2021-2022学年河南省南阳市西峡县八年级（上）期末数学试卷

2021-2022学年河南省南阳市西峡县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.

1．（3分）已知实数a的一个平方根是4，则它的另一个平方根是（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．±2

2．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．x+x2＝2x3 B．x•x2＝x2 C．（x2）3＝x5 D．x6÷x2＝x4

3．（3分）数字“19009009009001”中，数字“9”出现的频数和频率分别为（　　）

A．4和 B．4和 C．和3 D．和4

4．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（　　）

A．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 

B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 

C．如果a＝b，那么a2＝b2 

D．在△ABC中，如果BC2+AC2＝AB2，那么∠C＝90°

5．（3分）计算（x3﹣2x2y）÷（﹣x2）的结果是（　　）

A．x﹣2y B．﹣x+2y C．﹣x﹣2 D．﹣x+2

6．（3分）如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列结论：①△ABC≌△CDE；②∠ACE＝90°；③四边形ABDE的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

7．（3分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，已知a、b、c满足（a+b）（a﹣b）＝c2，则下列说法正确的是（　　）

A．△ABC是等腰三角形，且AC＝AB 

B．△ABC是等腰直角三角形，且AC＝AB 

C．△ABC是直角三角形，且∠C＝90° 

D．△ABC是直角三角形，且∠A＝90°

8．（3分）下列实数：0、﹣0.333…、、π、、、0.1010010001…、，其中属于无理数的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

9．（3分）已知x2+4x+4＝0，则x3的值等于（　　）

A．8 B．2 C．﹣3 D．﹣8

10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）的小数部分是a，则＝　   　．

12．（3分）因式分解﹣2x2+4x﹣2＝　   　．

13．（3分）计算：＝　   　．

14．（3分）如图，在△ABC中，按下列步骤作图：

（1）以点C为圆心，以适当长度为半径作弧分别交BC、AC于M、N；分别以M、N为圆心，以大于长为半径作弧相交于G，作射线CG，交AB于D；

（2）以点D为圆心，以适当长度为半径作弧交AC于P、Q；分别以P、Q为圆心，以大于长为半径作弧相交于H，作直线DH交AC于E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为 　   　cm2．

15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝16，BD＝4，BE＝5，点P是AB上的动点，连结PE，以PE为边作等边△PEF．当点P从点D出发沿DA运动到点A时，点F运动的路径长等于 　   　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．（10分）计算：

（1）（2x﹣1）（4x2+2x+1）；

（2）（x﹣y）8÷（y﹣x）7•（x﹣y）．

17．（8分）以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题．

（1）填空：①m＝　   　；②n＝　   　；

（2）补全条形统计图；

（3）求在扇形统计图中“软件”所对应的圆心角的度数．

18．（8分）先化简，再求值

[（a﹣2b）2+（a﹣2b）（a+2b）﹣2a（2a﹣b）]÷2a，其中，a＝﹣1，．

19．（9分）阅读下面内容，解答后面的问题．

题目：尺规作图：如图1，已知线段MN（长度等于a），求作一个一条边长等于a，且有一个角为30°的直角三角形，并说明理由．

华伟同学的解答如下：

作图方法：

（1）作线段BC＝MN；

（2）分别以点B、C为圆心，以线段BC长为半径画弧，两弧相交于点D；

（3）连结BD、CD；

（4）延长BD到A，使DA＝BC；

（5）连结AC．

则△ABC就是所求作的三角形．

（1）请你根据以上作图方法，证明华伟同学所作的△ABC是符合要求的三角形．

（2）请你再用一种其他的方法作出一个符合条件的三角形．（不写作法，保留作图痕迹；不用说明理由．）

20．（9分）已知：x2﹣y2＝﹣10，（x+y）2＝50．求xy的值．

21．（10分）机械厂车间里的师傅利用剩余钢板边脚料加工机器零件．如图（1），是一块直角三角形钢板边脚料，∠C＝90°，AB边长为10分米，BC边长为6分米．

（1）求该钢板的面积为多少平方分米？

（2）现要利用这块边脚废料截取一个以AB为底边，且面积最大的等腰三角形零件ABD．

①请用尺规作图法确定点D的位置（不写作法，不用证明，保留作图痕迹）；

②求出AD的长．

22．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD是∠ABC的平分线，BD＝BE．求证：

（1）△CED是等腰三角形；

（2）BD+AD＝BC．

23．（11分）（1）观察发现：如图1，分别以△ABC三边为直角边向AB的同侧作等腰直角三角形：△ABD、△BCE、△ACF．连结EF、DE，AF与DE的交点为G．

①证明：△ADG≌△FEG；

②直接写出S四边形ACED、S△ACF、S△CEF之间的关系．

（2）拓展运用：已知：如图2，在△ABC中，BC＝10，BC上的高等于2．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，将线段AC绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE，求四边形BDEC的面积S四边形BDEC．

2021-2022学年河南省南阳市西峡县八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.

1．【分析】根据平方根的定义可以求出a的值，然后即可求出另一个平方根．

【解答】解：∵数a的一个平方根是4，

∴a＝16，

∴a的另一个平方根是﹣4，

故选：C．

【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．

2．【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法法则对各项进行运算即可．

【解答】解：A、x与x2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；

B、x•x2＝x3，故B不符合题意；

C、（x2）3＝x6，故C不符合题意；

D、x6÷x2＝x4，故D符合题意；

故选：D．

【点评】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

3．【分析】根据频数、频率的定义即可得出答案．

【解答】解：在14个数字中，9出现了4次，则数字9出现的频率是4÷14＝．

故选：A．

【点评】本题主要考查了频率的计算方法，记住频率＝频数÷总数是解答此题的关键．

4．【分析】先写出各个命题的逆命题，根据线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理、有理数的平方、勾股定理的逆定理判断即可．

【解答】解：A、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上的逆命题是线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等，是真命题，不符合题意；

B、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题是角的平分线上的点到角的两边距离相等，是真命题，不符合题意；

C、如果a＝b，那么a2＝b2的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝±b，故逆命题是假命题，符合题意；

D、在△ABC中，如果BC2+AC2＝AB2，那么∠C＝90°的逆命题是在△ABC中，∠C＝90°，那么BC2+AC2＝AB2，是真命题，不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

5．【分析】根据多项式除以单项式的法则求解．

【解答】解：原式＝x3÷（﹣x2）﹣2x2y÷（﹣x2）

＝﹣x+2y．

故选：B．

【点评】本题考查多项式除以单项式，掌握相关法则是求解本题的关键．

6．【分析】证明△ABC≌△CDE（SAS），由全等三角形的性质可得出∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E．由图形的面积可得出③④⑤正确．

【解答】解：∵AB∥DE，AB⊥BD，

∴DE⊥BD，

∴∠B＝∠D＝90°．

在△ABC和△CDE中，

，

∴△ABC≌△CDE（SAS），

∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E．

∵∠A+∠ACB＝90°，

∴∠DCE+∠ACB＝90°．

∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°，

∴∠ACE＝90°，

故①②正确；

∵AB∥DE，AB⊥BD，

∴四边形ABDE的面积是；

故③正确；

∵梯形ABDE的面积﹣直角三角形ACE的面积＝两个直角三角形的面积，

∴ab，

∴a2+b2＝c2．

故③④⑤都正确．

故选：A．

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

7．【分析】求出b2+c2＝a2，根据勾股定理的逆定理得出选项即可．

【解答】解：∵a、b、c满足（a+b）（a﹣b）＝c2，

∴a2﹣b2＝c2，

即b2+c2＝a2，

∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，

故选：D．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，等腰直角三角形和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．

8．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：0，，是整数，属于有理数；

﹣0.333…是循环小数，属于有理数；

是分数，属于有理数；

无理数有：、π、0.1010010001…、共4个．

故选：B．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

9．【分析】对已知条件进行整理得（x+2）2＝0，可解得x＝﹣2，再把相应的值代入运算即可．

【解答】解：∵x2+2x+4＝0，

∴（x+2）2＝0，

解得：x＝﹣2，

∴x3＝（﹣2）3＝﹣8．

故选：D．

【点评】本题主要考查完全平方公式，解答的关键是熟记完全平方公式的形式．

10．【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题；

【解答】解：如图连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，

∴PC＝PB，

∴PE+PC＝PB+PE＝BE，

即BE就是PE+PC的最小值，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BCE＝60°，

∵BA＝BC，AE＝EC，

∴BE⊥AC，

∴∠BEC＝90°，

∴∠EBC＝30°，

∵PB＝PC，

∴∠PCB＝∠PBC＝30°，

∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，

故选：C．

【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．【分析】估算无理数的大小，求出a的值，即可得到代数式的值．

【解答】解：∵16＜17＜25，

∴4＜＜5，

∴a＝﹣4，

∴a﹣＝﹣4，

故答案为：﹣4．

【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．

12．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式﹣2，再对余下的多项式进行观察，发现有3项，可采用完全平方公式继续分解．

【解答】解：﹣2x2+4x﹣2，

＝﹣2（x2﹣2x+1），

＝﹣2（x﹣1）2．

故答案为：﹣2（x﹣1）2．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

13．【分析】先计算乘方和二次根式，再计算绝对值，最后算加减．

【解答】解：

＝﹣4﹣|﹣3+2|

＝﹣4﹣1

＝﹣5，

故答案为：﹣5．

【点评】此题考查了实数的乘方、二次根式、绝对值及加减混合运算的能力，关键是能确定正确的运算顺序并能进行准确计算．

14．【分析】根据作图过程可知：CD平分∠ACB，DE⊥AC，过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可得DF＝DE，进而可以解决问题．

【解答】解：根据作图过程可知：CD平分∠ACB，DE⊥AC，

如图，过点D作DF⊥BC于点F，

∴DF＝DE＝2cm，

则△BCD的面积＝×BC•DF＝×6×2＝6（cm2），

故答案为：6．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．

15．【分析】过点F作JK∥AC交AB于点J，交BC于点K，证明△PBE≌△EKF（AAS），推出BE＝FK＝5，PB＝EK，当点P与A重合时，同法可证F′K′＝BE＝5，由四边形FKK′F′是平行四边形，推出FF′＝KK′，推出点F的运动路径的长＝点K的运动路径的长．

【解答】解：过点F作JK∥AC交AB于点J，交BC于点K，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°，

∵JK∥AC，

∴∠FKE＝∠ACB＝60°，

∵△PEF是等边三角形，

∴∠PEF＝60°，EP＝EF，

∵∠PEK＝∠B+∠EPB＝∠PEF+∠FEK，∠PEF＝∠B＝60°，

∴∠BPE＝∠FEK，

∵∠B＝∠FKE＝60°，∠BPE＝∠FEK，PE＝EF，

∴△PBE≌△EKF（AAS），

∴BE＝FK＝5，PB＝EK，

当点P与A重合时，同法可证F′K′＝BE＝5，

∴FK∥F′K′，FK＝F′K′，

∴四边形FKK′F′是平行四边形，

∴FF′＝KK′，

∴点F的运路径的长＝点K的运动路径的长，

当点P与点D重合时，EK＝BD＝4，当点P与点A重合时，EK′＝BA＝16，

∴点K的运动路径的长＝16﹣4＝12，

∴点F的运路径的长为12．

故答案为：12．

【点评】本题考查轨迹，等边三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．【分析】（1）根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，计算出结果；

（2）先把（x﹣y）8÷（y﹣x）7•（x﹣y）化为（x﹣y）8÷[﹣（x﹣y）]7•（x﹣y）的形式，再用同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则计算．

【解答】解：（1）（2x﹣1）（4x2+2x+1）

＝8x3+4x2+2x﹣4x2﹣2x﹣1

＝8x3﹣1；

（2）（x﹣y）8÷（y﹣x）7•（x﹣y）

＝（x﹣y）8÷[﹣（x﹣y）]7•（x﹣y）

＝﹣（x﹣y）2．

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，掌握这三种运算法则，相反数的互化是解题关键．

17．【分析】（1）根据总线的人数和所占的百分比，可以求得m的值，然后即可计算出n的值；

（2）根据（1）中的结果和硬件所占的百分比，可以求得硬件专业的毕业生，从而可以将条形统计图补充完整；

（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角的度数．

【解答】解：（1）m＝15÷30%＝50，

n%＝5÷50×100%＝10%，

故答案为：50，10；

（2）补全的条形统计图如图所示；

（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是360°×＝72°．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

18．【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式算括号里面的，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．

【解答】解：[（a﹣2b）2+（a﹣2b）（a+2b）﹣2a（2a﹣b）]÷2a

＝（a2﹣4ab+4b2+a2﹣4b2﹣4a2+2ab）÷2a

＝（﹣2a2﹣2ab）÷2a

＝﹣a﹣b，

当a＝﹣1，＝时，原式＝﹣（﹣1）﹣＝1﹣＝．

【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

19．【分析】（1）利用作法得到BC＝BD＝CD＝DA，则△BCD为等边三角形，∠A＝∠DCA，所以∠B＝∠BDC＝60°，然后计算出∠A＝30°，从而可判断△ABC满足条件；

（2）先作GK＝2a，再作EF＝a，过F点作EF的垂线PF，然后以E点为圆心，以GK为半径作弧交PF于P，则△EFP满足条件．

【解答】（1）证明：由作法得BC＝BD＝CD＝DA，

∴△BCD为等边三角形，∠A＝∠DCA，

∴∠B＝∠BDC＝60°，

∵∠BDC＝∠A+∠DCA，

∴∠A＝∠BDC＝×60°＝30°，

∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，

∴△ABC满足条件；

（2）解：如图3，△EFP为所作；

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

20．【分析】根据完全平方公式以及平方差公式解决此题．

【解答】解：∵x2﹣y2＝﹣10，（x+y）2＝50，

∴（x+y）（x﹣y）＝﹣10，x+y＝．

∴x﹣y＝．

∴（x﹣y）2＝2．

∴（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy＝48．

∴xy＝12．

【点评】本题主要考查完全平方公式、平方差公式，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解决本题的关键．

21．【分析】（1）根据勾股定理可得AC的长，再根据直角三角形的面积公式即可解决问题；

（2）①作AB的垂直平分线交AC于点D即可；

②根据DE是AB的垂直平分线，可得DA＝DB，然后根据勾股定理即可求出AD的长．

【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB边长为10分米，BC边长为6分米，

∴AC＝＝8分米，

∴S△ABC＝AC•BC＝24（平方分米），

答：该钢板的面积为24平方分米；

（2）①如图，点D即为所求；

②∵DE是AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

∴CD＝AC﹣AD＝8﹣AD，

在Rt△CDB中，根据勾股定理，得

CD2+BC2＝BD2，

∴（8﹣AD）2+62＝AD2，

解得AD＝6.25分米，

答：AD的长6.25分米．

【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握垂直平分线的作法．

22．【分析】（1）由AB＝AC，∠A＝100°求出∠ABC＝∠C＝40°，再由BD是∠ABC的平分线求出∠DBC＝∠ABC＝20°，根据BD＝BE求出∠BED＝∠BDE＝80°，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求得∠EDC＝40°，则∠EDC＝∠C，从而证明ED＝EC，即△CED是等腰三角形；

（2）在BE上截取BF＝BA，连结DF，先证明△FBD≌△ABD，则FD＝AD，∠BFD＝∠A＝100°，可证明∠EFD＝∠FED＝80°，则AD＝FD＝ED＝EC，即可证明BD+AD＝BE+EC＝BC．

【解答】证明：（1）如图，∵AB＝AC，∠A＝100°，

∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣100°）＝40°，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠DBC＝∠ABC＝20°，

∵BD＝BE，

∴∠BED＝∠BDE＝×（180°﹣20°）＝80°，

∴∠EDC＝∠BED﹣∠C＝80°﹣40°＝40°，

∴∠EDC＝∠C，

∴ED＝EC，

∴△CED是等腰三角形．

（2）如图，在BE上截取BF＝BA，连结DF，

在△FBD和△ABD中，

∴△FBD≌△ABD（SAS），

∴FD＝AD，∠BFD＝∠A＝100°，

∴∠EFD＝180°﹣∠BFD＝80°，

∴∠EFD＝∠FED＝80°，

∴FD＝ED＝EC，

∴AD＝EC，

∴BD+AD＝BE+EC＝BC．

【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

23．【分析】（1）①延长FE，交AB于H，利用SAS证明△ABC≌△FEC，得AB＝EF，∠BAC＝∠CFE，则∠AHF＝∠ACF＝90°，再证明EF＝AD，EF∥AD，利用ASA即可证明△ADG≌△FEG；

②由①知，△ABC≌△FEC，△ADG≌△FEG，得S四边形ACED＝S△ACF﹣S△CEF；

（2）以BC为边作等腰直角三角形BFC，连接DF，CF，AD，AE，根据旋转的性质得△ABD，△ACE是等腰直角三角形，由①同理得，△ABC≌△DBF（SAS），△FDG≌△CEG（ASA），则S四边形BDEC＝S△BCF﹣S△ABC＝×10×10﹣×10×2＝40．

【解答】（1）①证明：延长FE，交AB于H，

∵△BCE和△ACF是等腰直角三角形，

∴BC＝CE，AC＝CF，∠BCE＝∠ACF，

∴∠BCA＝∠ECF，

∴△ABC≌△FEC（SAS），

∴AB＝EF，∠BAC＝∠CFE，

∴∠AHF＝∠ACF＝90°，

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴AD＝AB，∠DAB＝90°，

∴EF＝AD，EF∥AD，

∴∠DAG＝∠EFG，∠ADG＝∠FEG，

∴△ADG≌△FEG（ASA）；

②解：由①知，△ABC≌△FEC，△ADG≌△FEG，

∴S四边形ACED＝S△ACF﹣S△CEF；

（2）解：以BC为边作等腰直角三角形BFC，连接DF，CF，AD，AE，

∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，将线段AC绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，

∴△ABD，△ACE是等腰直角三角形，

由①同理得，△ABC≌△DBF（SAS），△FDG≌△CEG（ASA），

∴S四边形BDEC＝S△BCF﹣S△ABC＝×10×10﹣×10×2＝40，

∴四边形BDEC的面积为40．

【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，图形面积之间的关系，运用前面探索的结论解决新问题是解题的关键．

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