四川省绵阳市三台中学2023-2024学年高二上学期12月教学质量检测数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市三台中学2023-2024学年高二上学期12月教学质量检测数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】
将直线方程化为斜截式方程得直线斜率为，进而得倾斜角是120°.
【详解】解：将直线方程化为斜截式方程得：，
所以直线的斜率为，
所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角是120°.
故选：C.
2. 空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表：
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日的数据并绘成折线图如下：
下列叙述正确的是（ ）
A. 这20天中的中位数略大于150
B. 10月4日到10月11日，空气质量越来越好
C. 这20天中的空气质量为优的天数占25%
D. 10月上旬的极差大于中旬的极差
【答案】C
【解析】
【分析】利用折线图中数据信息以及变换趋势，对选项一一分析判断即可.
【详解】对于A，由折线图知100以上有10个，100以下有10个，中位数是100两边最近的两个数的均值，观察这两个数，比100大的数离100远点，因此两者均值大于100但小于150，故A错误；
对于B，由折线图知10月4日到10月11日，越来越大，则空气质量越来越差，故B错误；
对于C，由折线图知小于50有5天，则20天中的空气质量为优的天数占25%，故C正确；
对于D，由折线图知10月上旬的最小值与中旬的最小值差不多，但10月上旬的最大值比中旬的最大值小的多，则10月上旬的极差小于中旬的极差，故D错误；
故选：C.
3. 向量，，，若，，共面，则等于（ ）
A. 0B. -1C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合空间向量共面定理，即可求解.
【详解】根据题意，由向量，，，，，共面，
得，，，
即，解得．
故选：A．
4. 已知是双曲线的右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用几何特征及双曲线的性质计算即可.
【详解】易知是直角三角形，双曲线的渐近线方程为，设，
由可知，
所以.
故选：A
5. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列举出5条线段中任取3条的所有基本事件，求出构成三角形的基本事件的个数，由古典概型求概率的公式求解即可.
【详解】从5条线段中任取3条的所有基本事件有10个，
即，
其中能构成三角形的基本事件有3个，即，
故所求概率.
故选：A
.
6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点关于直线对称点，找出最短路程.
【详解】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.
如图所示，
设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
7. 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定曲线为圆的下半部分，确定直线的定点，根据直线与半圆相切时得到斜率，再计算，结合图像得到答案.
【详解】，即，，是圆的下半部分，
直线过定点，且，，
画出图像，如图所示：
当直线与半圆相切且斜率存在时，圆心到直线的距离，解得，
，根据图像知：.
故选：C
8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值.
【详解】如图，M为椭圆C上任意一点，则，
又因为N为圆E：上任意一点，
，
当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立．
由题意知，，，则，
所以的最小值为.
故选：B．
【点睛】求最值时，可以利用定点，和E，当M、N、E、共线且M、N在E、之间时最短，等于.
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 一组数据从小到大为5，6，7，8，，11，若这组数据的平均数是8，则（ ）
A. B. 极差为6C. 40%分位数为7D. 方差为5
【答案】BC
【解析】
【分析】根据数据的平均数、极差、百分位数、方差的概念逐项求解判断即可.
【详解】由题得，所以，所以A错误；
根据定义极差为，所以B正确；
因为，40%分位数为7，所以C正确；
根据方差公式，方差为，所以D错误.
故选：BC．
10. 若方程所表示曲线为，则下面四个说法中错误的是（ ）
A. 若，则为椭圆
B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则
C. 曲线可能是圆
D. 若为双曲线，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用二元二次函数与圆锥曲线的关系数，逐一分析判断各选项即可.
【详解】因为方程所表示的曲线为，
AC.当，取时，方程为，表示圆，故A错误，C正确；
B.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，故B正确；
D.若为双曲线，可得，解得或，故D错误.
故选：AD.
11. 如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（ ）

A. B. 异面直线，所成角为
C. 点到直线距离为D. 的面积是
【答案】ACD
【解析】
【分析】先利用面面垂直的性质推得，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，进而利用向量法逐一分析判断各选项即可.
【详解】因为四边形，都是正方形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，则，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，，
又，分别是线段，的中点，所以，，
所以，，
又，不共线，所以，故A正确；
，，设异面直线，所成角为，
则，又，所以，
即异面直线，所成角为，故B错误；
由，，得，
所以点到直线的距离为，故C正确；
因为，所以到的距离即为到的距离，
所以的面积，故D正确．
故选：ACD．
12. 我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线：是理想双曲线，左右顶点分别为，，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（ ）
A. B. 顶点到渐近线的距离为
C. D. 的外接圆的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据离心率求出，利用双曲线的性质结合选项逐个判定即可.
【详解】因为，所以，解得；
对于A，，A正确；
对于B，渐近线的方程为，右顶点到渐近线的距离为，B不正确；
对于C，设双曲线的焦距为，由得，，
因为，所以，C正确；
对于D，由可知，的外接圆的半径为，
所以面积为，D正确.
故选：ACD.
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷中的横线上.
13. 若：与：是两条平行的直线，则实数______.
【答案】1
【解析】
【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求出的值．
【详解】若：与：是两条平行的直线，
则，解得，或，
当时，：，：，即，
可得两直线重合，不符合题意，舍去，
当时，：，：，满足题意，
所以实数.
故答案为：.
14. 如图所示，电路原件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为______．
【答案】##0.4375
【解析】
【分析】电路能正常工作的条件是：必须正常工作，，至少有一个正常工作，由此求解即可
【详解】由题意，电路能正常工作的条件是：
必须正常工作，，至少有一个正常工作，
所以电路能正常工作的概率为，
故答案为：
15. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，，则截口所在椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
取焦点在轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有为椭圆通径，得，结合及解出代入离心率公式计算即可.
【详解】解：取焦点在轴建立平面直角坐标系，由及椭圆性质可得，为椭圆通径，
所以，
又，解得
所以截口所在椭圆的离心率为
故答案为：
【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：
（1）求的值，由直接求；
（2）列出含有的齐次方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．
16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（在第二象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用抛物线的定义可判定，则从而得出直线的斜率，设其方程与M、N坐标，联立抛物线方程结合韦达定理计算即可.
【详解】如图，的焦点为，
由拋物线的定义，知，
又，所以是等边三角形，所以，，
直线的方程为，设，，
联立方程得，
所以，．
由，
得，解得．
故答案为：3

四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a、b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的第60百分位数（精确到0.1）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中频率的计算方法及性质，列出方程，即可求解；
（2）根据频率分布直方图中百分位数的计算方法，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，因为第三、四、五组的频率之和为，
可得，解得，
所以前两组的频率之和为，即，所以.
【小问2详解】
解：由前两个分组频率之和为，前三个分组频率之和为0.75，
所以第60百分位数在第三组，设第60百分位数为x，
则，解得，故第60百分位数为．
18. 某国家队要从男子短道速滑1500米的两名种子选手甲、乙中选派一人参加2022年的北京冬季奥运会，他们近期六次训练成绩如下表：
（1）分别计算甲、乙两人这六次训练平均成绩，偏优均差；
（2）若，则称甲、乙这次训练的水平相当，现从这六次训练中随机抽取3次，求有两次甲、乙水平相当的概率．
注：若数据中的最优数据为，定义为偏优均差．本题中的最优数据即最短时间．
【答案】（1），，，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意及表中所给数据计算平均成绩，偏优均差即可；
（2）列出满足条件的基本事件总数，找出满足条件的基本事件数，利用古典概型求解即可.
【小问1详解】
由题可知，
，
，
，
．
【小问2详解】
六次训练中只有第4，6次甲、乙水平相当，
从六次中任选三次的结果有
，
，
共20种，
其中有两次甲、乙水平相当的结果有4种，
故所求概率．
19. 已知直三棱柱中，D为的中点．
（1）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
①；②；③．
（2）若，，，求直线与平面ABD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定和性质，根据不同的选择，即可证明；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设出长度，利用，求得，再求得直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求得结果.
【小问1详解】
连接，如下所示：
选择①，②，证明③如下：
因为，，面，
故面，又面，故可得.
又为直三棱柱，故面，
因为面，故；
又面，故面，
又面，故可得，
因为为的中点，故可得在平面中，垂直平分，
则.
选择①，③，证明②如下：
因为为的中点，且，
在△中，由三线合一可知；
又为直三棱柱，故面，
因为面，故；
又面，故面，
又面，故；
又，面，
故面面，故.
选择②，③，证明①如下：
因为为的中点，且，
在△中，由三线合一可知；
又为直三棱柱，故面，
因为面，故；
又面，故面，
又面，故；
又面，故面，
因为面，故.
【小问2详解】
因为，则，
故，则，
又为直棱柱，故面面，
故，
故两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下所示：
设，则，
故，
因为，故，解得，
故，
，
设平面的法向量，
则，即，取，解得，
则，又，
设直线与平面所成角，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
20. 已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且．
（1）求抛物线的方程：
（2）过点作直线l交抛物线于B，C两点，求的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出抛物线方程，表示出各点坐标，利用已知可求出，得出方程；
（2）设出直线方程，与抛物线联立，得出即可.
【小问1详解】
由题可设抛物线方程为，则，
因为点A的横坐标为2，由于抛物线的对称性，不妨设在轴上方，则，
所以，，
所以，解得，
所以抛物线的方程为
【小问2详解】
显然直线l的斜率不为0，设方程为，设，
联立方程，可得，
则，，
则，
所以.即.
21. 已知圆，两点、.
（1）若，直线过点且被圆所截的弦长为，求直线的方程；
（2）若圆上存在点，使得，求圆半径的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）计算出圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式可求出直线的方程；
（2）设点，利用平面内两点间的距离公式结合可得知点在圆，可知圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.
【小问1详解】
解：当时，圆的标准方程为，圆心为，
因为直线过点且被圆所截的弦长为，则圆心到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意；
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则，解得，
所以，直线的方程为或.
【小问2详解】
解：设点，则，
整理可得，
因为点在圆上，则圆与圆有公共点，
且圆的圆心为，半径为，
则，且，故，
因为，解得，故的取值范围是.
22. 已知焦距为2的椭圆：，，分别为其左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于，两点且满足，求四边形面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆的性质直接求即可；
（2）分斜率不存在，等于零，不等于零三种情况讨论，由弦长公式得出面积的表达式再用二次函数的单调性求得结果.
【小问1详解】
设
因为过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8
所以则有
所以
所以
所以的方程为
【小问2详解】
斜率不存在时.方程为，方程为 则有
所以
斜率为时.方程为，此时无法构成，不符合题意；
斜率存在且不为时.设方程为
则方程为
所以
由
得
所以
所以
同理，设
代入并化简可得.
所以
即...
令则
即
所以此时当时，面积最小，指数值
0~50
51~100
101~150
151~200
201~300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
次序（）
1
2
3
4
5
6
甲（秒）
142
140
139
138
141
140
乙（秒）
138
142
137
139
143
141