四川省绵阳市绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

总分：150分 时间：120分钟
一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点B，则B的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系定义即可求得点在坐标平面内的射影点的坐标.
【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点
故选：B
2. ，，若//，则（ ）
A. 0B. C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的条件进行求解
【详解】由//，则，使得，即，解得.
故选：B
3. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥但不对立的事件是（ ）
A. 至少一个黑球与至少一个红球B. 至少一个黑球与都是黑球
C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球D. 至少一个黑球与都是红球
【答案】C
【解析】
【分析】依据互斥事件与对立事件的定义，以及它们的关系,作出判断．
【详解】从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况：①恰有一个黑球，②恰有两个黑球，③没有黑球．
对于A，至少一个黑球与至少一个红球，能同时发生的情况有“恰有一个黑球”，故不是互斥事件，不符合要求；
对于B，至少一个黑球与都是黑球，能同时发生的情况有“都是黑球”，故不是互斥事件，不符合要求；
对于C，恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对立的事件，符合要求；
对于D，至少一个黑球与都是红球，不能同时发生且“至少一个黑球”与“都是黑球”必有一个发生，是对立事件，不符合要求；
故选：C．
4. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，，，，则与相等的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算的几何表示对选项一一验证即可.
【详解】连接与交于点，连接，，，
，，，
对于选项A：
，故A正确；
对于选项B：
，故B错误；
对于选项C：
，故C错误；
对于选项D：
，故D错误；
故选：A.
5. 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出抛掷两颗骰子的试验的基本事件总数，再列举出所求概率的事件，利用古典概率公式求解作答.
【详解】依题意，同时抛掷两颗质地均匀的骰子的试验，基本事件有：
，
，
，共36种，
两颗骰子出现的点数之和为4的事件包含的基本事件有：，共3个，
所以两颗骰子出现的点数之和为4的概率是．
故选：B
6. 已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：

令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率分布图分别计算，，比较大小可得.
【详解】由图可知，
，
，
所以，.
故选：D.
7. 如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出，，利用向量的夹角公式可得答案.
【详解】在直三棱柱中，平面，平面，
所以，，
平面，平面，所以，
所以互相垂直，
以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
设，
则，
可得，，
所以.
所以直线与直线夹角的余弦值为.
故选：C.

8. 定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ）

A. B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中条件确定，设底面△ABD的中心为O，则CO⊥平面ABD，可求得，又的方向与相同，代入计算可得答案．
【详解】，
，
设底面△ABD的中心为O，连接CO，AO，则OC⊥平面ABD，
又AO，AB，AD 平面ABD，故OC⊥AO， OC⊥AB，OC⊥AD，
，，
在中，，
则，又的方向与相同，
所以．
故选：A．
二、多选题：本大题共4个小题，每个小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）

A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人
B. 图中的值为0.025
C. 估计全校学生成绩的中位数为86.7
D. 估计全校学生成绩的80%分位数为95
【答案】ACD
【解析】
【分析】由频率分布直方图，根据频率之和为求得，根据频率、中位数、百分位数的求得正确答案.
【详解】由题意，成绩在区间内学生人数为，故A正确；
由，得，故B错误；
设中位数为，则，得，故C正确；
低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数为，
则，解得，故D正确.
故选：ACD
10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A. 乙发生的概率为B. 丙发生的概率为
C. 甲与丁相互独立D. 丙与丁互为对立事件
【答案】ACD
【解析】
【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误.
【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，
为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，
则，，故A正确.
，，故B错误.
而，故C正确.
两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，
故D正确.
故选：ACD.
11. 已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为，平均数；最大和最小两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ）
A. 剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变
B.
C. 剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】设10个样本数据从小到大排列分别为，再根据中位数、平均数、下四分卫数与方差的定义与公式推导即可.
【详解】设10个样本数据从小到大排列分别为，则剩下的8个样本数据为.
对A：原样本数据的中位数为，剩下的8个样本数据中位数为，故A正确；
对B，由题意，，.
因为，故，
即，
故，
故，故.故B正确；
对C，因为，故剩下8个数据的下四分位数为，
又，故原样本数据的下四分位数为，又，故，故C错误；
对D，因为，故，，.
故，，
故，故D正确.
故选：ABD
12. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别在线段和上．给出下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）

A. 的最小值为1
B. 四面体的体积为
C. 存在无数条直线与垂直
D. 点为所在边中点时，四面体的外接球半径为
【答案】AC
【解析】
【分析】由公垂线的性质判断A；由线面平行的性质及锥体的体积公式判断B；根据线面垂直的判定及面面平行的判定定理结合条件判断C；利用坐标法，根据正弦定理及球的性质结合条件可求四面体的外接球半径判断D.
【详解】对于A：因为是正方体，
所以平面，平面，
又因为平面，平面，
所以，，即是与的公垂线段，
因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，
所以当分别与重合时，最短为1，故A正确；
对于B：因为是正方体，
所以平面平面，且平面，
所以平面，当点在上运动时，点到平面距离不变，距离，
由可知，当点在上运动时，到的距离不变，
所以的面积不变，所以，所以B错误；
对于C：连接，因为平面，平面，
所以，又平面，
所以平面，当不在线段端点时，过作交于，过作交于，平面交线段于，

因为平面，平面，
故平面，同理平面，又平面，
所以平面平面，故平面，又平面，
所以，因为点在线段上，所以存在无数条直线与垂直，故C正确；
对于D：如图以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，

故的外接圆半径为，
所以可得等腰的外接圆圆心为，设四面体的外接球球心为，则平面，
所以可设四面体的外接球球心为，
由，可得，解得，
所以四面体的外接球的半径为，故D错误.
故选：AC．
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为______；
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意找出甲获胜的情况，然后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】由题意得甲获胜的情况有: 423， 123， 423， 114， 332， 152， 342，
512， 125， 432， 334， 151， 314， 共13种，
所以估计甲获得冠军的概率为.
故答案为：
14. 已知数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为______；
【答案】20
【解析】
【分析】根据公式计算即可.
【详解】因为数据，，，，的方差为，
所以数据，，，，的方差为.
故答案为：20
15. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为________
【答案】2
【解析】
【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.
【详解】∵，，
∴，，又，
∴在方向上的投影为，
∴P到l距离.
故答案为：2.
16. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点N到平面的距离为________.
【答案】
【解析】
【分析】以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解点N到平面的距离，得到答案.
【详解】由题意，以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，
所以点N到平面的距离.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法，以及空间中点、线、面的位置关系等知识的应用，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.
四、解答题:本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与、的夹角都等于60°，M在棱上，，设，，．

（1）试用，，表示出向量；
（2）求．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量对应线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义用，，表示出即可；
（2）应用数量积的运算律及其定义求即可.
【小问1详解】
由图知：，，
.
【小问2详解】
.
18. 某重点大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了名这类大学生进行调查，将收集到的课余学习时间（单位：）整理后得到如下表格：
（1）估计这名大学生每天课余学习时间的中位数；
（2）根据分层抽样的方法从课余学习时间在和，这两组中抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽到的人的课余学习时间都在的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频数分布表估计中位数的方法直接求解即可；
（2）根据分层抽样原则可确定从和两组中抽取的人数，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【小问1详解】
，，
这名大学生每天课余学习时间的中位数位于之间，
则中位数为.
【小问2详解】
由题意知：从课余学习时间在这一组抽取人，分别记为，从课余学习时间在这一组抽取人，分别记为；
从这人中随机抽取人，所有的基本事件为：，共个基本事件；
其中“抽到的人的课余学习时间都在”包含的基本事件为：，共个基本事件；
抽到的人的课余学习时间都在的概率.
19. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
（1）求p和q的值；
（2）求甲、乙两人共答对3道题的概率．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解；
（2）先求出甲、乙答对题目数为0、1、2的概率，再由甲乙总共答对3道题，等价于甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，利用独立、互斥事件概率公式计算求得.
【小问1详解】
设A：甲同学答对第一题，B：乙同学答对第一题，则，．
设C：甲、乙两人均答对第一题，D：甲、乙两人恰有一人答对第一题，
则，．
∵甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
∴A与B相互独立，与互斥，
∴,．
由题意得解得或
∵，∴，．
【小问2详解】
设：甲同学答对了i道题，:乙同学答对了i道题，．
由题意得，，，．
设E：甲、乙两人共答对3道题，则，
∴，
∴甲、乙两人共答对3道题的概率为．
20. 在长方体中，，，点M、N分别在线段，上，且，．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若直线与平面相交于点P，求线段DP的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据长方体建立坐标系，根据空间向量的坐标表示以及直线与平面所成角的正弦值公式即可得到答案；
（2）先求出点到平面的距离，由线面角的正弦值等于线上取一点到平面的距离与该点到平面交点的距离之比即可求解.
【小问1详解】

如图，以点为原点建立如图所示坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
，
直线与平面所成角的正弦值为;
【小问2详解】
由（1）知，
点到平面的距离为，
.
21. 高考数学考试中有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有8道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．试求该考生的选择题：
（1）得60分的概率；
（2）得多少分的概率最大？
【答案】（1）（2）该生选择题得分为45分或50分的概率最大．
【解析】
【分析】
（1）先计算有两道题答对的概率各为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为， 利用独立事件的概率公式即得解；
（2）该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种，利用事件的独立性，依次计算对应概率，比较即得解.
【详解】（1）要得60分，必须12道选择题全答对，
依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，
所以他做选择题得60分概率为：．
（2）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种．
得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错，于是其概率为：．
得45分的概率为：．
得分为50的概率：；
得分为55的概率：；
得分为60的概率：.
∴该生选择题得分为45分或50分的概率最大．
【点睛】本题考查了独立事件概率计算，考查了学生数学应用，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
22. 如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，底面ABCD， ．
（1）求证：平面平面PAC；
（2）若E是侧棱PB上一动点，恰好使得平面ADE与平面PAD的夹角为，请指出E点位置．
【答案】（1）证明见解析
（2）当，使平面与平面的夹角为．
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，再利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可证得结论;
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法即可求得.
【小问1详解】
证明：底面，，
在三角形中，由，，，
得．
，即．
又，平面，平面；
又∵平面，∴平面平面．
【小问2详解】
以A为原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵，
∴．
设，设，得．
∴，
∴，则．
．
设平面的一个法向量为，
由，取，得；
设平面的一个法向量为，
由，
得，解得（舍）或．
∴当，使平面与平面的夹角为．课余学习时间
人数