2023-2024学年陕西省商洛市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省商洛市高一（上）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|x≥4}，N={x|x−1≤8}，则M∩N=( )
A. [−9,4]B. (9,+∞)C. [4,9]D. [4,7]
2.若正数x，y满足xy=100，则x+y的最小值是( )
A. 10B. 20C. 100D. 200
3.已知函数f(x)=−1x,x>0x3,x⩽0，则f(f(1))=( )
A. 0B. 1C. 2D. −1
4.要在半径OA=100厘米的圆形金属板上截取一块扇形板OAB，使其弧AB的长为120厘米，则圆心角∠AOB=( )
A. 56B. 65C. 35D. 53
5.“α=π2”是“sinα=1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充分必要条件
6.函数f(x)=x2−36x3(x>0)的零点所在区间是( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
7.已知a=20.45，b=40.22，c=lg8，则( )
A. c8.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后该物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1−θ0)e−t4求得.若将温度分别为80℃和60℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过10℃，则至少要经过(取：ln2=0.69)( )
A. 2.76minB. 4.14minC. 5.52minD. 6.9min
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若α的终边经过点(1,− 5)，则( )
A. α是第四象限角B. tanα=− 5C. sinα= 306D. csα= 66
10.下列命题是真命题的是( )
A. 若a>b>0，则ac2>bc2B. 若a>b>m>0，则b+ma+m>ba
C. 若ab2D. 若a1b
11.已知函数f(x)=lg2(mx−7)在[3,4]上单调递增，则m的取值可能为( )
A. 1B. 2C. 4D. 5
12.已知函数f(x)=ax2+a(a>0且a≠1)，下列结论正确的是( )
A. f(x)是偶函数
B. f(x)的图象与直线y=1一定没有交点
C. 若f(x)的图象与直线y=a有2个交点，则a的取值范围是(0,1)
D. 若f(x)的图象与直线y=a交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是(0,1)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=4x+ 1−4x的定义域为______．
14.已知函数f(x)=x4+(k−1)x3+1是偶函数，则k= ______．
15.函数y=1+lga6+x2x(a>1)的图象经过定点A，则点A的坐标为______．
16.已知偶函数f(x)=2x+m,x≥0h(x),x<0，则不等式f(2x−1)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知幂函数f(x)=(2a−5)xa．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断函数g(x)=f(x)−1x的奇偶性，并说明理由．
18.(本小题12分)
求下列各式的值：
(1)432−(−12)0+ (1−π)2；
(2)lg4−lg14+2lg25+lg0.1．
19.(本小题12分)
已知角α的终边经过点P(m,2m)(m≠0)．
(1)求tanα的值；
(2)求sin(−α)−sin(α−π2)cs(π−α)+cs(3π2−α)的值．
20.(本小题12分)
某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表：
记销售人员每月的提成为f(x)(单位：万元)，每月的销售总额为x(单位：万元)．
注：表格中的b(b≥0)表示销售额超过100万元的部分.另附参考公式：销售额×销售额的提成比例=提成金额．
(1)试写出提成f(x)关于销售总额x的关系式；
(2)若某销售人员某月的提成不低于7万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？
21.(本小题12分)
已知指数函数f(x)=ax．
(1)若f(x)在[−1,3]上的最大值为8，求a的值；
(2)当a>1时，若f(x)≤30−x对x∈[−1,3]恒成立，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(2x+2)−ln(2x+1)．
(1)求f(x)的值域；
(2)若关于x的不等式f(mx−1)−f(x2)+x2−mx+1≤0有解，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合M={x|x≥4}，N={x|x−1≤8}={x|x≤9}，
故M∩N=[4,9]．
故选：C．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为正数x，y满足xy=100，
所以x+y≥2 xy=20，当且仅当x=y=10时，等号成立，
故x+y的最小值是20．
故选：B．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=−1x,x>0x3,x⩽0，
则f(1)=−1，f(f(1))=f(−1)=−1．
故选：D．
根据已知条件，结合函数解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：设扇形弧长为l，圆心角为α，半径为r，则l=120，r=100，
∴120=100α，解得α=65．
故选：B．
根据弧长的计算公式即可求出圆心角∠AOB的值．
本题考查了扇形弧长的计算公式，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：当α=π2时，sinα=sinπ2=1；
当sinα=1时，α可能为5π2．
故“α=π2”可以推出“sinα=1”，“sinα=1”不能推出“α=π2”，
所以“α=π2”是“sinα=1”的充分不必要条件．
故选：A．
将“α=π2”与“sinα=1”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件．
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为函数y=x2与y=−36x3在(0,+∞)上都是单调递增，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．
又因为f(2)=4−92=−12<0，f(3)=9−43>0，所以f(2)f(3)<0，根据零点存在定理，得f(x)的零点所在区间为(2,3)．
故选：B．
利用函数的单调性，结合零点判断定理，求解即可．
本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
7.【答案】A
【解析】解：a=20.45>20.44=b>20=1，
则a>b>1，
c=lg8综上所述，a>b>c．
故选：A．
根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
本题主要考查指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：80℃的物块经过tmin后的温度θ1=20+60e−t4，
60℃的物块经过tmin后的温度θ2=20+10e−t4．
要使得两块物体的温度之差不超过10℃，则20+60e−t4−(20+40e−t4)≤10，
即e−t4≤12，
解得t≥4ln2=2.76．
故选：A．
根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：因为点(1,− 5)在第四象限，所以α是第四象限角，A正确；
tanα=− 51=− 5，B正确；
sinα=− 5 6=− 306，C错误；
csα=1 6= 66，D正确．
故选：ABD．
根据三角函数的定义即可得出正确的选项．
本题考查了三角函数的定义，象限角的定义，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A，当c=0时，A显然错误；
对于选项B，由糖水不等式可得B正确；
对于选项C，因为a0，C正确；
对于选项D，因为a所以b−a>0，ab>0，所以1a−1b=b−aab>0，D正确．
故选：BCD．
举出反例检验选项A，结合不等式的性质检验选项B，C，D即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：∵函数f(x)=lg2(mx−7)在[3,4]上单调递增，
∴t=mx−7在[3,4]上大于零且单调递增，∴m>03m−7>0，求得m>73．
则m的取值可以为4或5，
故选：CD．
由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，求得m的取值范围，从而得出结论．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于基础题．
12.【答案】ABC
【解析】解：定义域为R，f(−x)=a(−x)2+a=aa+x2=f(x)，所以f(x)是偶函数，A正确；
当a>1时，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，f(x)≥f(0)=aa>a>1，此时f(x)的图象与直线y=1没有交点．
当0令f(x)=ax2+a=a，则x2+a=1，即x2=1−a.若f(x)的图象与直线y=a有2个交点，则1−a>0，解得a<1，
所以a的取值范围是(0,1)，C正确．
由x2=1−a，解得x=± 1−a，
所以|AB|=2 1−a∈(0,2)，D错误．
故选：ABC．
由已知结合函数的奇偶性及单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数的单调性在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．
13.【答案】(−∞,14]
【解析】解：1−4x≥0，解得x≤14，
故函数f(x)的定义域为(−∞,14]．
故答案为：(−∞,14]．
根据已知条件，推得1−4x≥0，即可求解．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：∵f(x)=x4+(k−1)x3+1是偶函数，
∴f(−x)=f(x)，
∴2(k−1)x3=0，x不恒为0，
∴k−1=0，解得k=1．
故答案为：1．
依题意，可求得2(k−1)x3=0，从而可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
15.【答案】(6,1)
【解析】解：令6+x2x=1，得x=6，此时y=1，
所以点A的坐标为(6,1)．
故答案为：(6,1)．
由已知结合对数函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数图象的变换及对数函数的性质，属于基础题．
16.【答案】(−1,2)
【解析】解：∵f(x)=2x+m,x≥0h(x),x<0，
∴当x≥0时，f(x)=2x+m单调递增，
又f(x)为偶函数，
∴不等式f(2x−1)解得−1故答案为：(−1,2)．
依题意，知偶函数f(x)=2x+m在[0,+∞)上单调递增，原不等式可等价转化为f(|2x−1|)本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查等价转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵f(x)=(2a−5)xa为幂函数，
∴2a−5=1，
解得a=3，
∴f(x)=x3．
(2)g(x)=f(x)−1x为奇函数．
理由如下：
∴g(x)=x3−1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
且满足g(−x)=(−x)3−1(−x)=−x3+1x=−g(x)，
∴g(x)为奇函数．
【解析】(1)由幂函数的定义可知2a−5=1，求得a，可得答案；
(2)g(x)=f(x)−1x为奇函数，利用奇函数的定义可判断．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题．
18.【答案】解：(1)原式=23−1+(π−1)
=8−1+π−1=6+π．
(2)原式=lg16+2lg25−1=4lg2+4lg5−1
=4(lg2+lg5)−1
=4lg10−1=4−1=3．
【解析】由已知结合指数及对数的运算性质即可分别求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
19.【答案】解：(1)根据三角函数的定义，可得tanα=2mm=2；
(2)sin(−α)−sin(α−π2)cs(π−α)+cs(3π2−α)=−sinα+csα−csα−sinα=−tanα+1−1−tanα=−2+1−1−2=13．
【解析】(1)根据三角函数定义求值；
(2)根据诱导公式，同角函数关系即可．
本题考查三角函数定义，诱导公式，同角函数关系，属于基础题．
20.【答案】解：(1)根据题意知，当0≤x≤100时，f(x)=5100x，
当x>100时，f(x)=5%×100+lg6(x−100+1)x−100(x−100)=5+lg6(x−99)；
所以提成f(x)关于销售总额x的函数关系式为f(x)=5100x,0≤x≤1005+lg6(x−99),x>100；
(2)当0≤x≤100时，f(x)=5100x≤5%×100=5，
则该销售人员当月的销售总额必定超过100万元，
令5+lg6(x−99)≥7，得lg6(x−99)≥2，解得x≥135，
所以该销售人员当月的销售总额至少为135万元．
【解析】(1)根据题意，利用分段函数写出函数解析式；
(2)0≤x≤100时，f(x)≤5%×100，列不等式求解即可．
本题考查了分段函数应用问题，是中档题．
21.【答案】解：(1)当a>1时．f(x)=ax在[−1,3]上单调递增，
可得f(x)max=f(3)=a3=8，解得a=2；
当0可得f(x)max=f(−1)=a−1=8，解得a=18．
综上可得，实数a的值为18或2．
(2)方法一：由函数g(x)=30−x在[−1,3]上单调递减，
当a>1时，f(x)=ax在[−1,3]上单调递增，且g(−1)>f(−1)，
所以f(3)≤g(3)，即a3≤27，
又因为a>1，所以1方法二：由题意得，不等式f(x)≤30−x对x∈[−1,3]恒成立，
即ax+x≤30对x∈[−1,3]恒成立，
令g(x)=ax+x，x∈[−1,3]，
因为a>1，所以g(x)为增函数，所以g(x)max=g(3)=a3+3，所以a3+3≤30，
又因为a>1，解得1【解析】(1)根据题意，结合指数函数的性质，分类讨论，即可求解；
(2)方法一：由g(x)=30−x在[−1,3]上单调递减，转化为g(−1)>f(−1)，即可求解；
方法二：根据题意，转化为ax+x≤30对x∈[−1,3]恒成立，令g(x)=ax+x，x∈[−1,3]，结合函数的单调性，得到a3+3≤30，即可求解．
本题主要考查函数恒成立问题，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=ln(12x+1+1)，2x+1>1，所以12x+1∈(0,1)，12x+1+1∈(1,2)，
所以f(x)的值域为(0,ln2)．
(2)因为2x+1>0，y=2x+1是增函数．所以y=12x+1+1是减函数．
因为y=lnx是增函数，所以f(x)是减函数．
令函数g(x)=f(x)−x，则g(x)是减函数．
不等式f(mx−1)−f(x2)+x2−mx+1≤0，即f(mx−1)−(mx−1)≤f(x2)−x2，
则g(mx−1)≤g(x2)，所以mx−1≥x2，化简得x2−mx+1≤0，
因为关于x的不等式x2−mx+1≤0有解，所以Δ=m2−4≥0，解得m≤−2或m≥2，
所以m的取值范围是(−∞,−2]∪[2,+∞)．
【解析】(1)化简函数表达式，分离常数，判断函数的单调性，进而求函数值域；
(2)构造函数，明确函数单调性，把函数不等式转化为代数不等式，求参数的取值范围．
本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．销售人员个人每月销售额/万元
销售额的提成比例
不超过100万元的部分
5%
超过100万元的部分
lg6(b+1)b