适用于新教材2023版高中数学第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积教师用书新人教A版必修第二册

8.3　简单几何体的表面积与体积8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的________. 2.棱柱、棱锥、棱台的体积3.棱柱、棱锥、棱台体积之间有何内在关系?【基础巩固组】一、单选题1.正方体的表面积为96,则正方体的体积为 (　　)A.48　　B.64　　C.16　　D.962.(教材改编题)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是 (　　)A.a2 B.a2C.a2 D.a23.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,体对角线的长是2,则这个长方体的体积是 (　　)A.6 B.12 C.24 D.484.在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中,三棱锥B-AB1C1的体积为 (　　)A. B. C. D.二、多选题5.下列说法正确的有 (　　)A.多面体的表面积等于围成多面体的各个面的面积之和B.棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的C.沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等D.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和6.三棱柱的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积可能为 (　　)A. B. C.2 D.4三、填空题7.已知一个正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,那么它的体积为________. 8.如图,一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体,若该几何体的体积为60,则挖去的正四棱柱的底边边长为________,该几何体的表面积为________. 四、解答题9.如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.10.如图,正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截,得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比;(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm,小棱锥的底面边长为4 cm,求截得的棱台的侧面面积和表面积.【素养提升组】一、选择题1.过棱锥各侧棱中点的截面将棱锥分成上下两部分,则这两部分的体积之比为 (　　)A.2∶5 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶72.开尔文胞体是一种多面体,它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形),已知该多面体共有24个顶点,且棱长为2,则该多面体的表面积是(　　)A.24(+1) B.24+6C.48+24 D.16+8二、填空题3.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为8 cm和18 cm,侧棱长为13 cm,则这个正四棱台的侧面积为________cm2,表面积为________cm2. 4.(教材改编题)如图1,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图2,这时水面恰好为中截面,则水的体积为________,图1中容器内水面的高度是________. 三、解答题5.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.6.用硬纸做一个体积为32,高为2的长方体无盖纸盒,这个纸盒的长、宽各为多少时,表面积最小?并求出最小值.8.3　简单几何体的表面积与体积8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积必备知识·落实1.和2.底面积　高　底面积　高　上、下底面面积　高3.棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系:知能素养·进阶【基础巩固组】1.B　设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,所以正方体的体积为43=64.2.A　因为侧面都是等腰直角三角形,故侧棱长等于a,所以S表=a2+3××=a2.3.D　设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x,2x,3x,又体对角线长为2,则x2+(2x)2+(3x)2=(2)2,解得x=2.所以三条棱长分别为2,4,6.所以V长方体=2×4×6=48.4.A　如图所示,正方体ABCD -A1B1C1D1中,棱长AB=1,则三棱锥B-AB1C1的体积为:==××B1C1=××1×1×1=.5.AD　A正确.多面体的表面积等于围成多面体的侧面积与底面积之和.B错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形.C错误.由于剪开的棱不同,同一个几何体的表面展开图可能不相同.但是,不论怎么剪,同一个多面体表面展开图的面积是一样的.D正确.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和.6.BD　由题意可知该三棱柱为正三棱柱,因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,所以有如下两种情况:(1)6是底面周长,4是三棱柱的高,此时底面积S=×2×=,体积V=Sh=4;(2)4是底面周长,6是三棱柱的高,此时底面积S=××=,体积V=Sh=.7.【解析】因为正六棱锥的高h==2,所以V=Sh=×6××2=.答案:8.【解析】设正四棱柱的底面边长为m,则4(42-m2)=60,解得m=1,所以该几何体的表面积为42×4+(42-12)×2+4×1×4=110.答案:1　1109.【解析】由题图易知=,因为=EA1·A1D1=a2,又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a,所以=×a×a2=a3,所以=a3.10.【解析】(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧=1∶4,则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧=4∶1∶3.(2)如图所示,因为小棱锥的底面边长为4 cm,所以大棱锥的底面边长为8 cm,又PA=12 cm,所以A1A=6 cm.又梯形ABB1A1的高h'==4(cm),所以S棱台侧=6××4=144(cm2),所以S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底=144+24+96=(144+120) cm2【素养提升组】1.D　过棱锥各侧棱中点的截面将棱锥分成上下两部分,以三棱锥为例如图所示:因为△EFG与△BCD的相似比为1∶2,则S△EFG=S△BCD,而棱锥A-EFG与棱锥A-BCD的高也是1∶2.所以VA-EFG∶VA-BCD=1∶8,即有VA-EFG∶VEFG-BCD=1∶7.2.C　边长为2的正方形的面积为2×2=4,正六边形的面积为6××2×2×=6.又正方形有4个顶点,正六边形有6个顶点,该多面体共有24个顶点,所以该多面体共有=6个正方形,有=8个正六边形.所以该多面体的表面积S=8×6+6×4=48+24.3.【解析】由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h==12(cm),所以S侧=4××(8+18)×12=624(cm2),S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),于是表面积为S=624+64+324=1 012(cm2).答案:624　1 0124.【解析】在题图2中,水所占部分为四棱柱.四棱柱底面积为S=×a2×sin 60°-××sin 60°=a2,高为2a,体积为V=a2×2a=a3,设题图1中水高度为h,则V=×a2×sin 60°×h=a3,解得h=a.答案:a3　a5.【解析】如图,连接EB,EC,AC.V四棱锥E-ABCD=×42×3=16.因为AB=2EF,EF∥AB,所以S△EAB=2S△BEF.所以V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB=V三棱锥C-ABE=V三棱锥E-ABC=×V四棱锥E-ABCD=4.所以多面体的体积V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC=16+4=20.6.【解析】设底面矩形的长为x,则宽为,记所求表面积为S,则S=16+2×2x+2×2×=16+4x+,因为x>0,所以4x+≥2=32,即S≥32+16=48,当且仅当4x=,即x=4时取等号,此时宽也为4.所以当这个纸盒的长为4、宽为4时,表面积最小,最小值为48.体积说明棱柱V棱柱=ShS为棱柱的________,h为棱柱的________ 棱锥V棱锥=ShS为棱锥的________,h为棱锥的________ 棱台V棱台=(S'++S)hS',S分别为棱台的________________,h为棱台的________