2022-2023学年河南省南阳市西峡县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省南阳市西峡县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省南阳市西峡县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若分式|x|−2x+2的值为0，则x的值为(    )
A. ±2 B. 0 C. −2 D. 2
2. 新时代的中国北斗服务优质多样，我们的授时精度对外服务的承诺是20纳秒，其中1纳秒=0.000000001秒，数据“20纳秒”用科学记数法表示为(    )
A. 20×10−8秒 B. 2×10−8秒 C. 20×10−9秒 D. 2×10−9秒
3. 若点A(x,y)在第二象限，则点B(−2x,13y)在哪个象限(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按5：3：2计入综合评价，若宸宸学习成绩为90分，体育成绩为80分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为(    )
A. 84 B. 85 C. 86 D. 87
5. 函数y=−kx+k与函数y=kx(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是(    )
A. B.
C. D.
6. 如图，▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有(    )

A. 甲、乙、丙 B. 甲、乙 C. 甲、丙 D. 乙、丙
7. 如图，矩形的中心为直角坐标系的原点O，各边分别与坐标轴平行，其中一边AB交x轴于点C，交反比例函数图象于点P.当点P是AC的中点时，求得图中阴影部分的面积为8，则该反比例函数的表达式是(    )

A. y=2x B. y=4x C. y=8x D. y=16x
8. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD交于点O.关于四边形ABCD的形状，甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：若添加“AB/​/CD”，则四边形ABCD是菱形；
乙：若添加“∠BAD=90°，则四边形ABCD是矩形；
丙：若添加“∠ABC=∠BCD=90°，则四边形ABCD是正方形．
则说法正确的个数是(    )
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
9. 已知：a，b，c三个数满足aba+b=13,bcb+c=14,cac+a=15，则abcab+bc+ca的值为(    )
A. 16 B. 112 C. 215 D. 120
10. 如图①，正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，动点P从A点出发，沿A→D→C的路径，以1cm/s的速度匀速运动到C点，在此过程中，△APE的面积y(cm2)随运动时间x(s)变化的函数关系图象如图②所示，则当x=5时，y的值为(    )

A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算：(−15)−2+(−14)0= ______ ．
12. 如果一组数据5、8、a、7、4的平均数是a，那么这组数据的方差为______ ．
13. 两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC，若AB=1，BC=3，则图中重叠(阴影)部分的面积为______ ．


14. 如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=4.E是AB上一点，且EB=2；F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为______．


15. 如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止).在运动以后，当t= ______ 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)解方程：x+3x−3−4x+3=1；
(2)化简：x−3x−2÷(x+2−5x−2)．
17. (本小题8.0分)
为参加八年级英语单词比赛，某校每班派相同人数的学生参加，成绩分别为A、B、C、D四个等级．其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校将八年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下统计图表：

班级
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
一班
8.76
a= ______
b= ______
二班
8.76
c= ______
d= ______
根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)请补全一班竞赛成绩统计图；
(2)请直接写出a、b、c、d的值；
(3)你认为哪个班成绩较好，请写出支持你观点的理由．
18. (本小题8.0分)
“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物深受大家喜爱．某文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，花费分别是24000元和10000元，已知“冰墩墩”毛绒玩具的订购单价是“雪容融”毛绒玩具的订购单价的1.2倍，并且订购的“冰墩墩”毛绒玩具的数量比“雪容融”毛绒玩具的数量多100件．
(1)求文旅店订购的两种毛绒玩具的单价分别是多少元；
(2)该文旅店计划再订购这两种毛绒玩具共200件，其中购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的13，该文旅店购进“雪容融”毛绒玩具多少件时？购买两种玩具的总费用最低，最低费用是多少元？

19. (本小题10.0分)
有这样一个问题：探究函数y=x2+2x的图象和性质.小奥根据学习函数的经验，对函数y=x2+2x的图象和性质进行了探究.下面是小奥的探究过程，请补充完整：
(1)函数y=x2+2x的自变量x的取值范围是______ ；
(2)下表示y与x的几组对应值：
x
…
−5
−4
−3
−2
−1
−12
12
1
2
3
4
5
…
y
…
−2910
−52
−136
−2
−52
−174
174
52
2
m
52
2910
…
则表格中的m为______ ．
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)进一步研究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2,2)，结合函数图象，写出该函数的其他性质(一条即可)：______ ；
(5)若直线y=n(n为常数)与该函数图象无交点，则n的取值范围为______ ．

20. (本小题8.0分)
甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的八折优惠：在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的九折优惠.设顾客预计累计购物x元(x>300).在甲超市购物所付的费用为y1元，在乙超市购物所付的费用为y2元.
(1)分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
(2)试比较该顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
21. (本小题10.0分)
如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，DC的中点，连接ED，EC，EF，作CG/​/DE，交EF的延长线于点G，连接DG．
(1)求证：四边形DECG是平行四边形；
(2)当ED平分∠ADC时，四边形DECG什么特殊四边形？请证明你的结论．

22. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为(−1,0)，点A的坐标为(0,2)，一次函数y=kx+b的图象经过点B，C，反比例函数y=mx图象也经过点B．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直接写出当x<0时，kx+b−mx<0的解集；
(3)点Q是平面直角坐标系上任意一点，点P是y轴上一动点，当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点P的坐标．

23. (本小题11.0分)
(1)观察发现：如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°.试探究图中线段EF、BE、FD之间的数量关系，直接写出你的结论；
(2)拓展探究：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)迁移应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们的数量关系并证明．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：由分式|x|−2x+2的值为0，得
|x|−2=0且x+2≠0．
解得x=2，
故选：D．
根据分子为零，分母不为零分式的值为零，可得答案．
本题考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．

2.【答案】B 
【解析】解：用科学记数法表示20纳秒为：20×0.000000001秒=0.00000002秒=2×10−8秒．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3.【答案】A 
【解析】解：∵点A(x,y)在第二象限，
∴x<0，y>0，
∴−2x>0，13y>0，
∴点B(−2x,13y)在第一象限．
故选：A．
直接利用第二象限内点的坐标特点得出x，y的符号，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．

4.【答案】C 
【解析】解：根据题意，他的综合评价得分为90×5+80×3+85×25+3+2=86(分)．
故他的总成绩是86分．
故选：C．
根据加权平均数的计算方法即可求解．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的计算方法解答．

5.【答案】B 
【解析】解：当k>0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而减小，B选项符合，A、C选项错误；
当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y随着x的增大而增大，D错误；
故选：B．
分k>0和k<0两种情况确定正确的选项即可．
本题考查反比例函数与一次函数的图象和性质：解题的关键是分两种情况确定答案，难度不大．

6.【答案】A 
【解析】解：方案甲中，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB=OD，OA=OC，
∵BN=MD，
∴NO=OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠ABN=∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN/​/CM，
∴∠ANO=∠CMO，
∴∠ANB=∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
∠ABN=∠CDM∠ANB=∠CMDAB=CD，
∴△ABN≌△CDM(AAS)，
∴AN=CM，
又∵AN/​/CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，AB/​/CD，
∴∠ABN=∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN=∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
∠ABN=∠CDMAB=CD∠BAN=∠DCM，
∴△ABN≌△CDM(ASA)，
∴AN=CM，∠ANB=∠CMD，
∴∠ANM=∠CMN，
∴AN/​/CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案丙正确；
故选：A．
方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB=OD，OA=OC，则NO=OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙，证△ABN≌△CDM(AAS)，得AN=CM，再由AN/​/CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙，证△ABN≌△CDM(ASA)，得AN=CM，∠ANB=∠CMD，则∠ANM=∠CMN，证出AN/​/CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，图中阴影部分的面积为8，
∴矩形OCAD的面积是8，
设A(x,y)，则xy=8，
∵点P是AC的中点，
∴P(x,12y)，
设反比例函数的解析式为y=kx，
∵反比例函数的图象经过点P，
∴k=x⋅12y=12xy=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x．
故选：B．
根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形OCAD的面积是8，设A(x,y)，则P(x,12y)，根据xy=8，可得12xy=4，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出该反比例函数的表达式．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数k的几何意义，得出矩形OCAD的面积是8是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：∵AB=AD，BC=DC，
∴AC垂直平分BD，
当添加：“AB/​/CD”，则∠ABD=∠BDC，
∵∠BDC=∠DBC，
∴∠ABO=∠CBO，
又∵BO=BO，∠BOA=∠BOC，
∴△ABO≌△CBO(ASA)，
∴BA=BC，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，故甲说法正确；
当添加“∠BAD=90°，无法证明四边形ABCD是矩形，故乙说法错误；
当添加条件“∠ABC=∠BCD=90°”时，
则∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB/​/CD，
由证选项A可知四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，故丙说法正确；
故选：B．
根据AB=AD，BC=DC，可以得到AC垂直平分BD，然后再根据各个选项中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

9.【答案】A 
【解析】
【分析】
此题考查了分式的化简求值，要特别注意观察已知条件和所求代数式的关系，再进行化简．由已知可得，abcac+bc=13，abcab+ac=14，abcbc+ab=15，则ac+bc=3abc，ab+ac=4abc，bc+ab=5abc，把三式相加，可得2(ab+bc+ca)=12abc，即可求解．
【解答】
解：由已知可得，abcac+bc=13，abcab+ac=14，abcbc+ab=15，
则ac+bc=3abc①，ab+ac=4abc②，bc+ab=5abc③，
①+②+③得，2(ab+bc+ca)=12abc，
即abcab+bc+ca=212=16．
故选：A．  
10.【答案】C 
【解析】解：①当点P在点D时，设正方形的边长为a，y=12AB×AD=12a×a=4.5，
解得a=3；
②当点P在点C时，y=12EP×AB=12×EP×3=3，
解得EP=2，
即EC=2，BE=1；
③当x=5时，如下图所示：

此时，PD=5−3=2，PC=3−PD=1，
当x=5时，y=S正方形ABCD−(S△ABE+S△ECP+S△APD)=3×3−12(3×1+2×1+3×2)=3.5．
故选：C．
当点P在点D时，设正方形的边长为a，y=12AB×AD=12a×a=8，解得a=4；②当点P在点C时，y=12EP×AB=12×EP×4=6，解得EP=3，即EC=3，BE=1；③当x=5时，y=S正方形ABCD−(S△ABE+S△ECP+S△ADP)即可求解．
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

11.【答案】26 
【解析】解：原式=25+1
=26．
故答案为：26．
根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，可得答案．
本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1是解题关键．

12.【答案】2 
【解析】解：根据题意知5+8+a+7+45=a，
解得a=6，
所以这组数据为5、8、6、7、4，
则这组数据的方差为15×[(5−6)2+(8−6)2+(6−6)2+(7−6)2+(4−6)2]=2，
故答案为：2．
先根据平均数的定义列算式求出a的值，再由方差的定义计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数的定义和方差的定义．

13.【答案】53 
【解析】解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD//BC，AE/​/CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
∠B=∠E∠AGB=∠CGEAB=CE，
∴△ABG≌△CEG(AAS)，
∴AG=CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG=CG=x，则BG=BC−CG=3−x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3−x)2=x2，
解得：x=53，
∴CG=53，
∴菱形AGCH的面积=CG×AB=53×1=53，
即图中重叠(阴影)部分的面积为53，
故答案为：53．
先证四边形AGCH是平行四边形，再证△ABG≌△CEG(AAS)，得AG=CG，则四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC−CG=3−x，然后在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程得出CG的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出CG的长是解题的关键．

14.【答案】3 
【解析】解：如图1，连接DE，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=5，BE=2，
∴AE=3，
∵AD=BC=4，
∴DE= AD2+AE2= 42+32=5，
由折叠得：EB=EP=2，
∵EP+DP≥ED，
∴当E、P、D共线时，DP最小，
∴DP=DE−EP=5−2=3；
故答案为：3．
连接DE，先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点P到点D的最短距离解决问题．

15.【答案】4.8s或8s或9.6s 
【解析】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP=BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C−B，方程为12−4t=12−t，
此时方程t=0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C−B−C，方程为4t−12=12−t，
解得：t=4.8；
③点Q的运动路线是C−B−C−B，方程为12−(4t−24)=12−t，
解得：t=8；
④点Q的运动路线是C−B−C−B−C，方程为4t−36=12−t，
解得：t=9.6；
综上所述，t=4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8s或8s或9.6s．
根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．

16.【答案】解：(1)去分母，方程两边同乘以(x−3)(x+3)得：(x+3)2−4(x−3)=(x−3)(x+3)，
解这个整式方程得：x=−15，
检验：当x=−15时，(x−3)(x+3)=(15−3)(15+3)=216≠0，
∴原分式方程的解为：x=−15；
(2)x−3x−2÷(x+2−5x−2)
=x−3x−2÷[(x+2)(x−2)x−2−5x−2]
=x−3x−2÷(x2−4x−2−5x−2)
=x−3x−2÷x2−9x−2
=x−3x−2÷(x−3)(x+3)x−2
=x−3x−2⋅x−2(x−3)(x+3)
=1x+3． 
【解析】(1)首先去分母，将方程两边同乘以(x−3)(x+3)得：(x+3)2−4(x−3)=(x−3)(x+3)，再去括号得x2+6x+9−4x+12=x2−9，移项、合并同类项得2x=−30，据此可解出x，然后在进行检验即可得出原方程的解；
(2)首先计算x+2−5x−2，把(x+2)看作一个整体进行通分得(x+2)(x−2)x−2−5x−2，进而得x2−9x−2，然后再把除法运算转化为乘法运算得：x−3x−2⋅x−2(x−3)(x+3)，最后进行约分即可得出答案．
此题主要考查了解分式方程；分式的混合运算；解答(1)的关键熟练掌握分式方程的一般解法和步骤，一般情况下去分母解分式方程有以下三个步骤：①去分母，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程；②解这个整式方程，可按照解整式方程的步骤进行；③验根；特别提醒：解分式方程验根是解答此类提醒的易错点之一；解答(2)的关键是熟练掌握分式的通分、除法运算转化为乘法运算的技巧，特别提醒：运算的最后结果一定要化为最将分子或整式．

17.【答案】9  9  8  10 
【解析】解：(1)设一班C等级的人数为x，
则8.76(6+12+x+5)=6×10+9×12+8x+5×7，
解得：x=2，
补全一班竞赛成绩统计图如图所示：

(2)a=9；    b=9；   c=8；   d=10，
故答案为：9，9，8，10．
(3)一班的平均分和二班的平均分都为8.76分，两班平均成绩都一样；一班的中位数9分大于二班的中位数8分，一班成绩比二班好．
   综上，一班成绩比二班好．
(1)设一班C等级的人数为x，列方程求出C等级的人数，再补全统计图即可；
(2)根据中位数、众数的概念分别计算即可；
(3)先比较一班和二班的平均分，再比较一班和二班的中位数，即可得出答案．
此题考查了中位数、平均数、众数，关键是掌握中位数、平均数、众数的概念和有关公式，会用来解决实际问题．

18.【答案】解：(1)设“雪容融”毛绒玩具的单价为x元/件，则“冰墩墩”的毛绒玩具的单价为1.2x元/件，
由题意得：240001.2x−10000x=100，
解得：x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解，
∴1.2x=120，
答：“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具分别是120元/件、100元/件；
(2)设购买“雪容融”毛绒玩具m件，购买两种玩具的总费用为w元，
由题意，得：w=100m+120(200−m)=−20m+24000，
∴w随m的增大而减小，
∵购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的13，
∴m≤13(200−m)，
解得m≤50，
∴当m=50时，w取得最小值，此时w=23000，
答：购买“雪容融”毛绒玩具50件时总费用最低，最低费用是23000元． 
【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
(2)根据题意可以写出费用与购买“雪容融”数量的函数关系式，根据购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的13，可以列出不等式，求出购买“雪容融”数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到该文旅店购进“雪容融”毛绒玩具多少件时，购买两种玩具的总费用最低，最低费用是多少元．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．

19.【答案】x≠0 136  当x>2时，y随x的增大而增大(答案不唯一)  −2 【解析】解：(1)∵x在分母上，
∴x≠0；
故答案为：x≠0；
(2)将x=3，y=m代入函数解析式中得：m=32+23=136；
故答案为：136；
(3)画出函数图象，如图所示，

(4)当x>2时，y随x的增大而增大(答案不唯一)；
(5)解法一：∵直线y=n(n为常数)与该函数图象无交点，
∴x2+2x=n，整理得：x2−2nx+4=0，
则Δ=b2−4ac=4n2−16<0，
∴−2 故答案为：−2 解法二：由图可知，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2,2)，该函数图象在第三象限内的最高点的坐标是(−2,−2)，
∵直线y=n(n为常数)与该函数图象无交点，
∴−2 故答案为：−2 (1)根据分母不能为0即可求解；
(2)将x=3，y=m代入函数解析式中即可求出m；
(3)根据图象中的点，用平滑的曲线连接起来即可；
(4)结合函数图象，写出一条该函数的性质即可；
(5)解法一：根据直线y=n(n为常数)与该函数图象无交点，则Δ<0，求解即可．
解法二：根据函数图象可直接得出n的范围．
本题主要考查函数图象与性质、自变量的取值范围，明确题意，利用数形结合思想解决问题是解题关键．

20.【答案】解：(1)由题意得，
y1=300+0.8(x−300)=0.8x+60，
y2=200+0.9(x−200)=0.9x+20，
即y1、y2关于x的函数关系式分别为：y1=0.8x+60，y2=0.9x+20；
(2)当y1=y2时，0.8x+60=0.9x+20，
解得x=400，
即当x=400元时，两家超市一样；
当y1 解得x>400，
即当x>400元时，甲超市更合算；
当y1>y2时，0.8x+60>0.9x+20，
解得x<400，
∴当300 综上所述：当300400元时，甲超市更合算． 
【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可以写出y1、y2关于x的函数关系式；
(2)根据题意和(1)中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式，利用分类讨论的数学思想解答．

21.【答案】(1)证明：∵F是边CD的中点，
∴DF=CF．
∵CG/​/DE，
∴∠DEF=∠CGF．
又∵∠DFE=∠CFG，
∴△DEF≌△CGF(AAS)，
∴DE=CG，
又∵CG/​/DE，
∴四边形DECG是平行四边形．
(2)四边形DECG是矩形．
证明：∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE=∠FDE．
∵E、F分别为边AB、DC的中点，
∴EF/​/AD．
∴∠ADE=∠DEF．
∴∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF=CF．
∴∠FEC=∠ECF，
∴∠EDC+∠DCE=∠DEC．
∵∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°，
∴2∠DEC=180°．
∴∠DEC=90°，
又∵四边形DECG是平行四边形，
∴四边形DECG是矩形． 
【解析】(1)首先证明△DEF≌△CGF可得DE=CG，再加上条件CG/​/DE，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形DECG是平行四边形．
(2)首先证明∠DEF=∠EDF，∠FEC=∠ECF，再证明∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°，从而得到2∠DEC=180°进而得到∠DEC=90°，再有条件四边形DECG是平行四边形，可得四边形DECG是矩形．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，矩形的判定，关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理．

22.【答案】解：(1)过点B作BF⊥x轴于点F，

∵∠BCA=90°，
∴∠BCF+∠ACO=90°，
又∵∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠BCF=∠CAO
∵∠BFC=∠COA=90°，BC=AC．
∴△BFC≌△COA(AAS)，
∴CF=AO=2，BF=CO=1，
∴点B的坐标为(−3,1)，
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：m=−3，
故可得反比例函数解析式为y=−3x；
点B(−3,1)，点C(−1,0)代入一次函数y=kx+b解析式可得：
−3k+b=1−k+b=0，
解得：k=b=−12，
故可得一次函数解析式为y=−12x−12；
(2)结合点B的坐标及图象，可得：
当x<0时，kx+b−mx<0的解集为−3 (3)∵点A的坐标为(0,2)，点C(−1,0)，
∴AC= 22+12= 5，

∵以点A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴①AC=AP= 5，
∴OP=OA+AP=2+ 5或OP=AP−AO= 5−2，
∴P(0,2+ 5)或(0,2− 5)，
②当AC=PC时，点A与点P关于x轴对称，
∴P(0,−2)，
③当AP=CP，
∵∠COP=90°，
∴PC2=OP2+OC2，
∴(2−OP)2=OP2+12，
∴OP=34，
∴P(34,0)，
综上所述，点P坐标为(0,34)或(0,2+ 5)或(0,−2)或(0,2− 5)． 
【解析】(1)过点B作BF⊥x轴于点F，根据余角的性质得到∠BCF=∠CAO根据全等三角形的性质得到CF=AO=2，BF=CO=1，求得点B的坐标为(−3,1)，将点B的坐标代入反比例函数解析式得到m=−3，于是得到反比例函数解析式为y=−3x；把点B(−3,1)，点C(−1,0)代入一次函数y=kx+b解方程组得到y=−12x−12；
(2)根据函数的图象即可得到结论；
(3)根据勾股定理得到AC= 22+12= 5，根据菱形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，勾股定理，不等式的解集，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．

23.【答案】解：(1)结论：EF=BE+DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，
如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，

∵∠EAF=45°，
∴∠EAF′=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEF′中，
AF=AF′∠EAF′=∠EAFAE=AE，
∴△AEF≌△AEF′(SAS)，
∴EF=EF′，
又EF′=BE+BF′=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
(2)结论：EF=BE+DF成立．理由如下：
如图2中，延长FD到点G，使DG=BE，连结AG．

∵∠B=∠ADC=90°，
∴∠B=∠ADG=90°，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=∠EAF，
∴∠FAE=∠FAG，
∵AF=AF，
∴△FAE≌△FAG(SAS)，
∴EF=FG，
∴EF=FG=DG+DF=BE+DF．
(3)结论不成立，应为：EF=BE−DF.理由如下：

在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵AB=AD，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD，
∴∠GAE=∠EAF，
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF(SAS)，
∴EG=EF，
∵EG=BE−BG，
∴EF=BE−FD． 
【解析】(1)将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，然后求出∠EAF′=∠EAF=45°，利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EF′，从而得解；
(2)延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，则△ABE≌△△ADG(SAS)，再证得△FAE≌△FAG(SAS)，得EF=FG，由等量代换和图形中相关线段的和差关系证得EF=BE+DF；
(3)在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，可证得△ABG≌△ADF(SAS)，再证得△AEG≌△AEF(SAS)，可得EG=EF，由EG=BE−BG，可推出EF=BE−FD．
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．