2022-2023学年河北省张家口市张北三中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省张家口市张北三中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  二次根式有意义，则应满足的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  式子成立的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知在中，且，，则(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.  下列命题的逆命题是真命题的是(    )

A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等
C. 若，则 D. 两直线平行，同位角相等

6.  下列计算，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  下列命题是真命题的是(    )

A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形

8.  在平行四边形中，，已知对角线、相交于，且，，则平行四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(    )

A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分

10.  如图，在平面直角坐标系内，四边形为菱形，点，的坐标分别为，，点，分别在坐标轴上，则菱形的周长等于(    )

A.  B.  C.  D.

11.  在中，、分别是、的中点，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  在矩形中，对角线、交于点，，垂足为，，且：：，则矩形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

13.  四边形是正方形，为上一点，连接，过作于，且，则正方形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

14.  如图以、、为边作一个，其中，分别以各边为边向外作三个正方形、正方形、正方形，面积分别为、、，其中、、在同一直线上，、、三点在同一条直线上，连接、，过作，垂足为，交于，嘉淇在用本图证明勾股定理时，下列结论不成立的是(    )

A. ≌ B.
C.  D.

15.  如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，为中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，的长度将(    )

A. 变大
B. 变小
C. 不变
D. 先变大后变小

16.  如图，要在平行四边形内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接，作的中垂线交、于、，则四边形是菱形；
乙：分别作与的平分线、，分别交于点，交于点，则四边形是菱形．
对于甲、乙两人的作法，可判断(    )

A. 甲正确，乙错误 B. 甲错误，乙正确 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

17.  在实数范围内分解因式：______．

18.  如图，两条宽都为的纸条交叉成角重叠在一起，则重叠四边形的面积为______．

19.  如图，以边长为的正方形的四边中点为顶点作一个四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作第个四边形，，依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为        ，所作第个四边形的周长为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：
；
．

21.  本小题分
先化简，再求值：
其中为图中数轴上的点表示的实数，为最小的非负数．

22.  本小题分
如图，在中，、分别为、的中点，过点作交的延长线于点．
求证：四边形为平行四边形；
若，求的长．

23.  本小题分
已知、、满足．
求、、的值．
以、、为三边能否构成三角形？若能，求出它的周长；若不能，请说明理由．

24.  本小题分
如图，四边形中，，，、分别是、的中点，
请你猜测与的位置关系，并给予证明；
当，时，求的长．
 

25.  本小题分
如图，在菱形中，对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
求证：≌；
判定四边形的形状并说明理由．

26.  本小题分
【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，并延长到点，使，连接若，则，，之间的数量关系为        ；
【类比探究】如图，当点在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】如图，在中，，，在上，，若的面积为，，请直接写出的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可列出不等式求解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，当，，故错误，不符合题意；
选项，所以正确，符合题意；
选项，当时，，所以错误，不符合题意；
选项，所以错误，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质进行化简即可．
本题主要考查二次根式的性质，熟练运用二次根式的性质进行化简是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
故选：．
利用二次根式的性质得到不等式组，求解即可得到答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
是斜边，
．
故选：．
先判断出斜边，用勾股定理求解即可．
本题考查的是勾股定理的应用问题，能熟练利用勾股定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
选项的逆命题是相等的角是対顶角，是假命题，故A不符合题意；
选项的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，故B不符合题意；
选项的逆命题是若，则，是假命题，故C不符合题意；
选项的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，故D符合题意．
故选：．
根据逆命题定义写出各项逆命题逐个判断即可得到答案．
本题考查命题真假的判断及写逆命题，解题的关键是写出各个选项的逆命题．
 

6.【答案】 

【解析】解：、不是同类二次根式，不能合并，故不合题意；
B、，故错误，故不合题意；
C、，故正确，故符合题意；
D、，故错误，故不合题意，
故选：．
根据二次根式的加减法运算法则分别判断即可．
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则和平方差公式是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：选项有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以此项错误，不符合题意；
选项有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此项错误，不符合题意；
选项对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以此项错误，不符合题意；
选项对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以此项正确，符合题意．
故选：．
根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的的判定定理判断即可．
本题主要考查平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
四边形的面积为：．
故选B．

先证明四边形是菱形，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理的逆定理，证明四边形是菱形是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
【解答】
解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：点，的坐标分别为，，
，，
，
菱形的周长等于．
故选：．
根据题意和勾股定理可得长，再根据菱形的四条边都相等，即可求出菱形的周长．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点．
是的中位线，
，
，
，
．
故选：．

根据三角形的中位线等于第三边的一半得，从而求出．
本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，
：：，
，
，
在矩形中，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
．
故选：．
利用矩形的性质以及：：，结合勾股定理列方程求出长，再利用矩形对角线的性质求出面积．
本题主要考查矩形的性质以及勾股定理，利用矩形的性质以及勾股定理列方程是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
负值舍去，
正方形的周长为．
故选：．
先由度角的性质得出和的关系，再由勾股定理求出的长，进而可求出．
本题考查了正方形的性质，含度角的直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：正方形、正方形，
，，，
，
≌，故正确；

B.中，
，
，故正确；
C.≌，
，
，
，
，故正确；
D.，，
，
若，则，
，
不一定成立，故不正确．
故选：．
根据可证明≌；根据勾股定理可求出；证明可证；用反证法可证不正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，为的中点，，
是的中线，
，
梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变，
的长度也不变，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得出结果．
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，垂直平分，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
而，
，
，
四边形是菱形；所以甲正确；
如图，平分，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
同理可得，
，
而，
四边形是平行四边形，
而，
四边形是菱形，所以乙正确．
故选：．
如图，利用垂直平分线的性质得到，，则，再根据平行线的性质得到，所以，根据等腰三角形的判定方法得到，所以，从而可判断所以甲正确；如图，利用角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，所以，则，同理可得，所以，则可判断四边形是菱形，从而判断乙正确．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．
 

17.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
先提取公因式后，再把剩下的式子写成，符合平方差公式的特点，可以继续分解．
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，过点作于，
由题意可得，，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是菱形，
，，
，
，
，
即重叠四边形的面积为，
故答案为：．
过点作于，过点作于，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，求出的长是解题的关键．
 

19.【答案】  

【解析】解：由题意可知：得到的四边形都是正方形，
根据勾股定理得，
第一个四边形的边长为：，周长为：，
第二个四边形的边长为：，周长为：，
第三个四边形的边长为：，周长为：，
，
故第个四边形的边长为：，周长为：，
故第个四边形的周长为：，
故答案为：，．
根据正方形的性质以及三角形中位线定律，求出第二个，第三个的周长，从而发现规律，即可求出第个四边形的周长，据此即可求解．
本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，图形类规律探究，以及正方形的周长的求法，根据已知得出规律是解题关键．
 

20.【答案】解：

．



． 

【解析】先逐项化简，再合并同类二次根式即可；
先根据乘法法则和完全平方公式计算，再算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适用．
 

21.【答案】解：



，
因为从数轴表示数知：，
由于是最小的非负数，
，
所以原式． 

【解析】先计算括号内的，再计算除法，然后根据数轴和勾股定理可得的值，再由为最小的非负数，可求的值，然后代入，即可求解．
本题主要考查了分式的化简求值，勾股定理，实数与数轴，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
 

22.【答案】证明：、分别为、的中点，
为的中位线，
，
即，
又，
四边形为平行四边形；
解：由得：为的中位线，
，
又四边形为平行四边形，
，
． 

【解析】先证为的中位线，得，再由，即可得出结论；
由三角形中位线定理得，再由平行四边形的性质得，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
，，，
；
，
以、、为三边能构成三角形，
它周长为：． 

【解析】利用完全平方式，二次根式以及绝对值的非负性进行判断即可；
利用三角形三边关系进行判断并计算周长即可．
本题主要考查三角形三边关系及非负数的性质，熟知三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边是解题的关键．
 

24.【答案】解：理由如下：
连接、，

，为中点，
，
，为中点，
，
，
是中点，
；
，，、分别是、的中点，
由得，，
，
． 

【解析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中档题．
结论：利用直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质即可解决问题．
利用的结论，求出、的长，在中，利用勾股定理即可解决问题．
 

25.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中

≌．
解：四边形为矩形．
理由：≌，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
，
即，
平行四边形为矩形． 

【解析】利用全等三角形的判定定理即可．
先证明四边形为平行四边形，再结合，即可得出结论．
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：【观察猜想】四边形为正方形，
，，
，
≌，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为：；
【类比探究】，理由如下：
如图，在上截取，连接．

四边形为正方形，
，，
，
≌，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
【拓展应用】如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，

，，，
，
，
，
≌，
，
在中，，
，
由旋转得，
，
是直角三角形，
，
，
，
的面积为，
．
【观察猜想】证明≌，可得，，根据正方形的性质求出，再证≌，可得，则，即可得出答案；
【类比探究】在上截取，连接证明≌，可得，，根据正方形的性质求出，再证≌，可得，则，即可得出答案；
【拓展应用】如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，，，证明≌，则，由，可得是直角三角形，由可得，根据的面积为即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的面积，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度．