2022-2023学年河北省张家口市宣化区八年级（上）期末数学试卷（人教版）（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省张家口市宣化区八年级（上）期末数学试卷（人教版）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 34米，将这个数用科学记数法表示为( )
A. 0.34×10−9B. 3.4×10−9C. 3.4×10−10D. 3.4×10−11
3.若点A(a,3)与B(2,b)关于x轴对称，则点M(a,b)的坐标为( )
A. (−2,3)B. (2,3)C. (2,−3)D. (−2,−3)
4.分式|x|−2x−2的值为0，则x的值为( )
A. −2B. 2C. −2或2D. 不存在这样的x
5.已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为( )
A. 70°B. 55°C. 40°D. 40°或70°
6.下列计算正确的是( )
A. m5+m5=m10B. (m3)4=m12C. (2m2)3=6m6D. m8÷m2=m4
7.若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
8.如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2=240°，则∠A等于( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
9.如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为( )
A. 3cm2
B. 4cm2
C. 4.5cm2
D. 5cm2
10.已知a=817，b=279，c=913，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>b>cB. a>c>bC. ac>a
11.嘉淇在折幸运星时将一张长方形的纸条折成了如图所示的样子(内部有一个正五边形)，则∠1的度数为( )
A. 36°
B. 54°
C. 60°
D. 72°
12.如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为( )
A. 1
B. 32
C. 54
D. 43
13.下列命题，正确的是( )
A. 三角形三条中线的交点到三角形三个顶点的距离相等
B. 三角形三条高线的交点到三角形三个顶点的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
D. 三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等
14.如图，AB⊥CD，且AB=CD，CE⊥AD，BF⊥AD，分别交AD于E、F两点，若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为( )
A. a+c
B. b+c
C. a−b+c
D. a+b−c
15.如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式( )
A. (a−b)2=a2−2ab+b2
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a−b)2=(a+b)2−4ab
D. (a+b)(a−b)=a2−b2
16.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，DH⊥BC于点H，交BE于点G.下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=12BF；④AE=CF.其中正确的是( )
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.分解因式：a2b−9b=______．
18.若(x+2)(x+3)=7，则代数式2−10x−2x2的值为 ．
19.如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上一点且CE=3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB−BC−CD−DA向终点A运动，设点M的运动时间为1秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是______ ．
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题12分)
(1)计算：−1−2022+(2023−π)0−(−23)−2+(−2)3；
(2)解方程：1x−3=2+x3−x；
(3)先化简再求值：1−a−1a÷(aa+2−1a2+2a)，然后从0，1，2中选择一个合适的数代入求值．
21.(本小题8分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)在x轴上有一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标是______ ．
22.(本小题8分)
人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值.老师讲解了这道题的两种方法：
请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题．
(1)已知a−b=1，a2+b2=9，求ab的值；
(2)已知a+1a=4，求(a−1a)2的值．
23.(本小题9分)
如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE=DC，BE=AC，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM=EF，连接CM．
(1)试说明：△BDE≌△ADC．
(2)试说明：AC⊥MC．
24.(本小题10分)
某市教育部门为了落实中共中央《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，确定初中生的体育考试成绩计入毕业升学成绩，考试项目可由学生自行选择．据统计：市内某校九年级选考篮球的学生有350人，选考足球的学生有480人．学校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划选购一批篮球与足球，保证每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格高20元，用480元单独购进篮球的个数与320元单独购进足球的个数相同．
(1)足球与篮球的单价分别为多少元？
(2)若学校计划购买这种足球与篮球共40个，且投入的经费不超过2100元，则共有几种购买方案？
25.(本小题10分)
△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．
(1)如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；
(2)如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BF//OD；
②若∠F=35°，求∠BAC的度数．
26.(本小题12分)
在△DEF中，DE=DF，点B在EF边上，且∠EBD=60°，C是射线BD上的一个动点(不与点B重合，且BC≠BE)，在射线BE上截取BA=BC，连接AC．
(1)当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为______；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE=BF+CD；
(2)当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：“共”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，可以看作是轴对称图形；
“同”，“战”，“疫”不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不可以看作是轴对称图形．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：0.000 000 00034=3.4×10−10；
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
【解析】解：∵点A(a,3)与B(2,b)关于x轴对称，
∴a=2，b=−3，
∴点M坐标为(2,−3)．
故选：C．
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b的值，从而得到点M的坐标．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
4.【答案】A
【解析】解：由分式的值为零的条件得：|x|−2=0且x−2≠0，
由|x|−2=0，得x=2或x=−2，
由x−2≠0，得x≠2，
综上，得x=−2，即x的值为−2，
故选：A．
根据分式值为0得出|x|−2=0且x−2≠0，求出即可．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
5.【答案】D
【解析】解：当这个角是底角时，其顶角=40°；
当这个角是顶角时，顶角=70°；
故选：D．
题中没有指明该角是顶角还是底角，故应该分两种情况进行分析．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的运用．若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、m5+m5=2m5，故本选项不合题意；
B、(m3)4=m12，故本选项符合题意；
C、(2m2)3=8m6，故本选项不合题意；
D、m8÷m2=m6，故本选项不合题意．
故选：B．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘法与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用，首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°(n−2)，即可得方程180(n−2)=1080，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得，
180(n−2)=1080，
解得，
n=8．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠1+∠2=240°，
∴∠B+∠C=360°−(∠1+∠2)=120°，
∴∠A=180°−(∠B+∠C)=60°，
故选：B．
根据四边形的内角和定理求出∠B、∠C的度数，再根据三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和定理以及四边形内角和定理，熟练掌握三角形和四边形内角和定理是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
∠ABP=∠EBPPB=PB∠APB=∠EPB，
∴△ABP≌△EBP(ASA)，
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△PBC=12S△ABC=12×9cm2=4.5cm2，
故选：C．
根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=12S△ABC，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
10.【答案】A
【解析】解：∵a=817，b=279，c=913，
∴a=(34)7=328，b=(33)9=327，c=(32)13=326．
又∵328>327>326，
∴a>b>c．
故选：A．
根据幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小关系解决此题．
本题主要考查幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小关系是解决本题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：如图，
由题意得：多边形ABDEC是正五边形，
∴∠BAC=∠ABD=180°×(5−2)5=108°，
∠ABC=12×(180°−108°)=36°，
∴∠1=108°−36°=72°．
故选：D．
点拨：根据五边形的内角和是540°可得∠BAC的度数，再利用角的和差解决此题．
本题主要考查多边形的外角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解决本题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，AB=AC=BC=2，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD=∠CEF=90°，
∴∠ADF=∠CFE=90°−60°=30°，
∴AF=12AD，CE=12CF(30°所对直角边等于斜边的一半)，
∵点D是AB的中点，
∴AD=1，
∴AF=12，CF=32，CE=34，
∴BE=BC−CE=2−34=54．
故选：C．
根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE的长．
本题考查了含30°角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】D
【解析】解：A、三角形三条中线的交点到三角形三个顶点的距离相等，错误，本选项不符合题意．
B、三角形三条高线的交点到三角形三个顶点的距离相等，错误，本选项不符合题意．
C、三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，错误，本选项不符合题意．
D、三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等，正确，本选项符合题意．
故选：D．
根据三角形的外心是各边垂直平分线的交点，即可判断．
本题考查命题与定理，三角形的中线，角平分线，高，中垂线等知识，解题的关键是掌握三角形的外心是各边垂直平分线的交点．
14.【答案】D
【解析】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C，
∵AB=CD，∠A=∠C，∠CED=∠AFB=90°
∴△ABF≌△CDE(AAS)
∴AF=CE=a，BF=DE=b，
∵EF=c，
∴AD=AF+DF=a+(b−c)=a+b−c，
故选：D．
由余角的性质可得∠A=∠C，由“AAS”可证△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，可得AD的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
15.【答案】A
【解析】解：根据题意得：图1中阴影部分面积=(a−b)2，图2中阴影部分面积=a2−2ab+b2，
∴(a−b)2=a2−2ab+b2，
故选：A．
根据图形确定出图1与图2的面积，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清阴影部分面积的求法是解本题的关键．
16.【答案】C
【解析】解：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD.故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°−∠BFD，∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴△DFB≌△DAC(ASA)．
∴BF=AC；DF=AD．
∵CD=CF+DF，
∴AD+CF=BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，
∴△BEA≌△BEC(ASA)．
∴CE=AE=12AC．
又由(2)，知BF=AC，
∴CE=12AC=12BF；故③正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．
∴BG=CG
在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，
∴CE∵CE=AE，
∴AE故选：C．
根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC.则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=12AC，又因为BF=AC所以CE=12AC=12BF，连接CG.因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD.又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC.即BG=CG.在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL.在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
17.【答案】b(a+3)(a−3)
【解析】解：a2b−9b
=b(a2−9)
=b(a+3)(a−3)．
故答案为：b(a+3)(a−3)．
首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
18.【答案】0
【解析】【分析】
此题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，熟练掌握法则是解题关键，并注意运用整体思想．
先将已知化简得：x2+5x=1，再将所求式子化简后，整体代入计算得出答案．
【解答】
解：∵(x+2)(x+3)=7，
∴x2+5x=1，
∴2−10x−2x2=−2(x2+5x)+2=−2×1+2=0，
故答案为：0．
19.【答案】3.5或6.5
【解析】解：如下图，

①当点M在BC上时，
∵△ABM′和△DCE全等，
∴BM′=CE=3，
由题意可得BM′=2t−4=3，
所以t=3.5(秒)；
②当点M在AD上时，
∵△ABM″和△CDE全等，
∴AM″=CE=3，
由题意得：AM″=16−2t=3，
解得t=6.5(秒)．
所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．
故答案为：3.5或6.5．
分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出BM=2t−4=3和AM=16−2t=3，即可求得答案．
本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
20.【答案】解：(1)原式=−1+1−94−8
=−414；
(2)原方程变形得1x−3=2−xx−3，
去分母得：1=2(x−3)−x，
去括号得：1=2x−6−x，
x=7，
经检验x=7是分式方程的解；
(3)原式=1−a−1a÷a2−1a2+2a
=1−a−1a⋅a(a+2)(a+1)(a−1)
=1−a+2a+1=a+1a+1−a+2a+1
=−1a+1，
要使原分式有意义，则a≠0，a≠1，a≠−1，a≠−2，
当a=2时，
原式=−12+1，a≠−2=−13．
【解析】(1)根据负指数幂、零指数幂以及乘方计算即可；
(2)去分母，化为整式方程，解出整式方程，再检验可得分式方程的解；
(3)先化简，再将有意义的a的值代入计算即可．
本题考查解实数的混合运算、分式方程和分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质和等式基本性质以及零指数幂及负指数幂的运算法则．
21.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1为所求图形；A1(−1,1)；
(2)S△ABC=3×3−12×3×1−12×2×1−12×2×3
=9−32−1−3
=72；
(3)如图：
找出A点关于x轴的对称点A′(1,−1)，
连接BA′，与x轴交点即为P，此时PA+PB的值最小，
由图可知，点P坐标为(2,0)．
【解析】【分析】
本题考查了轴对称变换、轴对称−最短路线问题；熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的对应点的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构用长方形面积减去三个直角三角形面积即可；
(3)找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P．
【解答】
解：(1)(2)见答案；
(3)作图见答案，
由图可知，点P坐标为(2,0)．
22.【答案】解：(1)把a−b=1两边平方，得(a−b)2=1，
化简，得a2+b2−2ab=1，
将a2+b2=9代入得9−2ab=1，解得ab=4；
(2)把a+1a=4两边平方，得(a+1a)2=16，
化简，得a2+1a2+2=16，即a2+1a2=14，
则(a−1a)2=a2+1a2−2=14−2=12．
【解析】(1)把a−b=1两边平方，利用完全平方公式化简后将a2+b2=9代入计算即可求出ab的值；
(2)把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
在Rt△BDE与Rt△ADC中，
BE=ACDE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)，
(2)∵F为BC中点，
∴BF=CF，
在△BFE与△CFM中，
BF=CF∠BFE=∠CFMEF=FM，
∴△BFE≌△CFM(SAS)，
∴∠CBE=∠BCM，BE=MC，
∵Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠CAD=∠BCM，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BCM+∠ACD=90°，
即∠ACM=90°，
∴AC⊥MC．
【解析】(1)根据HL证明Rt△BDE≌Rt△ADC；
(2)根据SAS证明△BFE≌△CFM，得到∠CBE=∠BCM，BE=MC，由(1)得∠CBE=∠CAD，再利用直角三角形的两锐角互余得出AC⊥MC．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设足球的单价为x元，则篮球的单价为(x+20)元，
依题意得：480x+20=320x，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
∴x+20=40+20=60．
答：足球的单价为40元，篮球的单价为60元．
(2)设购买足球y个，则购买篮球(40−y)个，
依题意得：30y≥48015(40−y)≥35040y+60(40−y)≤2100，
解得：16≤y≤503．
又∵y为正整数，
∴y=16，
∴共1个购买方案，购买足球16个，篮球24个．
【解析】(1)设足球的单价为x元，则篮球的单价为(x+20)元，利用数量=总价÷单价，结合用480元单独购进篮球的个数与320元单独购进足球的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出足球的单价，再将其代入(x+20)中即可求出篮球的单价；
(2)设购买足球y个，则购买篮球(40−y)个，根据“每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球，且投入的经费不超过2100元”，即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出购买方案．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25.【答案】解：(1)∠AOC=∠ODC，
理由：∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC+∠OCA
=12(∠BAC+∠BCA)
=12(180°−∠ABC)，
∵∠OBC=12∠ABC，
∴∠AOC=180°−(∠OAC+∠OCA)
=90°+12∠ABC=90°+∠OBC，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD=90°，
∴∠ODC=90°+∠OBD，
∴∠AOC=∠ODC；
(2)①证明：∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF=12∠ABE=12(180°−∠ABC)
=90°−∠DBO，
∵∠ODB=90°−∠OBD，
∴∠FBE=∠ODB，
∴BF//OD；
②解：∵BF平分∠ABE，
∴∠FBE=12∠ABE=12(∠BAC+∠ACB)，
∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠FCB=12∠ACB，
∵∠F=∠FBE−∠BCF
=12(∠BAC+∠ACB)−12∠ACB
=12∠BAC，
∵∠F=35°，
∴∠BAC=2∠F=70°．
【解析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
(1)根据角平分线的定义得到∠OAC+∠OCA=12(180°−∠ABC)，∠OBC=12∠ABC，由三角形的内角和得到∠AOC=90°+∠OBC，∠ODC=90°+∠OBD，于是得到结论；
(2)①由角平分线的性质得到∠EBF=90°−∠DBO，由三角形的内角和得到∠ODB=90°−∠OBD，于是得到结论；
②由角平分线的性质得到∠FBE=12(∠BAC+∠ACB)，∠FCB=12ACB，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
26.【答案】解：(1)①AE=BF
②证明：在BE上截取BG=BD，连接DG，
∵∠EBD=60°，BG=BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG=CD，
∵DE=DF，∴∠E=∠F．
又∵∠DGB=∠DBG=60°，
∴∠DGE=∠DBF=120°，
在△DGE与△DBF中，∠E=∠F∠EGD=∠FBDDG=BD，
∴△DGE≌△DBF，
∴GE=BF，
∴AE=BF+CD；

(2)如图3，连接DG，
由(1)知，GE=BF，AG=CD，
∴AE=EG−AG；
∴AE=BF−CD，
如图4，连接DG，
由(1)知，GE=BF，AG=CD，
∴AE=AG−EG；
∴AE=CD−BF．
【解析】解：(1)①如图1，∵BA=BC，∠EBD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=60°，
∴∠EAD=∠FBD=120°，
∵DE=DF，
∴∠E=∠F，
在△AEC与△BCF中，∠E=∠F∠EAD=∠FBDAD=BD，
∴△ADE≌△BDF，
∴AE=BF；
故答案为：AE=BF；
②见答案
(2)见答案
【分析】(1)①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=60°，由邻补角的性质得到∠EAD=∠FBD=120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG=BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG=CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE=BF，根据线段的和差即可得到结论；
(2)如图3，连接DG，由(1)知，GE=BF，AG=CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由(1)知，GE=BF，AG=CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．方法一
方法二
∵a+b=5，
∴(a+b)2=25，
∴a2+2ab+b2=25．
∵ab=3，
∴a2+b2=25−2ab=25−6=19．
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab．
∵a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=25−6=19．