2023-2024学年陕西省西安重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知命题p：∃x0<−1，2x0−x0−1<0，则￢p为( )
A. ∀x≥−1，2x−x−1≥0B. ∀x<−1，2x−x−1≥0
C. ∃x0<−1，2x0−x0−1≥0D. ∃x0≥−1，2x0−x0−1≥0
2.已知集合M={x|x2−3x−4<0}，N={x|y=ln(x−1)}，则M∩N=( )
A. (1,4)B. [1,4)C. (−1,4)D. [−1,4)
3.函数f(x)=x22−2|x|的图象大致为( )
A. B. C. D.
4.若正实数a，b满足2a+b=6，则1a+2b的最小值为( )
A. 23B. 43C. 2D. 4
5.已知sin(π6−α)=−25，则sin(π6+2α)的值等于( )
A. −1725B. 1725C. −725D. 725
6.设a=(13)12，b=lg315，2c+c=0，则( )
A. a7.设a>0且a≠1，若函数f(x)=−x+7,x≤23+lgax,x>2的值域是[5,+∞)，则a的取值范围是( )
A. [ 2,+∞)B. (1, 2)C. (1, 2]D. ( 2,+∞)
8.函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0,1)∪(1,2]时，f(x)=x−2x−1，则函数f(x)与函数y=2sinπx+1(0≤x≤4)的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于( )
A. 12B. 16C. 20D. 24
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. x+4x最小值是4
B. “a>1”是“a2>a“的充分不必要条件
C. 若a>b，则1a<1b
D. 函数y=lga(x−3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(4,2)
10.已知函数f(x)= 3cs(2x−π3)(x∈R)，下列结论错误的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 函数f(x)的图象关于点(5π6,0)对称
C. 函数f(x)在区间[0,π2]上是减函数D. 函数f(x)的图象关于直线x=π6对称
11.下列选项中正确的有( )
A. 若α是第二象限角，则tanα 1sin2α−1=−1
B. 1−2sin100°cs280°cs370∘− 1−cs2170∘=1
C. 2cs10°−sin20°sin70∘= 3
D. 1+tan15°1−tan15∘= 3
12.已知函数f(x)=x2+x+14,x<0|lnx−1|,x>0，若方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为x1，x2，x3，x4，则( )
A. 0C. x1+x2=−1D. 0三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.设函数f(x)= x,x≥72f(x+2),x<7，则f(4)= ______．
14.已知函数f(x)=x2−mx+1在区间[3,8]上单调，则实数m的取值范围是______．
15.已知函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)在区间(0,π)上有且仅有2个不同的零点，则ω的范围为______．
16.设正实数a，b满足等式2a+b=1且有2 ab−4a2−b2≤t−12恒成立，则实数t的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知函数f(x)=lg(3x+1)的定义域为集合A，集合B={x|x2+(a−1)x−a≤0}．
(1)若a=1，求A∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题8分)
已知函f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω≤2,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若α∈(π2,3π4),f(α)=65，求sin2α的值．
19.(本小题8分)
已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm+1为偶函数，g(x)=f(x)+x+2．
(1)求y=f(x)的解析式；
(2)若g(x)≥kx对于x∈[−1,2]恒成立，求k的取值范围．
20.(本小题10分)
已知函数f(x)=csx(2 3sinx+csx)−sin2x．
(Ⅰ)求函数的最小正周期；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间；
(Ⅲ)若方程3[f(x)]2−f(x)+m=0在x∈[−π12,π6]内有两个不同的解，求实数m的取值范围．
21.(本小题10分)
由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服：A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增如到t=k⋅(6−12x+4)(万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1])；A公司生产t万件防护服还需投入成本(20+9x+50t)(万元)．
(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
(2)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01)
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=a−22x+1为定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)(i)证明：f(x)为单调递增函数；
(ii)∀x∈(0,+∞)，若不等式f(1+lg2x⋅lg2mx)x+1+x−1x2+1>0恒成立，求非零实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：命题p：∃x0<−1，2x0−x0−1<0，
则￢p为：∀x<−1，2x−x−1≥0，
故选：B．
直接写出特称命题的否定得答案．
本题考查特称命题的否定，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：M={x|x2−3x−4<0}={x|−11}，
故M∩N=(1,4)．
故选：A．
先求出集合M，N，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数f(x)=x22−2|x|，则有2−2|x|≠0，解可得x≠±1，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，
又f(−x)=x22−2|x|=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除A，C；
又f(2)=42−4=−2<0，排除B．
故选：D．
根据题意，分析函数的奇偶性排除A、C，求出f(2)的值，排除B，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为正实数a，b满足2a+b=6，
则1a+2b=2a+b6a+2a+b3b=23+b6a+2a3b≥23+2 b6a⋅2a3b=43，
当且仅当b=2a，即a=32，b=3时取等号．
故选：B．
有由已知结合乘1法及基本不等式即可求解．
本题主要考查了乘1法及基本不等式求解最值，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：sin(π6+2α)=sin(π2−π3+2α)=sin[π2−(π3−2α)]=cs(π3−2α)=cs[2(π6−α)]=1−2sin(π6−α)2=1725．
故选：B．
利用诱导公式和二倍角公式求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数的应用，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：a=(13)12，则0b=−lg35，1=lg33c=−2c<0且−c=2c<1，则−1故b故选：D．
根据指数函数值域求出a、c范围，根据对数函数值域求出b的范围，由此即可比较a，b、c的大小关系．
本题考查指数函数的单调性，考查学生的运算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由于函数f(x)=−x+7,x≤23+lgax,x>2(a>0且a≠1)的值域是[5,+∞)，
故当x≤2时，满足f(x)=7−x≥5．
若a>1，f(x)=3+lgax在它的定义域上单调递增，
当x>2时，由f(x)=3+lgax≥5，
∴lgax≥2，
∴lga2≥2，
∴1若0综上可得，1故选：C．
当x≤2时，检验满足f(x)≥5.当x>2时，分类讨论a的范围，依据对数函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．
本题主要考查分段函数的应用，考查转化能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由于f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为2．
令h(x)=x−2x−1，则h(x)=x−2x−1=x−1−1x−1=1−1x−1，
对任意的x≠1，h(x)+h(2−x)=1−1x−1+1−12−x−1=2，
所以函数y=x−2x−1关于点(1,1)中心对称．
设g(x)=2sinπx+1，则g(x)+g(2−x)=2sinπx+1+2sin[π(2−x)]+1=2sinπx+2sin(2π−πx)+2=2，
所以，函数y=2sinπx+1关于点(1,1)中心对称．
画出函数y=x−2x−1与函数y=2sinπx+1(0≤x≤2)的图象如图所示：
由图可知，函数y=x−2x−1与函数y=2sinπx+1(0≤x≤2)的图象有四个交点，
不妨设这四个交点分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)、(x4,y4)，
设x1点(x2,y2)与点(x3,y3)关于点(1,1)对称，
所以(x1+x2+x3+x4)+(y1+y2+y3+y4)=8．
同理可知，函数f(x)与函数y=2sinπx+1(2≤x≤4)的图象也有四个交点，
设这四个交点分别为(x5,y5)、(x6,y6)、(x7,y7)、(x8,y8)，
同理可得(x5+x6+x7+x8)+(y5+y6+y7+y8)=16，
所以，函数f(x)与函数y=2sinπx+1(0≤x≤4)的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于8+16=24．
故选：D．
分析可知y=x−2x−1关于点(1,1)中心对称，函数y=2sinπx+1关于点(1,1)中心对称，作出函数y=x−2x−1与函数y=2sinπx+1(0≤x≤2)的图象，利用对称性与周期性可求得结果．
本题主要考查函数方程的综合应用，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：当x<0时，A显然错误；
当a>1时，a2>a一定成立，即充分性成立，但a2>a时，a>1或a<0，即必要性不成立，B正确；
当a=1，b=−1时，C显然错误；
根据对数函数的性质及函数的图象平移可知，y=lga(x−3)+2可由y=lgax向右平移3个单位，向上平移2个单位，即过定点(4,2)，D正确．
故选：BD．
举出反例检验选项A，C，结合充分必要条件检验选项B，结合对数函数的性质检验选项D．
本题主要考查了基本不等式求解最值，不等式性质，对数函数的性质的应用，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：因为f(x)= 3cs(2x−π3)，
所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π，故A正确；
f(5π6)= 3cs(2×5π6−π3)= 3cs4π3=− 3csπ3=− 32，
f(5π6)≠0，则f(x)的图象不关于点(5π6,0)对称，故B错误；
当x∈[0,π2]时，2x−π3∈[−π3,2π3]，又y=csx在[−π3,2π3]上不单调，
所以函数f(x)在区间[0,π2]上不是减函数，故C错误；
当x=π6时，f(π6)= 3cs(2×π6−π3)= 3为最大值，
所以f(x)的图象关于x=π6对称，故D正确．
故选：BC．
根据余弦函数的性质一一判断即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
11.【答案】ABCD
【解析】解：对于A，因为a是第二象限角，所以sinα>0.csα<0，从而tanα 1sin2α−1=tanα|csαsinα|=−1，所以A正确；
对于B， 1−2sin100°cs280°cs370∘− 1−cs2170∘= 1−2sin80°cs80°cs10°−sin10°=sin80°−cs80°cs10∘−sin10∘=1，所以B正确；
对于C，2cs10°−sin20°sin70∘=2cs(30°−20°)−sin20°cs20∘= 3cs20°cs20°= 3，所以C正确；
对于D，1+tan15°1−tan15∘=tan45°+tan15°1−tan45∘⋅tan15∘=tan(45°+15°)= 3，所以D正确．
故选：ABCD．
对于A，可利用同角三角函数基本关系化简；对于B，可利用(sinα−csα)2=1−2sinαcsα，及同角三角函数基本关系化简；对于C，可先利用两角差的余弦公式及诱导公式统一角之后再进行化简；对于D，可利用二倍角的正切公式化简．
本题考查三角求值问题，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：作出函数y=f(x)的图象如下图所示，
要使方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的实数解，由图象可知，0由于x1，x2关于直线x=−12对称，则x1+x2=−1，选项C正确；
由于−12又|lnx3−1|=|lnx4−1|，x3所以0故选：ACD．
作出函数f(x)的图象，结合图象逐项分析判断即可．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】8 2
【解析】解：∵函数f(x)= x,x≥72f(x+2),x<7，
∴f(4)=2f(6)=2×2f(8)=4 8=8 2．
故答案为：8 2．
由已知得f(4)=2f(6)=2×2f(8)=4 8=8 2．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的合理运用．
14.【答案】{m|m≤6或m≥16}
【解析】解：函数f(x)=x2−mx+1的对称轴为x=m2，
若函数f(x)=x2−mx+1在区间[3,8]上单调，则m2≤3或m2≥8，
解得m≤6或m≥16．
故答案为：{m|m≤6或m≥16}．
求出二次函数的对称轴，结合函数的单调性得到不等式解出即可．
本题主要考查了二次函数单调性的应用，属于基础题．
15.【答案】(54,94]
【解析】解：因为x∈(0,π)，则ωx−π4∈(−π4,ωπ−π4)，
函数有且仅有2个不同的零点，
则π<ωπ−π4≤2π，解得ω∈(54,94]．
故答案为：(54,94].
确定ωx−π4∈(−π4,ωπ−π4)，根据零点个数得到π<ωπ−π4≤2π，解得答案．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
16.【答案】t≥ 22
【解析】解：∵a>0，b>0，2a+b=1，
∴4a2+b2=1−4ab，
∴2 ab−4a2−b2≤t−12恒成立可转化为：t≥2 ab−(1−4ab)+12恒成立；
又2 ab−(1−4ab)+12=4ab+2 ab−12=4( ab+14) 2−34，
∴t≥[4( ab+14)2−34] max(a>0,b>0,2a+b=1)，
由基本不等式可得：1=2a+b≥2 2ab，故 ab≤ 24(当且仅当2a=b=12时取“=”)，
∴[4( ab+14)2−34]max=4( 24+14)2−34=3+2 24−34= 22．
故答案为：t≥ 22．
正实数a，b满足等式2a+b=1⇒4a2+b2=1−4ab，故有2 ab−4a2−b2≤t−12恒成立⇔t≥2 ab−(1−4ab)+12=4ab+2 ab−12=4( ab+14) 2−34恒成立，故t需大于或等于4( ab+14)2−34的最大值，由基本不等式可求得 ab的最大值，从而得到4( ab+14)2−34的最大值，问题解决了．
本题考查函数恒成立问题，难点在于对条件中“−4a2−b2”的观察与应用，着重考查基本不等式的性质与函数单调性及对恒成立问题的理解与应用，属于难题．
17.【答案】解：(1)由函数f(x)有意义，可得3x+1>0，
解得x>−13，故A={x|x>−13}，
当a=1时，B={x|x2−1≤0}={x|−1≤x≤1}，
所以A∩B={x|−13(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
则有x∈B⇒x∈A，即B⊆A，
由(1)知，A={x|x>−13}，
由x2+(a−1)x−a≤0，可得(x+a)(x−1)≤0，
故当a=−1时，B={1}，满足B⊆A；
当a>−1时，B={x|−a≤x≤1}，
由B⊆A，可得−a>−13，即a<13，故−1当a<−1时，B={x|1≤x≤−a}，显然满足B⊆A；
综上，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
则实数a的取值范围是(−∞,13).
【解析】(1)求出集合A，B，根据交集的定义即可求解；
(2)由题意可得B⊆A，再根据参数a的范围分类讨论，即可求解．
本题考查集合的运算、含参不等式的解法、必要条件的概念等知识，属中档题．
18.【答案】解：(1)由题图可知A=2，最小正周期T=4×(3π8−π8)=π，
所以ω=2πT=2ππ=2，
所以f(x)=2sin(2x+φ)，
因为f(3π8)=2，所以2sin(2×3π8+φ)=2，即sin(3π4+φ)=1，
所以3π4+φ=2kπ+π2，k∈Z，即φ=2kπ−π4，k∈Z，
因为−π2<φ<π2，所以φ=−π4，
所以f(x)=2sin(2x−π4).
(2)因为α∈(π2,3π4),f(α)=65，
所以f(α)=2sin(2α−π4)=65，2α−π4∈(3π4,5π4)，
所以sin(2α−π4)=35，cs(2α−π4)=−45，
所以sin2α=sin[(2α−π4)+π4]=sin(2α−π4)csπ4+cs(2α−π4)sinπ4
=35× 22−45× 22=− 210．
【解析】(1)由图可知A=2，最小正周期T=π，从而得ω的值，再由f(3π8)=2，求出φ，可得f(x)解析式；
(2)由题意得sin(2α−π4)=35，cs(2α−π4)=−45，由sin2α=sin[(2α−π4)+π4]用两角和的正弦公式即可求解．
本题考查利用函数图象求解析式，考查两角和的三角函数值，属于中档题．
19.【答案】(1)解：已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm+1为偶函数，
由幂函数的定义知m2−3m+3=1⇒m2−3m+2=0⇒m=1或m=2，
当m=1时，f(x)=x2为偶函数，符合题意；当m=2时，f(x)=x3为奇函数，不符合题意；
综上所述，f(x)=x2；
(2)g(x)=f(x)+x+2=x2+x+2，g(x)≥kx⇔x2+x+2≥kx，
①当x=0时，2≥0，恒成立，此时k∈R；
②当x∈(0,2]时，k≤(x+2x+1)，因为y=x+2x+1≥2 x⋅2x+1=2 2+1，当且仅当x= 2时取等号，
所以k≤2 2+1；
③当x∈[−1,0)，k≥(x+2x+1)max，因为y=x+2x+1在[−1,0)单调递减，所以当x=−1时，ymax=−2，所以k≥−2，
综上，−2≤k≤2 2+1，
则k的取值范围为[−2,2 2+1]．
【解析】(1)首先根据幂函数定义得到m=1或m=2，再根据f(x)为偶函数判断即可．
(2)首先讲题意转化为x2+(1−k)x+2≥0对于x∈[−1,2]恒成立，再分类讨论求解即可．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=csx(2 3sinx+csx)−sin2x
=2 3sinxcsx+cs2x−sin2x
= 3sin2x+cs2x
=2sin(2x+π6)，
所以函数的最小正周期为T=2π2=π．
(Ⅱ)令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，解得：−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z．
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：f(x)在[−π12,π6]单调递增，值域为[0,2]，
令t=f(x)，则t∈[0,2]，
要方程3[f(x)]2−f(x)+m=0在x∈[−π12,π6]内有两个不同的解，
只需3t2−t+m=0在t∈[0,2]上有两个解，
即函数y1=m与函数y2=−3t2+t，t∈[0,2]的图像有两个交点，
如图示：

只需0≤m<112，
所以实数m的取值范围为[0,112).
【解析】(Ⅰ)先化简解析式，进而直接求出最小正周期；
(Ⅱ)利用复合函数单调性法则列不等式即可求出；
(Ⅲ)利用图像法即可求解．
本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的综合应用，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得，y=80t−(20+9x+50t)+x
=80k⋅(6−12x+4)−20−8x−50k⋅(6−12x+4)
=30k⋅(6−12x+4)−20−8x
=180k−360kx+4−8x−20，
所以A公司生产防护服的利润y(万元)与补贴x(万元)的函数关系为：y=180k−360kx+4−8x−20(x∈[0,10]，k∈[0.5,1])；
(2)由题意可知，问题可转化为y≥0对所有的x∈[0,10]恒成立，
即180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立，
即k≥145⋅(x+4)(2x+5)x+2，
令t=x+2，则t∈[2,12]，
此时(x+4)(2x+5)x+2=(t+2)(2t+1)t=2t+2t+5，
因为函数f(t)=2t+2t+5在t∈[2,12]上单调递增，
所以f(t)的最大值为f(12)=29+16≈29.167，
故k≥145×29.167≈0.648，
所以复工率k达到0.65时，对任意的x∈[0,10]，A公司才能不产生亏损．
【解析】本题考查了函数的实际应用问题，涉及了不等式恒成立问题的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
(1)根据已知条件列出关系式即可；
(2)将问题转化为不等式恒成立问题，然后利用参变量分离，转化为求解函数的最值问题，即可得到答案．
22.【答案】解：(1)因为函数f(x)=a−22x+1为R上的奇函数，
所以f(0)=a220+1=0，解得a=1，
所以f(x)=1−22x+1=2x−12x+1，
f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x2x+1=−2x−12x+1=−f(x)，
f(x)是奇函数，故a的值为1．
(2)(i)证明：∀x1，x2∈R，x1则f(x1)−f(x2)=1−22x1+1−(1−22x1+1)=22x2+1−22x1+1=2×(2x1+1)−2×(2x2+1)(2x1+1)(2x2+1)=2×(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
因为x10，2x2+1>0，
所以2×(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)<0，即f(x1)所以f(x)在R上单调递增．
(ii)∀x∈(0,+∞)，若不等式f(1+lg2x⋅lg2mx)x+1+x−1x2+1>0恒成立，
即f(1+(lg2x)2m)+x2−1x2+1>0，令t=lg2x，则x=2t，
所以不等式等价于f(1+t2m)+22t−122t+1>0，即f(1+t2m)+f(2t)>0，
因为f(x)是奇函数，所以f(1+t2m)>−f(2t)=f(−2t)，
又f(x)在R上单调递增，
所以1+t2m>−2t恒成立，即t2m+2t+1>0恒成立，
所以1m>0Δ=4−4m<0，解得0所以非零实数m的取值范围是(0,1)．
【解析】(1)根据函数是R上的奇函数，得f(0)=0，求出a，代入函数解析式，利用奇函数的定义验证即可；
(2)(i)利用单调性的定义证明即可；
(ii)把不等式化简为f(1+(lg2x)2m)+x2−1x2+1>0，换元t=lg2x，把不等式转化为f(1+t2m)+22t−122t+1>0，即f(1+t2m)+f(2t)>0，利用函数的奇偶性和单调性把不等式转化为t2m+2t+1>0恒成立，根据二次函数的性质即可求出结果．
本题考查函数的单调性、奇偶性和恒成立问题，转化的数学思想方法，属中档题．