四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题

这是一份四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，点在圆上，，则最小时，，某几何体的三视图如图所示等内容，欢迎下载使用。


注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．2
3．已知双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A．1B．C．D．3
4．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A．36B．C．32D．
5．已知数列是首项为1的等比数列，是数列的前项和，且，则数列的前5项和为（ ）
A．30或40B．31或40C．31D．30
6．点在圆上，，则最小时，（ ）．
A．8B．6C．4D．2
7．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积（单位：）是（ ）
第7题
A．24B．28C．32D．36
8．若的内角的对边分别为的面积，角的平分线交边于点，则的长为（ ）
A．2B．4C．D．
9．设函数，若存在，且，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件与相互独立B．事件与相互独立
C．D．
11．若实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点．若与的焦距的比值为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为______．（用数字作答）
14．已知，则______．
15．若是函数的两个极值点且，则实数的取值范围为______．
16．将正方形沿对角线折起，当时，三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的体积为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量（单位：克），质量分组区间为，由此得到样本质量的频率分布直方图如图所示．
第17题
（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）．
18．设为数列的前项和，已知，且为等差数列．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列满足，且，求数列的前项和．
19．如图在三棱柱中，，且平面平面．
（1）证明：平面平面；
（2）设点为直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
21．已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足．
（1）求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点；
（2）设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
［选修4-4：坐标系与参考方程］
22．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴，建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）写出的直角坐标方程和的普通方程；
（2）已知点与相交于两点，求的值．
［选修4-5：不等式选讲］
23．已知均为正实数，且．
（1）求的最大值；
（2）若，证明：．
绵阳南山中学实验学校高2021级高三下3月月考参考答案
一、选择题
1-6 AABBCC7-12 CBADAD
二、填空题
13．3014．315．16．
三、解答题
17．【详解】解（1）由题意，得，解得．
又由最高矩形底边中点的横坐标为20，可估计盒子中小球质量的众数约为20克，
又50个样本中小球质量的平均数为（克）．
故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均值为24.6克．
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球质量在内的概率为0.2，则，于是的分布列为：
，，
，．
所以的分布列为
所以．
18．【详解】（1）设等差数列的公差为，则，即，①
因为，所以由，得．②
由①、②解得，所以，即，
当时，，
当时，，上式也成立，
所以，所以数列是等差数列
（2）由（1）可知，
当时，，
因为满足上式，所以．
．
19．【详解】（1）证明：
，①
又面面，面面且面，②
由①②知面
又面面面
（2）在平面中过点作，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
在中，，即
，即，所以，
，，，
面的一个法向量为，设直线与面所成的角为，
．
20．【详解】（1）的定义域为，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减．
（ⅱ）若，则由得．
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
综上所述：时，在单调递减；
时，在单调递减，在单调递增．
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点．
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为．
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即．
又，故在有一个零点．
设正整数满足，则．
由于，因此在有一个零点．
综上，的取值范围为．
21．【详解】（1）将点代入抛物线方程，可得，解得，
所以抛物线方程为，设直线的方程为：，
联立方程，消去得，
由韦达定理得，
根据抛物线定义：，可得，
此时，解得或，
设的中点坐标为，则，
可得的垂直平分线方程为：，
将代入整理得：，故的垂直平分线过定点．
（2）由（1）可得，
且点到直线的距离，
则的面积为，
可得，
设，设，则
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，的面积取最大值，此时，即．此时
22．【详解】（1）曲线的极坐标方程为，即，
则曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为．
（2）易知点在直线上，且该直线的斜率为，倾斜角为，
则曲线的参数方程为（为参数），联立曲线的参数方程与曲线的普通方程得，
设点，在直线上对应的参数分别为，
由韦达定理可得
．
23．【详解】（1）因为，所以，又均为正实数，
由柯西不等式有，
所以，当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最大值为3．
（2）因为，由（1）得，
即，所以，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以，即．0
1
2
3