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适用于新教材2023版高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.5平面向量数量积的坐标表示教师用书新人教A版必修第二册
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6.3.5 平面向量数量积的坐标表示1.平面向量数量积的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.则:(1)a·b= ; (2)|a|2= ,或|a|= ; (3)a⊥b⇔ ; (4)若a,b为非零向量,则cosθ== . 2.向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别?一、单选题1.(教材改编题)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=24,则x等于 ( )A.6 B.2C.4 D.32.已知向量a=(2,-1),b=(3,-2),c=(1,m),若(a-b)⊥c,则|c|= ( )A.1 B.C. D.23.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=2,D为BC的中点,E,F都在线段AB上,且AE=EF=FB,则·= ( )A. B.C.-2 D.24.已知向量a=,b=,且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是 ( )A.B.C.D.∪二、多选题5.已知两个非零向量a,b满足2a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),则下列结论中正确的是 ( )A.a=(1,3) B.b=(3,2)C.a·b=-1 D.a+b=(4,5)6.设向量a=(1,-1),b=(2,0),则下列结论中成立的有( )A.|a-b|=|a|B.(a-b)∥aC.(a-b)⊥aD.a在b上的投影向量为(1,0)三、填空题7.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则x+y= . 8.已知向量a,b满足a=(-1,1),|b|=2|a|,且a·b=1,则a,b夹角的余弦值为 . 四、解答题9.(教材改编题)已知向量a=(1,1),b=(-3,4).(1)求的值;(2)求向量a与a-b夹角的余弦值.10.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.一、选择题1.(教材改编题)已知A(2,1),B(3,2),C(-1,4),则△ABC是 ( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形2.(多选题)设向量a=,b=,则下列叙述错误的是 ( )A.若k<-2,则a与b的夹角为钝角B.的最小值为2C.与b共线的单位向量只有一个为,-D.若=2,则k=2或-2二、填空题3.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是 . 4.已知点P(1,1),O为坐标原点,点A,B分别在x轴和y轴上,且满足PA⊥PB,则(+)·= ,|+|的最小值为 . 三、解答题5.设平面向量a=(cosα,sin α)(0≤α<2π),b=-,.(1)求证:向量a+b与a-b垂直;(2)若向量a+b与a-b的模相等,求角α.6.已知A(3,2),B(-2,1),C(1,-1)且=-2.(1)证明:△ABC是等腰直角三角形;(2)求cos∠APC.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示必备知识·落实1.(1)x1x2+y1y2 (2)+ (3)x1x2+y1y2=0 (4)2.向量垂直与向量平行的条件容易混淆,注意以下特点:知能素养·进阶【基础巩固组】1.B 由题意得8a-b=(6,3),c=(3,x),所以(8a-b)·c=18+3x=24,解得x=2.2.B 由题设可得a-b=(-1,1),因为(a-b)⊥c,故-1×1+1×m=0,解得m=1,所以c=(1,1),故|c|=.3.A 如图,建立平面直角坐标系,则D(0,1),E,F,所以=,=,所以·=2×1-×=2-=.4.D a与b的夹角为锐角,,解得k>-且k≠2,即k的取值范围是∪(2,+∞).5.AC 因为2a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),所以5a=2(4,5)+(-3,5)=(5,15),所以a=(1,3),所以b=(4,5)-2(1,3)=(2,-1),所以a·b=2-3=-1,a+b=(3,2).6.ACD 因为a=(1,-1),b=(2,0),所以a-b=(-1,-1),对A:|a-b|=,|a|=,所以|a-b|=|a|,故A正确;对B:因为1×(-1)-(-1)×(-1)=-2≠0,所以a-b与a不平行,故B错误;对C:(a-b)·a=-1+1=0,所以(a-b)⊥a,故C正确;对D:a在b上的投影为==1,则a在b上的投影向量为(1,0),故D正确.7.【解析】因为向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,所以a·c=2x-4=0,得x=2,1×(-4)=2y,解得y=-2,所以x+y=2-2=0.答案:08.【解析】由题意得|a|=,|b|=2,a·b=1,设a,b夹角为θ,则cosθ===.答案:9.【解析】(1)因为a-b=(4,-3),所以|a-b|=5;(2)由(1)知a·(a-b)=·=1×4+1×=1,=,|a-b|=5,所以cos===.10.【解析】因为=(4,0)-(1,2)=(3,-2),=(8,6)-(5,8)=(3,-2),所以=,所以四边形ABCD是平行四边形.因为=(5,8)-(1,2)=(4,6),所以·=3×4+(-2)×6=0,所以⊥,所以四边形ABCD是矩形.因为||=,||=2,||≠||,所以四边形ABCD不是正方形.综上,四边形ABCD是矩形.【素养提升组】1.B 由已知=(1,1),=(-3,3),所以cosA===0,则A=,所以△ABC是直角三角形.2.CD 对于选项A,若a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a与b不共线,则k-2<0且-k≠2,解得k<2且k≠-2,故选项A正确,不符合题意;对于选项B,=≥2,当且仅当k=0时,等号成立,故选项B正确,不符合题意;对于选项C,=,与b共线的单位向量为±,即与b共线的单位向量为,-或-,,故选项C错误,符合题意;对于选项D,=2=2,即=2,解得k=±2,故选项D错误,符合题意.3.【解析】以A为坐标原点,AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1).可设F(x,2),因为·=(,0)·(x,2)=x=,所以x=1,所以·=(,1)·(1-,2)=.答案:4.【解析】设A(a,0),B(0,b),则=(a-1,-1),=(-1,b-1),因为PA⊥PB,所以·=(a-1)×(-1)+(-1)×(b-1)=0,所以a+b=2,则(+)·=(a-2,b-2)·(-1,-1)=4-(a+b)=2,|+|====,所以当a=1时,|+|取得最小值.答案:2 5.【解析】(1)由题意,知a+b=,a-b=cosα+,sin α-.所以(a+b)·(a-b)=cos2α-+sin2α-=0,所以(a+b)⊥(a-b).(2)易得|a|=1,|b|=1.由题意,知(a+b)2=(a-b)2,化简得a·b=0,所以-cos α+sin α=0,所以tan α=.又0≤α<2π,所以α=或α=.6.【解析】(1)由题意得=(2,3),=(-3,2),因为·=0,所以CA⊥CB,所以△ABC是直角三角形,又因为||==,||==,所以||=||,所以△ABC是等腰直角三角形.(2)设点P(x,y),则=(x-3,y-2),=(-2-x,1-y),因为=-2,所以x-3=4+2x且y-2=2y-2,解得x=-7,y=0,所以P(-7,0),所以=(8,-1),=(10,2),所以·=78,||=,||=2,所以cos∠APC==.项目坐标表示记忆口诀垂直a⊥b⇔x1x2+y1y2=0对应相乘和为0平行a∥b⇔x1y2-x2y1=0交叉相乘差为0
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