2022-2023学年河北省保定七中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省保定七中八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，两个三角形是全等三角形，的值是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若成立，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  对于，，从左到右的变形，表述正确的是(    )

A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算
C. 是因式分解，是乘法运算 D. 是乘法运算，是因式分解

8.  将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若，则下列分式化简正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若关于的分式方程的解为，则值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  在解分式方程时，去分母后变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  如图，利用尺规作的平分线，作法如下：以点为圆心，以为半径画弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧在的内部交于点；画射线，射线就是的平分线则，需要满足的条件是(    )

A. ，均无限制 B. ，的长度
C. 有最小限制，无限制 D. ，的长度

13.  若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 不存在

14.  (    )

A.  B.  C.  D.

15.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

16.  现有一张纸片，，，有甲、乙两种剪拼方案，如图，所示将它们沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则(    )

 

A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲不可以、乙可以 D. 甲可以、乙不可以

二、填空题（本大题共3小题，共11.0分）

17.  若，则 ______ ．

18.  现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片边长如图．

取甲、乙纸片各块，其面积和为______．
嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片块，再取乙纸片块，还需取丙纸片______块．

19.  如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，，连接．
当， ______ ；
当 ______ 度时，是等腰三角形．

三、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：；
计算：；
解方程：；
解方程：．

21.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

22.  本小题分
发现：任意三个连续偶数的平方和是的倍数．
的结果是的几倍？
设三个连续偶数的中间一个为，写出它们的平方和，并说明是的倍数；
任意三个连续整数的平方和，设中间一个为，被除余数是几？请直接写出结果．

23.  本小题分
如图，在中，，，是边上的中线，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点．
求证：≌；
若，求的长．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中．
请画出关于轴对称的，并写出、的坐标；
直接写出的面积： ______ ；
在轴上找到一点，使为等腰三角形，这样的点有个，直接写出的值．

25.  本小题分
某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少元，且用元买这种本子的数量与用元买这种笔的数量相同．
求这种笔和本子的单价；
该同学打算用自己的元压岁钱购买这种笔和本子，计划元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．

26.  本小题分
如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接．

如图，直接写出点坐标；
如图，当点在线段不与重合上，连接，作等腰直角，，连接，求证：；
在的条件下：
若、、三点共线，直接写出此时的度数及点坐标．
直接写出面积的最小值和此时的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：故选B．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答．
本题主要考查了同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】
解：，

两个三角形是全等三角形，和所对边长都为，
，即，
故选A．  

4.【答案】 

【解析】解：
故选D．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

5.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
同分母分式相加，分母不变，分子相加，进行计算即可．
本题考查分式的加减．熟练掌握同分母分式相加，分母不变，分子相加，是解题的关键．注意结果要化为最简分式或整式．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意，得：，
；
故选：．
根据，进行求解即可．
本题考查零指数幂．熟练掌握，是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．
【解答】
解：，从左到右的变形是因式分解；
，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以是因式分解，是乘法运算．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：根据直角三角板，，，
，
，
，
故选：．
根据直角三角板，，，再根据角的和差关系可得的度数，再利用三角形内角和为计算出的度数．
此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为，正确计算出的度数．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，故选项A错误，不符合题意；
当，时，，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质和各个选项中的式子，可以判断是否正确，本题得以解决．
本题考查分式的基本性质，属于基础题，灵活运用分式的基本性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查分式方程的解，解题的关键是明确题意，用代入法求的值．
【解答】

解：分式方程的解为，
，
解得．
故选C．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】
解：两边都乘以，得：，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：由角平分线的作图可知：
以点为圆心，任意长为半径画弧，可知：；
分别以点，为圆心，以的长度为半径画弧，可知：的长度．
故选：．
根据角平分线的作法，进行判断即可．
本题考查角平分线的作图．熟练掌握角平分线的作图方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
且，
解得：．
故选：．
点拨：直接利用分式的值为零，则分子为零分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据个相加得，再根据幂的乘方运算法则即可求解．
本题考查乘法的意义，幂的乘方运算等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
检验：当时，分式方程分母不为，所以是原分式方程的解．
故选：．
去分母，再解方程即可．
本题考查了分式方程的解法，解题关键是不用漏掉分式方程根的检验．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，将移至处，移至处，四边形移至处，即可得到一个与原来面积相等的正方形；

如图，将，，分别移至处，即可得到一个与原来面积相等的正方形；

甲、乙方案都可以，
故选：．
如图，将移至处，移至处，四边形移至处，即可得到一个与原来面积相等的正方形；如图，将，，分别移至处，即可得到一个与原来面积相等的正方形．
本题考查了图形的剪拼以及正方形的性质，解答本题的关键是根据题意作出图形．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
把代入得：，
故答案为：．
根据，得出，然后整体代入计算即可求出值．
本题主要考查了求代数式的值，注意运用整体代入思想是解题的关键．
 

18.【答案】 
 

【解析】解：甲纸片的面积是，乙纸片的面积是，
甲、乙纸片各块的面积之和是，
故答案为：；
甲纸片块和乙纸片块的面积之和为：，
且是完全平方式，
要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片块，
故答案为：．
分别求两个正方形面积再求它们的和；
根据完全平方式结构构造完全平方式即可．
此题考查了完全平方式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形和完全平方式的结构准确列式、构造求解．
 

19.【答案】  或或 

【解析】解：≌，
，
，
是等边三角形，
，
≌，，
，
；
≌，
，
是等边三角形，
，，
；
当时，，
；
当时，，
；
当时，，
，
当或或时，是等腰三角形．
根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，再根据全等可得，继而得到为，即可求解；
根据题中所给的全等及的度数可得的度数，进而得到的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题的关键．
 

20.【答案】解：

；



；
，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
化系数为得：，
检验：当时，，
所以是方程的解；
，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
检验：当时，，
所以是方程的解． 

【解析】按照多项式乘多项式去括号合并即可；
运用平方差、完全平方差公式去括号然后合并即可；
去分母、去括号、移项合并、化系数为，并检验；
去分母、去括号、移项合并、化系数为，并检验．
本题考查了整式的化简和分式方程求解，掌握整式的乘法法则和公式去括号，正确求解分式方程并检验是解题的关键．
 

21.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

22.【答案】解，
所以是倍；
设三个连续偶数的中间一个为，则另外两个偶数分别为和，
平方和为：


，
其平方和是的倍数；
设中间一个为，则另外两个偶数分别为和，
平方和为：

，
其被除余数是． 

【解析】直接计算即可求解；
设三个连续偶数的中间一个为，则另外两个偶数分别为和，求出它们的平方和，再进行因式分解即可解答；
设中间一个为，则另外两个数分别为和，计算即可解答．
本题考查整式的混合运算、完全平方公式，字母表示数和因式分解，正确用含的式子表示数是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，，
．
．
在和中，
，
≌；

解：，
，
是中线，
，
由已证：≌，
． 

【解析】先根据直角三角形的性质、垂直的定义可得，再根据定理即可得证；
先根据线段中点的定义可得，再根据全等三角形的性质即可得．
本题考查了直角三角形的两个锐角互余、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

连接，，
故答案为：；

如图，当时，点在位置；
当时，点在，位置；
当时，点在位置．
点共有个，即．

利用关于轴对称的点的坐标特征确定点、即可；
利用割补法求面积即可；
根据等腰三角形的定义作出图形，即可得到的值．
此题考查了轴对称作图，等腰三角形的定义，求网格中图形的面积，正确理解轴对称的性质作出图形是解题的关键．
 

25.【答案】解：设本子单价为元，则笔的单价为元，
则有，
解得，
检验时，，
分式方程的解为，
，
答：本子单价为元，笔单价为元；

设购买了个本子，个笔都是正整数．
则有，
，
，为正整数，
或，
方案一：购买个本，个笔，
方案二：购买个本，个笔，
答：方案一：购买个本，个笔，方案二：购买个本，个笔． 

【解析】首先设本子单价为元，则笔的单价为元，根据题意可得等量关系：元买这种本子的数量等于元买这种笔的数量，由等量关系可得方程，再解方程可得答案；
设恰好用完元，可购买购买了个本子，个笔，根据题意可得，再求出整数解即可．
本题考查分式方程的应用；二元一次方程的应用；解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程．
 

26.【答案】解：作轴于，则，

，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点坐标为；
证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解：是等腰直角三角形，
，
当、、三点共线时，，
由可知，≌；
，
，
，
点坐标为；
是等腰直角三角形，
，
当最短时即点于点重合时，面积最小，
又，
，
，
，
．
 

【解析】设轴于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，求出，即可得到点坐标；
证明≌，根据全等三角形的性质得到；
根据、、三点共线，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，即可得到点坐标；由等腰直角三角形的性质和垂线段最短，可得当最短时即点于点重合时，面积最小，再根据计算求解即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，两点间的距离，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．