，x2−2xy+y2=2，
∴2x2+2y2=1+2=3，
∴2(x2+y2)=3，
解得：x2+y2=32，
故答案为：32．
把完全平方公式展开得x2+2xy+y2=1，x2−2xy+y2=2，由两式相加可以求出x2+y2的值．
本题主要考查了完全平方公式，考核学生的计算能力，熟悉公式的结构特点是解题的关键．
16.【答案】解：(1) (−6)2+3−125+ 214
=6−5+32
=52；
(2)16−|π2− 102|
=16+π2− 102
≈0.167+3.1422−3.1622
=0.167−0.010
=0.157
≈0.16．
【解析】(1)原式先化简 (−6)2=6，3−125=−5， 214=32，然后再进行加减运算即可得到结果；
(2)原式先化简绝对值，再进行加减运算，即可求解．
本题主要考查了实数的运算，正确化简各式是解答本题的关键．
17.【答案】证明：∵∠1+∠DBF=180°，∠2+∠ACE=180°．
又∵∠1=∠2，
∴∠DBF=∠ACE，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=DB，
在△ACE 和△DBF中，
EC=FB∠ACE=∠DBFAC=DB
∴△ACE≌△DBF(SAS)，
∴∠E=∠F．
【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明△ACE≌△DBF是解此题的关键．
根据邻补角求出∠DBF=∠ACE，根据等式性质求出AC=DB，再根据SAS推出△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质得出即可．
18.【答案】解：如图，分别作出AB，AC的垂直平分线，交于点P，

理由：连结AB、AC、BC、PA、PB、PC，
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB(线段平分线上的点到线段两端的距离相等)，
∵点P在AC的垂直平分线上，
∴PA=PC(线段平分线上的点到线段两端的距离相等)，
∴PA=PB=PC，
即点P是求作的学校位置．
【解析】根据题意作出AB，AC的垂直平分线，交点即为所求的点P．
此题考查了垂直平分线的性质和尺规作垂直平分线，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质和尺规作垂直平分线的方法．
19.【答案】解：(1)调查学生的总人数为40÷20%=200(人)，
喜欢C类的人数为200×20%=40(人)，
∴最喜欢的偶像A类学生数为200−(40+40+10+10)=120(人)，
答：本次一共调查了200名学生，最喜欢的偶像A类学生有120名．
(2)如图．

(3)扇形统计图中“A”所在的扇形圆心角的度数是120200×360°=216°；
(4)由统计图可知，学生“追星现象”，特别是追电视明星占大多数，说明学生的人生观和价值观有点扭曲，建议国家对影视明星广告以及影视明星娱乐节目等加以限制，大力宣传科技兴国、发展文学等活动． (答案不唯一)．
【解析】(1)用B的人数除以20%即可得出总人数，再用总人数乘10%得出C的人数，然后用总人数分别减去其它人数可得A的人数；
(2)根据以上所求结果即可补全条形统计图；
(3)用360°乘“A”所占百分比即可；
(4)答案不唯一，合理均可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】解：[(y−x)(x+y)2+(x−2y)(x2−3xy+y2)]÷(−y)
=[(y−x)(x2+2xy+y2)+x3−3x2y+xy2−2x2y+6xy2−2y3]÷(−y)
=(x2y+2xy2+y3−x3−2x2y−xy2+x3−5x2y+7xy2−2y3)÷(−y)
=(−6x2y+8xy2−y3)÷(−y)
=6x2−8xy+y2；
把x=1，y=−1代入上式，得
原式=6+8+1=15．
【解析】原式中括号里利用完全平方公式，多项式的乘法去括号，合并后，利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵m2−2ma2+a4=ab−b2−14a2，
∴m2−2ma2+(a2)2+(12a)2−ab+b2=0，
(m−a2)2+(12a−b)2=0，
∵(m−a2)2≥0，(12a−b)2≥0，而(m−a2)2+(12a−b)2=0，
∴(m−a2)2=0，(12a−b)2=0，
即m−a2=0，12a−b=0，
∴m=a2，b=12a，
∵m=b2+c2，
∴b2+c2=a2，
∴△ABC是直角三角形，∠A=90°；
(2)解：∵△ABC是直角三角形，∠A=90°，
∴b2+c2=a2，
∵b=12a，
∴b2=14a2，
∴14a2+c2=a2，
∴c2=34a2，
∴(cb)2=c2b2=34a2×4a2=3．
【解析】(1)利用完全平方公式及其非负性得出m−a2=0，12a−b=0，从而得到m=a2，b=12a，再根据m=b2+c2，可得b2+c2=a2，即可求解；
(2)根据△ABC是直角三角形，∠A=90°，得出b2+c2=a2，又因为b=12a，可得出14a2+c2=a2，从而c2=34a2，即可求解(cb)2=c2b2=34a2×4a2．
本题考查了完全平方公式，勾股定理，解题的关键是利用完全平方公式得出m−a2=0，12a−b=0．
22.【答案】解：(1)∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°
由勾股定理，得AC= AB2−BC2= 132−122=5(米)，
∵CD=4米，DA=3米
∴CD2+DA2=42+32=25
∵AC2=52=25
∴CD2+DA2=AC2
∴∠ADC=90°，即△ADC是直角三角形，
∴空地ABCD的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=12CA⋅BC+12AD⋅CD=12×5×12+12×3×4=36(平方米)，
答：空地ABCD的面积为36平方米．
(2)如图，过点D作DE⊥AC于E，

由(1)知△ACD是直角三角形，
∴S△ACD=12AD⋅CD=12AC⋅DE，
∴DE=AD⋅CDAC=3×45=2.4(米)，
答：顶点D到小路AC的距离是2.4米．
【解析】(1)先由勾股定理求出AC=5米，再用勾股定理的逆定理得出△ADC是直角三角形，然后用空地ABCD的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=12CA⋅BC+12AD⋅CD计算即可；
(2)过点D作DE⊥AC于E，利用等积法S△ACD=12AD⋅CD=12AC⋅DE求解即可．
本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，点到直线的距离，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=CD，∠CAD=60°，(等边三角形各角都等于60°)，
∵∠BAC=100°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=100°+60°=160°，
∵AB=AC，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB(等边对等角)，
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°−160°2=10°，
∵点E是AC的中点，
∴∠ADE=12∠ADC=12×60°=30°(等腰三角形三线合一)，
∴∠BDF=∠ADF−∠ADB=30°−10°=20°；
(2)解：①尺规作图，如图1所示；

②连结AN，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=180°−100°2=40°(等边对等角)，
∵CM是三角形的角平分线，
∴∠ACN=12∠ACB=12×40°=20°，
∵DF垂直平分AC，
∴AN=CN(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)，
∴∠NAC=∠NCA=20°(等边对等角)，
∴∠BAN=100°−20°=80°，
∠DAN=60°+20°=80°，
∴∠BAN=∠DAN，
在△ABN和△ADN中，
AB=AD∠BAN=∠DANAN=AN，
∴△ABN≌△ADN(SAS)，
∴∠ABN=∠ADN=30°(全等三角形对应角相等)，
∵∠AMC=180°−∠BAC−∠ACM=180°−100°−20°=60°，
∴∠MNB=∠AMC−∠MBN=60°−30°=30°，
∴∠MBN=∠MNB，
∴MB=MN.(等角对等边)
【解析】(1)先证明△ABD是等腰三角形，得到∠ADB=10°，据此即可求解；
(2)①根据尺规作图的步骤作出图形即可；
②利用线段垂直平分线的性质求得∠BAN=∠DAN=80°，利用SAS证明△ABN≌△ADN，再证明∠MBN=∠MNB，即可证明MB=MN．
本题考查尺规作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．A.电视明星
B.文学明星
C.科技明星
D.企业明星
E.其他
图(1)