四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学
命题人：王治蓉 审题人：杜敏
（总分：150分 时间：120分钟）
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得解；
【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离；
故选：A
2. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】A
【解析】
【分析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.
【详解】解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：A.
3. 如图，在平行六面体中，设，，，则与向量相等的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的运算，用基向量表示即可.
【详解】因为,
所以.
故选：C.
4. 若光线从点射到y轴上，经y轴反射后经过点，则光线从点P到点Q走过的路程为
A 10B. 5＋
C 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】关于y轴的对称点，易知光线从点P到点Q走过的路程为.
【详解】找到Q点关于y轴的对称点，
由对称性可知P，Q间距离等于间的距离，
求得.
所以本题选C.
【点睛】本题考查求点关于y轴的对称点问题和两点间的距离公式，要求熟记公式，掌握数形结合的思想运用，属基础题.
5. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件“恰有一枚骰子的点数为偶数”，则（ ）
A. B.
C. A与B互为对立事件D. A与B互为互斥但不对立事件
【答案】C
【解析】
【分析】计算出事件的概率可判断A，B；由对立事件的概念可判断C，D.
【详解】因为事件“两枚骰子的点数之和为偶数”，
即事件包括两枚骰子的点数之和为偶数分为两枚骰子都为奇数和偶数，
，
事件“恰有一枚骰子的点数为偶数”，
即事件为两枚骰子一枚为奇数，一枚偶数，即两枚骰子的点数之和为奇数.
所以，
所以A与B互为对立事件，且
故A，B，D错误；C正确.
故选：C.
6. 已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于、两点，且，则抛物线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心，为半径的圆，那么中，利用勾股定理求解.
【详解】由题意可知通径，所以圆的半径是，
在中，，，解得：，
所以抛物线方程：
故选：B
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是根据抛物线和圆的几何性质抽象出数学等式，属于基础题型.
7. 已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第二象限内一点，若渐近线垂直平分线段，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据右焦点到渐近线的距离为，依题意，再根据双曲线的定义得到关系，从而得到离心率.
【详解】
到渐近线的距离为，
因为渐近线垂直平分线段，所以，
又因为，据双曲线的定义知：，即，
所以，
故选：A.
8. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆的焦点为，过作直线交椭圆于两点，若弦是圆的一条直径，则椭圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆的对称性可得中点坐标，并由两点连线斜率公式求得；利用点差法可结合中点坐标构造关于的方程，结合可求得，进而得到椭圆面积.
【详解】弦是圆的一条直径，中点坐标为，
又直线过点，，
设，
由得：，即，
又，，，
，又，，，
，，椭圆的面积.
故选：C.
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据直线方向向量、平面法向量定义，结合向量间的位置关系判断线线、线面、面面关系即可.
【详解】A：由题设，对；
B：由题设，或，错；
C：由题设，对；
D：由题设，对.
故选：ACD
10. 某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
分析】根据平均数、方差公式计算可得.
【详解】依题意，设男性人数为（），女性人数为，
该单位全体人员体重的平均数为：，
所以该单位全体人员体重的方差为：．
故选：AD
11. 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. C的渐近线方程为
B. 若直线与双曲线C有交点，则
C. 点P到C的两条渐近线的距离之积为
D. 当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2
【答案】AC
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线方程可判断A，通过对比直线与双曲线的渐近线斜率之间的关系可求解B，结合点到直线的距离公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，结合双曲线方程化简可得定值，则D可判断.
【详解】双曲线，则，
对于A，C的渐近线方程为，A正确；
对于B，由双曲线的渐近线方程为可知，
若直线与双曲线C有交点，则，B错误；
对于C，设点，则，
点P到C的两条渐近线的距离之积为，C正确；
对于D，易得，，设，则，
所以直线PA，PB的斜率之积为，D错误．
故选：AC.
12. 下列四个命题表述正确的是（ ）
A. 倾斜角相等的两条直线，斜率也相等
B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1
C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则
D. 已知圆，点的坐标为，过点向圆引两条切线，为切点，则弦长度的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线倾斜角与斜率关系判断A，根据直线与圆的位置关系判断B，根据两圆外切判断C，根据切点弦的性质判断D即可.
【详解】当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故A错误；
因为圆心到直线的距离，而圆的半径为2，所以圆上存在三个点到直线距离为1，故B正确；
曲线可化为，即圆心为，半径，
曲线可化为，即圆心为，半径，两圆有3条公切线，故两圆外切，所以，
即，解得，故C正确；
因为点的坐标为，故点在直线上，圆心到直线的距离，如图，
因为垂直平分线段，
则，当取得最小值，即时，弦长度的最小值为，故D正确.
故选：BCD
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在答题卡中的横线上.）
13. 若直线与直线垂直，则a的值为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】直接由直线垂直的充要条件列出等式即可求解.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得，即a的值为2.
故答案为：2.
14. 已知点，直线l过点，且l的一个方向向量为则点P到直线l的距离为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算
【详解】易知，所以点P到直线l的距离为.
故答案为：
15. 已知Q为抛物线C：上的动点，动点M满足到点的距离与到点F（F是C的焦点）的距离之比为则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到点的轨迹，然后将的最小值转化为的最小值，根据垂线段最短得到当三点共线时，最小，然后求最小值即可.
【详解】
由题意得，等于点到准线的距离，
过点作垂直准线于点，则，
设动点，则，整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
所以，所以当四点共线时，最小，
故
故答案为：.
16. 已知椭圆：的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据角平分线定理求出的关系，根据定义得出，再由求解即可.
【详解】如图，根据椭圆对称性，假设点P在第一象限，
，，是的平分线，
，则，由，
可得，由，可得，由，
可得.
故答案为：
四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 某景点某天接待了1000名游客，其中老年500人，中青年400人，少年100人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：
（1）求抽取的样本老年、中青年、少年的人数；
（2）求频率分布直方图中a的值；
（3）估计当天游客满意度分值的分位数.
【答案】（1）50；40；10
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）由题意可先确定抽样比为，分别计算可求得结果；
（2）由频率分布直方图中所有小正方形面积为1，即可解得；
（3）由百分位数的定义计算即可得游客满意度分值的分位数为.
【小问1详解】
老年、中青年、少年的人数比例为，
故抽取100人，样本中老年人数为人，
中青年人数为人，
少年人数为人；
【小问2详解】
易知组距为10，由频率分布直方图可得，，
解得；
【小问3详解】
设当天游客满意度分值的分位数为，
因为，，
所以位于区间内，则，解得，
可知估计当天游客满意度分值的分位数为.
18. 设O为坐标原点，直线与抛物线C：交于A，B两点，若.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意分析可得，代入方程运算求解；
（2）根据题意可得，联立方程，利用韦达定理结合抛物线的定义分析求解.
【小问1详解】
因为与抛物线交于A，B，且，
根据对称性可得 ，
，
代入得，解得，
所以抛物线C的方程.
【小问2详解】
由（1）知抛物线的焦点为，
可知直线的方程为 ，设，，
联立方程，消去y得，
则，可得，
所以.

19. 已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程.
（2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程.
【小问1详解】
.
直线的斜率为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
设圆的标准方程为，
则，
所以圆的标准方程为.
20. 甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：
（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
（2）假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．
【答案】（1）选择猜法二，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)利用列举法列出不放回取两球的所有结果，再借助古典概率公式计算判断作答.
(2)利用(1)的结论，将乙获胜的事件分拆成三个互斥事件的和，再利用概率的乘法、加法公式计算得解.
【小问1详解】
用a，b表示两个红球，用1，2表示两个白球，甲不放回取两球的所有结果：
ab，ba，a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，12，21，共12个不同结果，它们等可能，
令事件为“第二次取出的是红球”，则事件A所含结果有：ab，ba，1a，2a，1b，2b，共6个，
令事件为“两次取出球的颜色不同”，则事件B所含结果有：a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，共8个，
于是得，，显然，，
为了尽可能获胜，应该选择猜法二．
【小问2详解】
由(1)知，乙选择猜法二，每一轮乙获胜的概率为，
游戏结束时，乙获胜的事件M是乙在第一、二轮胜的事件M1，第一轮负另外两轮胜的事件M2，第二轮负另外两轮胜的事件M3的和，它们互斥，
于是得，
所以乙获得游戏胜利的概率是.
21. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，点是的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的性质定理得，再根据勾股定理得，从而利用线面垂直的判定定理得平面，从而利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据线面角的定义及正弦值求得边长，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面所成角的余弦值.
【小问1详解】
平面平面，.
，由且是直角梯形，
，
即，.
平面平面，平面.
平面，平面平面.
【小问2详解】
平面平面，.
又，平面平面，平面，
即为直线与平面所成角.
，，则，
取的中点，连接，以点为坐标原点，
分别以为轴､轴､轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
设为平面的法向量，则，
令，得，得，
设为平面的法向量，
则，令，则，得.
.
平面与平面所成角的余弦值的余弦值为.
22. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．
（1）求椭圆的方程：
（2）直线（不过原点）与抛物线相交于两点，以为直径的圆经过原点，且此直线也与椭圆相交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】（1）
（2）面积的最大值是，此时的方程为．
【解析】
【分析】（1）设椭圆上的点坐标为，求出点D到焦点距离，配方根据的范围求出最大值时，结合离心率可得答案；
（2）设直线方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，根据求出， 法一：设直线与轴的交点为，；法二：设直线与轴的交点为，，法三：原点到直线的距离为得，令，再利用基本不等式求出，可得答案．
【小问1详解】
设椭圆上的点坐标为，，右焦点，
则点D到焦点距离为
，
当时，取得最大值，
由题意知：∴，
∴椭圆C的方程为；
【小问2详解】
显然，直线的斜率存在，设直线方程为，
，，，，
联立直线与抛物线方程得：
，
以为直径的圆经过原点，则，
或（舍去），所以直线的方程为：，
联立直线与椭圆方程得：，，
，
法一：设直线与轴的交点为，.
法二：设直线与轴的交点为，
，
法三：原点到直线的距离为，所以，
其中，令，．∴，
当且仅当时等号成立，此时，且满足，
∴面积的最大值是，此时的方程为．
【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是利用解决弦长问题.