必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时练习题

这是一份必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．在三角形ABC中，a＝4，b＝3，sin A＝eq \f(2,3)，则B＝( A )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)
[解析] 三角形ABC中，a＝4，b＝3，sin A＝eq \f(2,3)，
由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)⇒eq \f(4,\f(2,3))＝eq \f(3,sin B)⇒sin B＝eq \f(1,2)，
因为b故选A．
2．已知△ABC的面积为eq \f(3,2)，且b＝2，c＝eq \r(3)，则sin A＝( A )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),4) D．eq \r(3)
[解析] 由已知，得eq \f(3,2)＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×sin A，
∴sin A＝eq \f(\r(3),2).
3．在△ABC中，已知3b＝2eq \r(3)asin B，且cs B＝cs C，角A是锐角，则△ABC的形状是( D )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
[解析] 由3b＝2eq \r(3)asin B，得eq \f(b,sin B)＝eq \f(2\r(3)a,3)，根据正弦定理，得eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A)，所以eq \f(a,sin A)＝eq \f(2\r(3)a,3)，即sin A＝eq \f(\r(3),2).又角A是锐角，所以A＝60°.又cs B＝cs C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C．故△ABC为等边三角形，故选D．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acs B－bcs A＝c，且C＝eq \f(π,5)，则∠B＝( C )
A．eq \f(π,10) B．eq \f(π,5)
C．eq \f(3π,10) D．eq \f(2π,5)
[解析] 由题意结合正弦定理可得sin Acs B－sin Bcs A＝sin C，
即sin Acs B－sin Bcs A＝sin (A＋B)＝sin Acs B＋sin Bcs A，
整理可得sin Bcs A＝0，由于B∈(0，π)，故sin B>0，
据此可得cs A＝0，A＝eq \f(π,2)，
则B＝π－A－C＝π－eq \f(π,2)－eq \f(π,5)＝eq \f(3π,10).
故选C．
5．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为( A )
A．A>B
B．AC．A≥B
D．A，B的大小关系不确定
[解析] 设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵sin A>sin B，∴2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)，即a>b，故A>B．
二、填空题
6．已知△ABC外接圆半径是2 cm，∠A＝60°，则BC边长为 2eq \r(3) cm .
[解析] ∵eq \f(BC,sin A)＝2R，
∴BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝2eq \r(3)(cm)．
7．(2023·上海高一检测)在△ABC中，若AB＝2，∠B＝eq \f(5π,12)，∠C＝eq \f(π,4)，则BC＝ eq \r(6) .
[解析] ∵A＝π－B－C＝π－eq \f(5π,12)－eq \f(π,4)＝eq \f(π,3).由正弦定理得eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)，∴BC＝eq \f(AB·sin A,sin C)＝eq \f(2sin\f(π,3),sin\f(π,4))＝eq \r(6).
8．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则eq \f(sin B,sin C)的值为 eq \f(3,5) .
[解析] 由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cs 120°，整理得：
AC2＋5·AC－24＝0，解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，
再由正弦定理可得eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,5).
三、解答题
9．已知在△ABC中，a＝2eq \r(3)，b＝6，A＝30°，求△ABC中其他边与角的大小．
[解析] ∵A为锐角，bsin A＝6sin 30°＝3∴本题有两解，
∵sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2)，∴B＝60°或120°，
当B＝60°时，C＝90°，c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(2\r(3)sin 90°,sin 30°)＝4eq \r(3)；
当B＝120°时，C＝30°，c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(2\r(3)sin 30°,sin 30°)＝2eq \r(3)；
综上，B＝60°，C＝90°，c＝4eq \r(3)或B＝120°，C＝30°，c＝2eq \r(3).
10．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(sin A,a)＝eq \f(\r(3)cs C,c).
(1)求C的大小；
(2)如果a＋b＝6，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝4，求c的值．
[解析] (1)∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，eq \f(sin A,a)＝eq \f(\r(3)cs C,c)，
∴sin C＝eq \r(3)cs C．∴tan C＝eq \r(3).
又∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,3).
(2)∵eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝|eq \(CA,\s\up6(→))|·|eq \(CB,\s\up6(→))|cs C＝eq \f(1,2)ab＝4，∴ab＝8.
又∵a＋b＝6，由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab＝12，∴c＝2eq \r(3).
B 组·素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为( D )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),4)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3)＋1,4)
[解析] 由正弦定理，得c＝eq \f(asin C,sin A) ＝eq \r(2)，∵B＝180°－30°－45°＝105°，
sin 105°＝sin (60°＋45°)
＝sin 60°cs 45°＋cs 60°sin 45°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3)＋1,4).
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acs A＝bsin B，则sin Acs A＋cs2B＝( D )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C． －1 D． 1
[解析] ∵acs A＝bsin B，
∴sin Acs A＝sin 2B＝1－cs2B，
∴sin Acs A＋cs2B＝1.
3．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( C )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
D．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
[解析] 因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin B＝eq \f(16×sin 30°,8)＝1，又0°sin B，且c>b，所以C>B，故有两解，故B错误；因eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin B＝eq \f(25×\f(1,2),30)＝eq \f(5,12)又b故选C．
二、填空题
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq \r(2)，b＝2，sin B＋cs B＝eq \r(2)，则角A的大小为 eq \f(π,6) .
[解析] 由sin B＋cs B＝eq \r(2)，得
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))＝1，由B∈(0，π)，得B＝eq \f(π,4)，
由正弦定理，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(1,2)，又a5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2bcs B＝acs C＋ccs A，则B＝ eq \f(π,3) .
[解析] 由2bcs B＝acs C＋ccs A及正弦定理，
得2sin Bcs B＝sin Acs C＋sin Ccs A．
∴2sin Bcs B＝sin (A＋C)．
又A＋B＋C＝π，
∴A＋C＝π－B．
∴2sin Bcs B＝sin (π－B)＝sin B．
又sin B≠0，
∴cs B＝eq \f(1,2).
又∵0三、解答题
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cs C(acs B＋bcs A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝eq \r(7)，△ABC的面积为eq \f(3\r(3),2)，求△ABC的周长．
[解析] (1)由已知及正弦定理得，
2cs C(sin Acs B＋sin Bcs A)＝sin C，
即2cs Csin (A＋B)＝sin C．故2sin Ccs C＝sin C．
又C为△ABC的内角，
可得cs C＝eq \f(1,2)，所以C＝eq \f(π,3).
(2)由已知，eq \f(1,2)absin C＝eq \f(3\r(3),2).又C＝eq \f(π,3)，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcs C＝7.
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋eq \r(7).
C 组·探索创新
已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B，求eq \f(a,b)的取值范围．
[解析] 由于△ABC为锐角三角形，
则A，B，C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0由正弦定理得eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(sin 2B,sin B)＝2cs B∈(eq \r(2)，eq \r(3))．
故eq \f(a,b)的取值范围是(eq \r(2)，eq \r(3))．