北师大版数学九年级上册精品期末复习试卷（含详细解析）

这是一份北师大版数学九年级上册精品期末复习试卷（含详细解析），共85页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，点P等内容，欢迎下载使用。


A．c＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．a﹣b+c＜0
D．图象的对称轴是直线x＝3
2．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧AC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD．若∠ADC＝25°，则∠APB的度数是（ ）
A．85°B．80°C．50°D．40°
3．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2a（a≠0）的图象经过点A（1，n），B（3，n），且当x＝1时，y＞0．若M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．B．8C．10D．
5．在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（ ）
A．（2m，2n）
B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）
C．（m，n）
D．（m，n）或（﹣m，﹣n）
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若正六边形的周长是12，则它的边心距为（ ）
A．2B．C．D．
7．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数表达式为：y＝﹣（x﹣25）2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ）m．
A．12B．25C．13D．14
9．烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3sB．4sC．5sD．6s
10．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（ ）
A．8B．10C．11D．12
11．若将抛物线y＝2x2﹣3x+4向左平移5个单位所得抛物线与原抛物线关于一条直线对称，则这条直线是（ ）
A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝﹣D．x＝﹣4
12．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（ ）
A．4B．2C．D．2
二．填空题（共10小题）
13．某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是 元/件，才能在半月内获得最大利润．
14．如图，矩形纸片ABCD，AD：AB＝3：2，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，直线AA′交边CD于点G，则的值为 ．
15．公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝30t﹣5t2，司机应该至少在离前面以30km/h速度同向行驶的汽车 m时紧急刹车，才能不发生碰撞事故．
16．如图，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点A，点B，且与x轴的正半轴交于点C（1，0）．有以下结论：①抛物线的函数表达式为：y＝x2+x﹣2；②抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是；③动点D在线段OA上（点D与点O，点A不重合），动点E在线段AB上，且OD＝AE⋅sin45°，以DE为边作正方形DEFG，当点F恰好落在抛物线上，点G恰好落在y轴上时，则tan∠DGO＝2；④点H是第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AH，BH，当△ABH的面积最大时，则点H的坐标为（﹣1，﹣2）．其中正确的结论有 （只填写序号）．
17．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥y轴，BC⊥AB，垂足为点B，交y轴于点C，则△ABC的面积为 ．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，OE＝3，则AC的长为 ．
19．2023年9月29日开通沈阳地铁四号线，如图是某站地铁扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．小明乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时39秒到达扶梯顶端B，则小明上升的铅直高度BC为 米．
20．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是 ．
21．如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为 ．
22．如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝3OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为 ．
三．解答题（共38小题）
23．综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左则），与y轴交于点C，点D是抛物线的顾点．抛物线的对称轴交x轴于点E，点P是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m，点F的坐标为（0，﹣3），连接FP，FP分别与x轴，对称轴交于点G，H．
（1）求A，B，C三点的坐标并直接写出顶点D的坐标；
（2）当FG：GP＝6：5时．求点P的坐标；
（3）试探究：在点P运动过程中，是否存在点P，使得∠FHE＝135°，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点D从点B出发，沿BC以每秒1个单位的速度向点C运动；动点E同时从点C出发，沿CA以每秒1个单位的速度向点A运动，连接DE，设运动时间为t秒．
（1）在运动的过程中，当sin∠EDC＝时，则运动时间t的值为 ；
（2）当△CDE∽△CAB时，求t的值；
（3）设四边形ADBE的面积为y，求y与t的函数关系式，并求出当t为何值时，y有最小值，最小值是多少？
25．如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象交于A（a，4），B（﹣3，﹣2）两点，直线AB与x轴，y轴分别交于D，C两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求证：AD＝BC；
（3）点P是x轴正半轴上的一点，连接PA，PC，若S△PAC＝4，请直接写出点P的坐标．
26．某种服装平均每天销售20件，每件赢利30元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要赢利1200元，每件应降价多少元？
27．如图，为了测量某树AB的高度，小明在点C处测得树顶A的仰角为30°，他朝树前行10米到达点D处，又测得树顶A的仰角为60°，已知点A，B，C，D在同一平面内，求树AB的高度．（结果保留根号）
28．将抛物线y＝2x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出它的对称轴．
29．如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12．
（1）设点M的坐标为（m，n），求反比例函数的解析式；
（2）若AN＝，求直线MN的解析式．
30．数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30°（图中各点均在同一平面内）．
（1）求斜坡BC的长；
（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），
（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈，≈1.73）
31．列方程（组）解应用题
某社区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．求通道的宽是多少米．
32．如图，OM为一盏路灯的灯杆，该路灯的灯泡P位于灯杆OM上，小红（AB）和小颖（CD）都站在路灯的同侧，小颖在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处．已知O，B、C、E在同一条直线上，且MO⊥OE，AB⊥OE，DC⊥OE．
（1）请在图中画出路灯灯泡P的位置，并画出小红（AB）在灯泡P的照射下的影子BF（不必写出画法）；
（2）经测量OB＝2米，BF＝1米，小红（AB）的身高为1.6米，请你求出路灯灯泡距地面的高度OP的长．
33．一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为（3，6）．
（1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；
（2）求小球在斜坡上的落点A的垂直高度；
（3）若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高3.5米的广告牌，点B的横坐标为，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
（4）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．
34．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△AEG∽△BCH；
（2）如果AG＝DF，求证：BE2＝AB•AE．
35．为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是多少？
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．
36．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y是销售单价x的函数，其销售单价x，周销售量y，周销售利润w的三组对应值如下表：
（1）请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式；
（2）①请求出该商品的进价；
②若该公司想每周获利2000元，并尽可能让利给顾客，请求出此时该商品销售单价；
（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件商品向希望小学捐款10元，要使该公司在捐款后该商品每周获利最大，请求出周利润最大时，该商品的销售单价及此时每周的最大利润．（注：物价部门最新规定该商品每件的售价不得超过65元）
37．某书店在2023年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书标价为每本20元．该书店举行了国庆大回馈活动，课外阅读书连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本16.2元的价格售出，求课外阅读书每次降价的百分率．
38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
39．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y＝图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y＝的图象没有公共点．
40．如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为22°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为58°（A，B，C三点在一条直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
41．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
42．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0．
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）在（1）的结论下，若m取最小整数，求此时方程的两个根．
43．￢如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC，AD，CD．
（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为，tan∠BDC＝，求AC的长．
44．某校积极开展“阳光体育”活动，并开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了了解学生最喜爱哪一种项目（每名学生必选且只能选择一个项目），随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．学生最喜爱的项目扇形统计图
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角度数为 度；
（4）该校共有800名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少名？
45．2017年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2019年，家庭年人均纯收入达到了3600元．若该贫困户家庭每年人均纯收入的平均增长率都相同．
（1）求该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2020年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．
（1）填空：点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点D的坐标为 ．
（2）连接BC，BD，CD，求tan∠BCD的值．
（3）点P是抛物线上一点，且∠PAB＝∠BCD，将抛物线向右平移m个单位（m＞0），使平移后的抛物线经过点P，请直接写出平移的距离．
47．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
48．去年某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．求口罩日产量的月平均增长率．
49．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
50．如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．
51．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求sin∠DAB．
52．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
53．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．
54．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）．
（1）求出二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a，b满足4＜a+|b|＜9，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下且a＞0，当t≤x≤t+1时有最小值，求t的值．
55．已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG•CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求的最小值．
56．如图，点D在反比例函数y＝（k＞0）上，点C在x轴的正半轴上且坐标为（4，O），△ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B为横坐标为1的反比例函数图象上的一点，BA、BE分别垂直x轴和y轴，垂足分别为点A和点E，连接OB，将四边形OABE沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与y轴交于点F．求直线BA′的解析式；
（3）求一点P坐标，使点P、A′、A、O为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出P点坐标）
57．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，AB＝4，求平行四边形OABC的面积．
58．某演艺大厅有2个入口和3个出口，其示意图如下，参观者从任意一个入口进入，参观结束后从任意一个出口离开
（1）用树状图表示，小明从进入到离开，对于入口和出口的选择有多少种不同的结果？
（2）小明从入口A进入并从出口1离开的概率是多少？
59．在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝AD．
求证：∠BAE＝∠CDF．
60．某文具店出售一种文具，每个进价为2元，根据长期的销售情况发现：这种文具每个售价为3元时，每天能卖出500个，如果售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．物价局规定售价不能超过进价的240%．
（1）如果这种文具要实现每天800元的销售利润，每个文具的售价应是多少？
该如何定价，才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？
坚持住！坚持住！
永远不要被一瞬间的
妄念迷惑住！
要在意做正确的事，然后时间会给自己带来
所有好的结果！
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（ ）
A．c＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．a﹣b+c＜0
D．图象的对称轴是直线x＝3
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】D
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
②抛物线与x轴交点个数．
Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【解答】解：A．由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，故A错误；
B．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2﹣4ac＞0，故B错误；
C．当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故C错误；
D．因为A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线x＝＝3，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
2．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧AC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD．若∠ADC＝25°，则∠APB的度数是（ ）
A．85°B．80°C．50°D．40°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【答案】B
【分析】连接OB，OA，根据切线的性质可得∠OBP＝∠OAP＝90°，根据圆周角定理求出∠AOP，进而求出∠APO，利用HL证明Rt△APO≌Rt△BPO，从而可得∠APB的度数．
【解答】解：连接OB，OA，
∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∵∠ADC＝25°，
∴∠AOP＝50°，
∴∠APO＝40°．
∵PO＝PO，OB＝OA，
∴Rt△BPO≌Rt△APO（HL），
∴∠BPO＝∠APO＝40°，
∴∠APB＝40°+40°＝80°．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
3．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2a（a≠0）的图象经过点A（1，n），B（3，n），且当x＝1时，y＞0．若M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】C
【分析】根据点A（1，n），B（3，n），确定函数的对称轴x＝2，抛物线与y轴的交点确定a的符号，再结合函数图象，确定点M、N、P到对称轴的距离，进而求解．
【解答】解：∵当x＝1时，y＞0．
∴n＞0，
又∵经过点A（1，n），B（3，n），
∴x＝2是函数的对称轴，
令x＝0时，函数与y轴交点（0，﹣2a），
当a＞0时，﹣2a＜0，不符合题意；
∴a＜0，
∴M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）到对称轴的距离从远即近为P，M，N，
∴y2＞y1＞y3，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的性质，数形结合解题是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．B．8C．10D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【答案】D
【分析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC＝90°，根据勾股定理得到AE＝＝4，根据矩形的性质得到AD＝BC，根据全等三角形的性质得到BH＝AE＝4，求得AF＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，
∴∠BHC＝90°，
∵点D（﹣2，3），AD＝5，
∴DE＝3，
∴AE＝＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠DCH，
∵∠DCP+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，
∠CPD＝∠APO，
∴∠DCP＝∠DAE，
∴∠CBH＝∠DAE，
∵∠AED＝∠BHC＝90°，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴BH＝AE＝4，
∵OE＝2，
∴OA＝2，
∴AF＝2，
∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴，
∴＝，
∴BF＝，
∴B（4，），
∴k＝，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（ ）
A．（2m，2n）
B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）
C．（m，n）
D．（m，n）或（﹣m，﹣n）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【答案】B
【分析】回顾位似的两种类型，有A型或者X型；所以给点P的坐标乘±2，即为（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），化简即可．
【解答】解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），即（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）．
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形性质和位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若正六边形的周长是12，则它的边心距为（ ）
A．2B．C．D．
【考点】正多边形和圆．
【答案】C
【分析】根据圆内接正六边形的性质求出边长AB，再根据垂径定理求出AM，由勾股定理求出OM即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OM⊥AB于点M，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∴AB＝OA＝OB＝＝2，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝1，
∴OM＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形和圆，垂径定理、勾股定理，掌握正六边形的性质，垂径定理，勾股定理是正确解答的前提．
7．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点以及过特殊点时，相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝1，过（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝1时，y＝a+b+c，即（1，a+b+c）为最高点，因此①正确；
∵当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴②不正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故③正确；
由图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0，当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，因此④不正确；
综上所述，正确的有：①③，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，掌握抛物线的位置与相应的系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
8．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数表达式为：y＝﹣（x﹣25）2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ）m．
A．12B．25C．13D．14
【考点】二次函数的应用．
【答案】A
【分析】根据二次函数的顶点坐标即可求解．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣25）2+12，
顶点坐标为（25，12），
∵﹣＜0，
∴当x＝25时，y有最大值，最大值为12．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用二次函数的顶点坐标求最值．
9．烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3sB．4sC．5sD．6s
【考点】二次函数的应用．
【答案】B
【分析】将关系式h＝﹣t2+20t+1化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．
【解答】解：∵h＝﹣t2+20t+1，
∴h＝﹣（t﹣4）2+41，
∴当t＝4秒时，礼炮达到最高点爆炸．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的解析式一般式化为顶点式的运用，二次函数的性质的运用，解答时化为顶点式是关键．
10．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（ ）
A．8B．10C．11D．12
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【答案】A
【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．
【解答】解：作直径CF，连接BF，如图，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴＝，
∴DE＝BF＝6，
∴BC＝＝8．
解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．
∵AM⊥BC，AN⊥DE，
∴CM＝MB，DN＝NE＝3，
∵AC＝AB＝AD＝AE，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，
∴∠CAM+∠DAN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠DAN，
∵∠AMC＝∠AND＝90°，
∴△AMC≌△DNA（AAS），
∴AM＝DN＝3，
∴CM＝＝＝4，
∴BC＝2CM＝8．
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．
11．若将抛物线y＝2x2﹣3x+4向左平移5个单位所得抛物线与原抛物线关于一条直线对称，则这条直线是（ ）
A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝﹣D．x＝﹣4
【考点】二次函数图象与几何变换．
【答案】B
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线解析式，根据新抛物线解析式来解答．
【解答】解：y＝2x2﹣3x+4＝2（x﹣）2+，则该抛物线左平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝2（x﹣+5）2+＝2（x+）2+，
则x＝＝﹣，
故选：B．
【点评】此题考查了函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
12．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（ ）
A．4B．2C．D．2
【考点】垂径定理；圆周角定理．
【答案】D
【分析】根据垂径定理得到CH＝BH，＝，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴CH＝BH，＝，
∴∠AOB＝2∠CDA＝60°，
∴BH＝OB•sin∠AOB＝，
∴BC＝2BH＝2，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
13．某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是 35 元/件，才能在半月内获得最大利润．
【考点】二次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设销售单价为x元，销售利润为y元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得：
y＝（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]
＝（x﹣20）（1000﹣20x）
＝﹣20x2+1400x﹣20000
＝﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴x＝35时，y有最大值，
故答案为35．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题
14．如图，矩形纸片ABCD，AD：AB＝3：2，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，直线AA′交边CD于点G，则的值为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【答案】．
【分析】过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，利用两角对应相等求证△ADG∽△FHE，即可求出的值．
【解答】解：过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示：
由折叠A与A'对应易知：∠AOE＝90°，
∵∠EAO+∠AEO＝90°，
∠EAO+∠AGD＝90°，
∴∠AEO＝∠AGD，即∠FEH＝∠AGD，
又∵∠ADG＝∠FHE＝90°，
∴△ADG∽△FHE，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查翻折变换，矩形性质以及相似三角形判定与性质，本题通过翻折变换推出∠AOE＝90°进而利用角进行转化求出△ADG∽△FHE是解题的关键．
15．公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝30t﹣5t2，司机应该至少在离前面以30km/h速度同向行驶的汽车 20 m时紧急刹车，才能不发生碰撞事故．
【考点】二次函数的应用．
【答案】20．
【分析】由题意，把二次函数解析式化为顶点式，即可得汽车滑行的最大距离及所需要用的时间，再求出相同时间内，以30km/h行驶的汽车行驶的距离，即可求出问题．
【解答】解：由题意，该函数关系式化简为s＝﹣5（t﹣3）2+45，，
∵当t＝3时，汽车的最大滑行距离是45m，司机前面的汽车行驶的距离是，
∴司机离同行的汽车的最短距离为：45﹣25＝20m，
故答案为：20．
【点评】本题考查了二次函数的应用−最值问题，理解题意，把函数关系式化为顶点式是解题的关键．
16．如图，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点A，点B，且与x轴的正半轴交于点C（1，0）．有以下结论：①抛物线的函数表达式为：y＝x2+x﹣2；②抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是；③动点D在线段OA上（点D与点O，点A不重合），动点E在线段AB上，且OD＝AE⋅sin45°，以DE为边作正方形DEFG，当点F恰好落在抛物线上，点G恰好落在y轴上时，则tan∠DGO＝2；④点H是第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AH，BH，当△ABH的面积最大时，则点H的坐标为（﹣1，﹣2）．其中正确的结论有 ①②④ （只填写序号）．
【考点】抛物线与x轴的交点；正方形的性质；解直角三角形；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【答案】①②④．
【分析】利用待定系数法求出二次函数表达式并求出顶点坐标即可判断①②，构造正方形，利用三角形两次全等得到四边形OMNP是正方形根据∠DGO的正切值判断③不正确，利用二次函数求面积的最值解答判断④正确即可．
【解答】解：直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当x＝0时，y＝﹣2，即B（0，﹣2），
当y＝0时，x＝﹣2，即A（﹣2，0），
设抛物线表达式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）代入：
，
解得：，
∴y＝x2+x﹣2，
故①正确；
∵，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，
故②正确；
如图，过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥y轴于点P，交EM于点N，
∵A（﹣2，0），B（0，﹣2），
∴OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴AM＝ME＝AEsin45°，
∵OD＝AE⋅sin45°，
∴AM＝ME＝OD，
∵正方形DEFG，
∴DE＝EF＝FG＝GD，∠DEF＝90°，
∵，
∴△GOD≌△DME（HL），
∴MD＝OG，
∵∠DEF＝90°，
∴∠MDE+∠MED＝90°，∠NEF+∠MED＝90°，
∴∠MDE＝∠NEF
∵，
∴△MDE≌△NEF（AAS），
∴MD＝NE，ME＝NF，
同理可证，EN＝FP，PG＝NF，GO＝FP，PG＝OD，
∴OM＝MN＝NP＝OP，
∴四边形OMNP是菱形，
∵∠POM＝90°，
∴四边形OMNP是正方形，
设AM＝ME＝OD＝NF＝PG＝a，
∴DM＝EN＝FP＝OG＝2﹣2a，OM＝MN＝NP＝OP＝2﹣a
∵点F在第三象限，
∴F（2a﹣2，a﹣2），
∵点F在y＝x2+x﹣2上，
∴a﹣2＝（2a﹣2）2+2a﹣2﹣2，
整理得4a2﹣7a+2＝0，
解得，
故，
∴，或（舍去），
∴，
故③错误；
过点H作y轴的平行线，交AB于Q，设H（m，m2+m﹣2），则Q（m，﹣m﹣2），则HQ＝﹣m﹣2﹣m2﹣m+2＝﹣（m2+2m），
∴S△HAB＝S△HAQ+S△BHQ
＝
＝
＝
＝
＝﹣（m2+2m）
＝﹣（m+1）2+1，由此可得，
当m＝﹣1，S△BAH最大为1，
当m＝﹣1时，m2+m﹣2＝﹣2，
∴H（﹣1，﹣2）．
故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查二次函数，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，熟练掌握抛物线的性质，最值是解题的关键．
17．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥y轴，BC⊥AB，垂足为点B，交y轴于点C，则△ABC的面积为 2.5 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】2.5．
【分析】设则，，从而得出，BC＝m，最后根据三角形面积计算即可
【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上，
∴设，
∵点B在反比例函数的图象上，且AB∥y轴，BC⊥AB，垂足为点B，交y轴于点C，
∴，，
∴，BC＝m，
∴，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了坐标与图形、反比例函数的图象上的点的坐标特征，用字母表示出各点的坐标是解此题的关键．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，OE＝3，则AC的长为 6 ．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【答案】6．
【分析】由四边形ABCD是菱形，则有AB＝BC，OB＝OD，再根据等边三角形和中位线性质定理即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，OB＝OD，
∵∠ABC＝60°，E为AD的中点，
∴△ABC是等边三角形，，
∴AC＝AB＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
19．2023年9月29日开通沈阳地铁四号线，如图是某站地铁扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．小明乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时39秒到达扶梯顶端B，则小明上升的铅直高度BC为 7.5 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【答案】7.5．
【分析】由i＝5：12可得，设BC＝5k，AC＝12k，根据勾股定理求出AB＝13k，再根据AB长度求出k值，即可求解．
【解答】解：由题意知AB＝39×0.5＝19.5（米），
∵扶梯AB的坡度i＝5：12，
∴，
设BC＝5k米，AC＝12k米，
则（米），
∴，
∴BC＝5×1.5＝7.5（米），
故答案为：7.5．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．
20．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是 ．
【考点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】设BF与CE相交于点H，利用△BCH和△BGF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CH，再求出DH，然后求出AB、GF之间的距离，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，设BF与CE相交于点H，
∵CE∥GF，
∴△BCH∽△BGF，
∴＝，
即＝，
解得CH＝，
∴DH＝CD﹣CH＝2﹣＝，
∵∠A＝120°，
∴AB、GF之间的距离＝（2+3）×＝，
∴阴影部分的面积＝××＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，观察图形把阴影部分的面积分成等底的两个三角形求解是解题的关键．
21．如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为 ﹣2＜x＜0或x＞1 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
则不等式ax+b＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
22．如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝3OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为 ﹣9 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A（x，），由条件证得△AOC∽△OBD，从而可表示出B点坐标，则可求得关于k的方程，可求得k的值．
【解答】解：∵点A是反比例函数y＝（x＜0）上的一个动点，
∴可设A（x，），
∴OC＝﹣x，AC＝﹣，
∵OB⊥OA，
∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，
∴△AOC∽△OBD，
∵OB＝3OA，
∴＝＝＝，
∴OD＝3AC＝﹣，BD＝3OC＝﹣3x，
∴B（﹣，3x），
∵点B在反比例函数y＝图象上，
∴k＝﹣×3x＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用A点坐标表示出B点坐标是解题的关键．
三．解答题（共38小题）
23．综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左则），与y轴交于点C，点D是抛物线的顾点．抛物线的对称轴交x轴于点E，点P是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m，点F的坐标为（0，﹣3），连接FP，FP分别与x轴，对称轴交于点G，H．
（1）求A，B，C三点的坐标并直接写出顶点D的坐标；
（2）当FG：GP＝6：5时．求点P的坐标；
（3）试探究：在点P运动过程中，是否存在点P，使得∠FHE＝135°，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），；
（2）；
（3）存在，m的值为：．
【分析】（1）利用函数解析式求出当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝4；以及顶点坐标公式，即可得出答案；
（2）作PM⊥x轴于点M，通过证明△FGO∽△PGM可得出：．即可得出．当时，求出x1＝﹣1（舍去），x2＝3，即可得出点P的坐标．
（3）由∠FHE＝135°，可得∠EHG＝45°，故∠EGF＝45°，∠OFG＝45°，可得OG＝OF＝3，即可得出设直线FG的解析式为：y＝x﹣3，结合，即可得出m的值．
【解答】解：（1）由得，
当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）；
当y＝0时，，解得：x1＝﹣2，x2＝4．
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0）．
∴点D的坐标为．
（2）作PM⊥x轴于点M，则∠PMG＝90°，
∴∠FOG＝∠PMG＝90°．
又∵∠FGO＝∠PGM．
∴△FGO∽△PGM，
∴．
∴
∴．
当时，，
∴x1＝﹣1（舍去），x2＝3，
∴m＝3，
∴点P的坐标为．
（3）存在点P，使得∠FHE＝135°，理由如下：
∵∠FHE＝135°，
∴∠EHG＝45°，
∵∠HEG＝90°，
∴∠EGF＝45°，
∵∠GOF＝90°，
∴∠OFG＝45°，
∴∠OFG＝∠OGF＝45°，
∴OG＝OF，
∵F（0，﹣3），
∴OF＝3，
∴OG＝3，
∴G（3，0），
设直线FG的解析式为y＝kx+b，
把G（3，0），F（0，﹣3）代入y＝kx+b得：，
∴，
∴y＝x﹣3，
∴，
∴，
∴，
∵点P是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，点P的横坐标为m，
∴．
故存在点P，使得∠FHE＝135°，m的值为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形、特殊角的存在性问题，掌握二次函数的性质，灵活构造图形是解题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点D从点B出发，沿BC以每秒1个单位的速度向点C运动；动点E同时从点C出发，沿CA以每秒1个单位的速度向点A运动，连接DE，设运动时间为t秒．
（1）在运动的过程中，当sin∠EDC＝时，则运动时间t的值为 ；
（2）当△CDE∽△CAB时，求t的值；
（3）设四边形ADBE的面积为y，求y与t的函数关系式，并求出当t为何值时，y有最小值，最小值是多少？
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）；
（2）；
（3），4，16．
【分析】（1）根据题意，在Rt△CDE中，CE＝t，CD＝BC﹣BD＝8﹣t，有勾股定理得到，由列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）中得到的CE＝t，CD＝BC﹣BD＝8﹣t，直接根据△CDE∽△CAB列出比例式求解即可得到答案；
（3）根据题中图形得到y＝S△ABC﹣S△CDE，利用三角形面积公式代值求解，再由二次函数性质求出最值即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可知，在Rt△CDE中，CE＝t，CD＝BC﹣BD＝8﹣t，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即或，
解得或t＝﹣8（负值，舍弃），
故答案为：；
（2）解：由（1）可知DC＝8﹣t，CE＝t，
∵△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴；
（3）∵y＝S△ABC﹣S△CDE＝CB•CA﹣CD•CE＝＝＝，
∵，开口向上，函数有最小值，
∴当t＝4时，y最小值＝16．
【点评】本题考查三角形背景下动点综合问题，涉及勾股定理、三角函数、相似三角形性质、图形面积及二次函数性质，本题难度不大，综合性强，熟练掌握勾股定理求线段长、三角函数求线段长、相似三角形性质求线段长、图形面积表示及二次函数最值求法是解决问题的关键．
25．如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象交于A（a，4），B（﹣3，﹣2）两点，直线AB与x轴，y轴分别交于D，C两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求证：AD＝BC；
（3）点P是x轴正半轴上的一点，连接PA，PC，若S△PAC＝4，请直接写出点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】（1），；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）将点B（﹣3，﹣2）代入反比例函数求得m＝6，进而将点A（a，4），代入得出，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解；
（2）方法一：作AM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，证明△ADM≌△CBN，根据全等三角形的性质，即可得证；
方法二：作AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，证明△ACM≌△DBN，根据全等三角形的性质，即可得证；
方法三：得出点C的坐标为（0，2）；点D的坐标为，根据勾股定理求得AD，BC，即可得证；
（3）设P（x，0）（x＞0），根据三角形面积列出方程，解方程即可求解．
【解答】（1）解：∵点B（﹣3，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴m＝﹣3×（﹣2）＝6．
∴反比例函数的表达式为．
∵点A（a，4）在反比例函数的图象上，
∴．
∴点A的坐标为点．
将点代入y＝kx+b中，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）证明：方法一：作AM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，
则．∠AMD＝∠BNC＝90°，
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，．
∴点C的坐标为（0，2）；点D的坐标为，
∴．
∴CN＝OC+ON＝4，DN＝OD+OM＝3．
∴AM＝CN＝4，BN＝DM＝3．
在△ADM与△CBN中，
，
∴△ADM≌△CBN（SAS）．
∴AD＝BC．
方法二：作AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，
则．∠AMC＝∠BND＝90°，
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，．
∴点C的坐标为（0，2）；点D的坐标为．
∴．
∴CM＝OM﹣OC＝4﹣2＝2．
∴．
∴．
在△ACM与△DBN中，
，
∴△ACM≌△DBN（SAS），
∴BD＝AC，
∴BD+CD＝AC+CD．
即：AD＝BC；
方法三：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，，
∴点C的坐标为（0，2）；点D的坐标为．
∵．．
∴AD＝BC；
（3）解：∵点C的坐标为（0，2），点D的坐标为，点A的坐标为点，S△PAC＝4，
设P（x，0）（x＞0），
∴，
∴，
解得：，
∴P．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握以上知识是解题的关键．
26．某种服装平均每天销售20件，每件赢利30元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要赢利1200元，每件应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】每件应降价6元．
【分析】根据题意，设每件降价x元，由等量关系列出方程（30﹣x）（20+5x）＝1200，解一元二次方程，由每件降价幅度不超过10元的情况下，进行取舍即可得到答案．
【解答】解：设每件降价x元，
根据题意可得：（30﹣x）（20+5x）＝1200，
化简得：x2﹣26x+120＝0，
解得x1＝20，x2＝6，
∵20＞10，
∴x＝20舍去，
答：每件应降价6元．
【点评】本题考查一元二次方程解实际应用题，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．
27．如图，为了测量某树AB的高度，小明在点C处测得树顶A的仰角为30°，他朝树前行10米到达点D处，又测得树顶A的仰角为60°，已知点A，B，C，D在同一平面内，求树AB的高度．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【答案】米．
【分析】根据解直角三角形的方法，即可求解．
【解答】解：方法一：设AB＝x米，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，
∵，
∴，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵，
∴，
∵CD＝BC﹣BD，
∴，
∴，
答：树AB的高度为米．
方法二：∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠C＝30°，∠ADB＝60°，
∴∠CAD＝∠C＝30°，
∴AD＝CD＝10，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，
∵，
∴，
答：树AB的高度为米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意和图形，采用适当的方法解直角三角形是解决本题的关键．
28．将抛物线y＝2x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出它的对称轴．
【考点】二次函数的性质；二次函数的三种形式．
【答案】抛物线的对称轴为直线x＝1．
【分析】运用配方法将抛物线解析式整理为二次函数的顶点式即可得出答案．
【解答】解：y＝2x2﹣4x+1
＝2（x2﹣2x）+1
＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1
＝2（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握配方法是解本题的关键．
29．如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12．
（1）设点M的坐标为（m，n），求反比例函数的解析式；
（2）若AN＝，求直线MN的解析式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】（1）y＝（x≠0），
（2）y＝﹣x+．
【分析】（1）过M作MH⊥x轴于H，如图，因为MH∥AB，则△OMH∽△OAB，又因为M为斜边OA的中点，则＝（）2＝，即＝，推出S△OMH＝3，得出＝3，则k＝±6，因为k＞0，得出k＝6，即可知反比例函数关系式；
（2）设OB＝m，则N（m，），则AB＝+，又因为S△AOB＝12，则m（+）＝12，解得m＝4，得出N（4，），又因为OH＝OB，则OH＝2，在y＝中，令x＝2得y＝3，得出M坐标，由MN的坐标得直线M、N解析式为y＝﹣x+．设直线MN解析式为y＝mx+n，用待定系数法即可得到答案．
【解答】解：（1）过M作MH⊥x轴于H，如图：
∵MH∥AB，
∴△OMH∽△OAB，
∵M为斜边OA的中点，
∴＝（）2＝，即＝，
∴S△OMH＝3，
∴＝3，
∴k＝±6，
∵k＞0，
∴k＝6；
∴y＝（x≠0），
（2）设OB＝m，则N（m，），
∴AB＝+，
∵S△AOB＝12，
∴m（+）＝12，
解得m＝4，
∴N（4，），
∵OH＝OB，
∴OH＝2，
在y＝中，令x＝2得y＝3，
∴M（2，3），
由M（2，3），N（4，）得直线MN解析式为y＝﹣x+．
【点评】本题考查反比例函数综合知识，涉及反比例函数的图象及解析式、一次函数解析式、三角形面积等知识，解题的关键是用含未知数的代数式表示相关点的坐标和线段长度．
30．数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30°（图中各点均在同一平面内）．
（1）求斜坡BC的长；
（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），
（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈，≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可得：∠CAE＝15°，AB＝30米，根据三角形的外角可求出∠ACB＝15°，从而可得AB＝BC＝30米，即可解答；
（2）在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出CE，BE的长，再在Rt△DEB中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
∠CAE＝15°，AB＝30米，
∵∠CBE是△ABC的一个外角，
∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，
∴∠ACB＝∠CAE＝15°，
∴AB＝BC＝30米，
∴斜坡BC的长为30米；
（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，
∴CE＝BC＝15（米），
BE＝CE＝15（米），
在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，
∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），
∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），
∴这棵大树CD的高度约为20米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
31．列方程（组）解应用题
某社区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．求通道的宽是多少米．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】6米．
【分析】设通道的宽是x米，则铺花砖的部分可合成长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣2x）米的长方形，根据铺花砖的面积为640平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设通道的宽是x米，则铺花砖的部分可合成长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣2x）米的长方形，
根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，
整理得：x2﹣40x+204＝0，
解得：x1＝6，x2＝34（不符合题意，舍去）．
答：通道的宽是6米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
32．如图，OM为一盏路灯的灯杆，该路灯的灯泡P位于灯杆OM上，小红（AB）和小颖（CD）都站在路灯的同侧，小颖在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处．已知O，B、C、E在同一条直线上，且MO⊥OE，AB⊥OE，DC⊥OE．
（1）请在图中画出路灯灯泡P的位置，并画出小红（AB）在灯泡P的照射下的影子BF（不必写出画法）；
（2）经测量OB＝2米，BF＝1米，小红（AB）的身高为1.6米，请你求出路灯灯泡距地面的高度OP的长．
【考点】作图—应用与设计作图；相似三角形的应用；中心投影．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）4.8米．
【分析】（1）连接ED并延长交OM于点P，连接PA并延长交OE于F，点P和BF即为所求；
（2）先求出OF＝6米，证明△ABF∽△POF，得到，即，则PO＝6米．
【解答】解：（1）如图所示，点P和BF即为所求；
（2）∵OB＝2米，BF＝1米，
∴OF＝OB+BF＝3米，
∵MO⊥OE，AB⊥OE，即PO∥AB，
∴△ABF∽△POF，
∴＝，即＝，
∴PO＝4.8米，
∴路灯灯泡距地面的高度OP的长为4.8米．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
33．一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为（3，6）．
（1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；
（2）求小球在斜坡上的落点A的垂直高度；
（3）若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高3.5米的广告牌，点B的横坐标为，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
（4）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．
【考点】二次函数的应用．
【答案】（1）；
（2）米；
（3）能飞过，理由见解析过程；
（4）米．
【分析】（1）依题意，设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+6，待定系数法求解析式即可求解；
（2）联立一次函数与二次函数解析式，求得点A的纵坐标，即可求解；
（3）依题意，将分别代入一次函数与二次函数解析式，其函数值作差即可求解；
（4）根据题意，设最大高度为h，得出h与x的函数关系，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵小球到达的最高的点坐标为（3，6），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+6，
把（0，0）代入得，0＝a（0﹣3）2+6，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解方程，
解得：x1＝0，，
在中，当时，，
∴，
∴小球在斜坡上的落点A的垂直高度为米；
（3）当时，在中，，
在中，，
∵，
∴小球M能飞过广告牌；
（4）设小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度为h，则：，
∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，求得二次函数的解析式是解题的关键．
34．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△AEG∽△BCH；
（2）如果AG＝DF，求证：BE2＝AB•AE．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）证明△CDF≌△CBE（SAS），得出∠DCF＝∠BCE，则∠DCG＝∠BCH，根据平行线的性质得出∠AEG＝∠DCG，∠EAG＝∠D，进而得出∠AEG＝∠BCH，∠EAG＝∠B，即可证明△AEG∽△BCH；
（2）根据菱形的性质得出AG∥BC，证明△AEG∽△BEC，得出，根据AG＝DF，AB＝BC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B．
∵DF＝BE，
∴△CDF≌△CBE（SAS）．
∴∠DCF＝∠BCE．
∴∠DCG＝∠BCH．
∵CD∥BH，
∴∠AEG＝∠DCG，∠EAG＝∠D．
∴∠AEG＝∠BCH，∠EAG＝∠B．
∴△AEG∽△BCH．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AG∥BC，BC＝AB．
∴△AEG∽△BEC．
∴．
又AG＝BE，AB＝BC，
∴BE2＝AB•AE．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
35．为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是多少？
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）通过列表展示所有12种等可能的结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率＝；
（2）列表如下：
由表可知共有12种等可能的结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种，
所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
36．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y是销售单价x的函数，其销售单价x，周销售量y，周销售利润w的三组对应值如下表：
（1）请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式；
（2）①请求出该商品的进价；
②若该公司想每周获利2000元，并尽可能让利给顾客，请求出此时该商品销售单价；
（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件商品向希望小学捐款10元，要使该公司在捐款后该商品每周获利最大，请求出周利润最大时，该商品的销售单价及此时每周的最大利润．（注：物价部门最新规定该商品每件的售价不得超过65元）
【考点】二次函数的应用．
【答案】（1）y＝﹣2x+200；
（2）①30元；②50元；
（3）65元，1750元．
【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法求解即可；
（2）①设该商品进价为a元，从表格中选择1列数据列一元一次方程，即可求解；②设此时该商品销售单价为m元，则周销量为（﹣2m+200）件，根据售价、进价、销量、利润之间的关系列一元二次方程，解方程即可；
（3）列出w关于x的二次函数解析式，变形为顶点式，结合x的取值范围求出w的最值即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
将（60，80）和（70，60）代入y＝kx+b，得，
解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200；
（2）①由表格知，x＝60时，y＝80，w＝2400，
设该商品进价为a元，
则80×（60﹣a）＝2400，
解得a＝30，
即该商品进价为30元；
②设此时该商品销售单价为m元，
则（﹣2m+200）（m﹣30）＝2000，
整理得m2﹣130m+4000＝0，
解得m1＝50，m2＝80，
∵每件的售价尽可能让利给顾客，
∴此时该商品销售单价为50元；
（3）由题意知，w＝（﹣2x+200）（x﹣30﹣10）＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴w关于x的函数图象开口向下，当x＜70时，w随x的增大而增大，
又∵每件的售价不得超过65元，
∴当x＝65时，w取最大值，
，
即周利润最大时，该商品的销售单价为65元，每周的最大利润为1750元．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，关键是掌握利用待定系数法求一次函数解析式．
37．某书店在2023年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书标价为每本20元．该书店举行了国庆大回馈活动，课外阅读书连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本16.2元的价格售出，求课外阅读书每次降价的百分率．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】10%．
【分析】设课外阅读书每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设课外阅读书每次降价的百分率为x，
依题意得：20（1﹣x）2＝16.2，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：课外阅读书每次降价的百分率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，确定点A、B、C的坐标；即可求解；
（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；
（3）△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，
而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；
则y＝a（x+4）（x﹣）＝a（x2+x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；
（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，
当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（﹣，﹣2）；
（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，
设P（x，x2+﹣2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2，
则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝×4×（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣2（x+2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性，但较为容易．
39．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y＝图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y＝的图象没有公共点．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），将（2，3）代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，联立①②即可求解；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，联立①③并整理得：kx2+5x﹣6＝0，则△＝25+24k＜0，解得：k＜﹣，即可求解．
【解答】解：（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），
将（2，3）代入反比例函数表达式并解得：k＝2×3＝6，
故反比例函数表达式为：y＝①；
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，
联立①②并解得：，
故交点坐标为（﹣2，﹣3）和（3，2）；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，
联立①③并整理得：kx2+5x﹣6＝0，
∵两个函数没有公共点，故△＝25+24k＜0，解得：k＜﹣，
故可以取k＝﹣2（答案不唯一），
故一次函数表达式为：y＝﹣2x+5（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
40．如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为22°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为58°（A，B，C三点在一条直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】在Rt△BDC中，根据三角函数的定义得到1.60＝，求得BC＝，在Rt△ACD中，根据三角函数的定义得到0.40＝，求得AC＝，列方程即可得到结论．
【解答】解：在Rt△BDC中，
∵tan∠DBC＝，
∴1.60＝，
∴BC＝，
在Rt△ACD中，
∵tan∠DAC＝，
∴0.40＝，
∴AC＝，
∴AB＝AC﹣BC≈﹣＝30，
解得：CD＝16（米），
答：建筑物CD的高度为16米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．
41．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，由OB＝OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得出BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，由勾股定理得BM＝13，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，
∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
42．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0．
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）在（1）的结论下，若m取最小整数，求此时方程的两个根．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）由Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得：m＞；
（2）由（1）可知m＝﹣1，
∴原方程化为x2﹣x＝0，
∴x＝0或x＝1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
43．￢如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC，AD，CD．
（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为，tan∠BDC＝，求AC的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理．
【答案】（1）见解答；
（2）8．
【分析】（1）先判断出∠BOC＝2∠BAC，进而判断出OC∥BD，即可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出BC，再借助（2）的相似得出比例式，即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠BOC＝2∠BDC，
∵∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BOC＝∠ABD，
∴OC∥DB，
∵CE⊥BD，
∴CE⊥OC，
∵点C在⊙O上，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，∠BDC＝∠BAC，
∵tan∠BDC＝，
∴tan∠BAC＝，
在Rt△ABC中，AB＝2，tan∠BAC＝＝，
∴AC＝2BC，
根据勾股定理得，BC2+AC2＝AB2，
∴BC2+4BC2＝202，
∴BC＝4，
∴AC＝2BC＝8．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，锐角三角函数切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出OC平行于BD是解本题的关键．
44．某校积极开展“阳光体育”活动，并开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了了解学生最喜爱哪一种项目（每名学生必选且只能选择一个项目），随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．学生最喜爱的项目扇形统计图
（1）本次共调查了 40 名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角度数为 135 度；
（4）该校共有800名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少名？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【答案】（1）40；
（2）见解答；
（3）135；
（4）60名．
【分析】（1）根据跳绳人数和所占的百分比可以求得本次调查的学生数；
（2）根据（1）中的结果可以求得喜爱足球的人数，从而可以求得喜爱跑步的人数，进而可以将条形统计图补充完整；
（3）用360°乘以喜欢“篮球”所占的百分比即可得出答案；
（4）用该校的总人数乘以最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的总人数是：10÷25%＝40（人），
故答案为：40；
（2）喜欢足球的人数是：40×30%＝12（人），
喜欢跑步的人数是40﹣10﹣12﹣15＝3（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）“篮球”部分所对应的圆心角度数是×360°＝135°；
故答案为：135；
（4）估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多800×＝60（人），
估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多60名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
45．2017年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2019年，家庭年人均纯收入达到了3600元．若该贫困户家庭每年人均纯收入的平均增长率都相同．
（1）求该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2020年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】（1）20%．（2）2020年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
【分析】（1）设该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论；
（2）根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入＝2018年该贫困户的家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出2020年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与4200比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意，得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．
（2）3600×（1+20%）＝4320（元），
4320＞4200．
答：2020年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．
（1）填空：点A的坐标为 （1，0） ，点B的坐标为 （3，0） ，点C的坐标为 （0，3） ，点D的坐标为 （2，﹣1） ．
（2）连接BC，BD，CD，求tan∠BCD的值．
（3）点P是抛物线上一点，且∠PAB＝∠BCD，将抛物线向右平移m个单位（m＞0），使平移后的抛物线经过点P，请直接写出平移的距离．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）（1，0）、（3，0）、（0，3）、（2，﹣1）；
（2）；
（3）或．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明△BCD为直角三角形，即可求解；
（3）当点P在x轴上方时，求出直线AP的表达式，得到x2﹣4x+3＝（x﹣1），求出点P的坐标为：（，），进而求解；当点P在x轴下方时，同理可解．
【解答】解：（1）对于y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，当x＝0，则y＝3，
令y＝x2﹣4x+3＝0，则x＝1或3，
即点A、B、C、D的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，3）、（2，﹣1），
故答案为：（1，0）、（3，0）、（0，3）、（2，﹣1）；
（2）由点A、B、C、D的坐标得，BC2＝18，BD2＝2，CD2＝20，
则CD2＝BD2+BC2，
故△BCD为直角三角形，
则tan∠CBD＝＝＝；
（3）抛物线向右平移m个单位后的表达式为：y＝（x﹣2﹣m）2﹣1，
由（2）知tan∠BCD＝．
当∠PAB＝∠BCD时，tan∠PAB＝，
当点P在x轴上方时，
则直线AP的表达式为：y＝（x﹣xA）＝（x﹣1），
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣4x+3＝（x﹣1），
解得：x＝1（舍去）或，
则点P的坐标为：（，），
将点P的坐标代入y＝（x﹣2﹣m）2﹣1并解得：m＝0（舍去）或；
当点P在x轴下方时，
同理可得：直线AP的表达式为：y＝﹣（x﹣xA）＝﹣（x﹣1），
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣4x+3＝﹣（x﹣1），
解得：x＝1（舍去）或，
则点P的坐标为：（，﹣），
将点P的坐标代入y＝（x﹣2﹣m）2﹣1并解得：m＝0（舍去）或，
即平移的距离m为或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象的平移、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
47．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH+HD＝CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，
∴AB＝DH＝1.5（米），BD＝AH＝6（米），
在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，
∴CH＝AH•tan∠CAH，
∴CH＝AH•tan∠CAH＝6tan30°＝6×（米），
∵DH＝1.5（米），
∴CD＝（2+1.5）（米），
在Rt△CDE中，
∵∠CED＝60°，sin∠CED＝，
∴CE＝＝4+≈5.7（米），
答：拉线CE的长约为5.7米．
【点评】此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
48．去年某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．求口罩日产量的月平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】10%．
【分析】设口罩日产量的月平均增长率为x，根据该口罩生产厂1月份及3月份生产的口罩的平均日产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设口罩日产量的月平均增长率为x，
依题意得：20000（1+x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
49．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）2020年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：6（1+x）2＝17.34，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
50．如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．
【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，可得AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．
【解答】（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴D为AC中点，
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝＝3，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝10，
∴BD＝＝＝，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴，即＝，
∴DE＝3．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识点的综合运用．
51．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求sin∠DAB．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值，即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝∠ACB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝2，
∴sin∠DAB＝＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算是解题的关键．
52．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
【考点】切线的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【解答】解：（1）连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴＝，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝2．
解法二：利用勾股定理求出DF，再利用勾股定理求出BD即可．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算是解题的关键．
53．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，由AB为⊙O的直径得∠BDC＝90°，根据BE＝EC知∠1＝∠3、由OD＝OB知∠2＝∠4，根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°，得证；
（2）根据直角三角形的性质得到∠F＝30°，BE＝EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF＝6，根据三角形的内角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，根据等腰三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝∠BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6，OD＝BD＝DF＝2，
∴阴影部分的面积＝AD•BD+＝+2π＝3+2π．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
54．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）．
（1）求出二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a，b满足4＜a+|b|＜9，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下且a＞0，当t≤x≤t+1时有最小值，求t的值．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【答案】（1）直线x＝2；
（2）y＝2x2﹣8x+9或y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；
（3）或．
【分析】（1）由对称轴公式即可求解；
（2）观察函数图象，在给定的范围内，找出对应关系，即可求得二次函数的表达式；
（3）分t＜1，t＞2，1≤t≤2三种情况分别根据函数的增减性和最小值得到关于t的方程，解之即可．
【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣＝2；
（2）该二次函数的图象经过点（1，3），
∴a﹣4a+3+b＝3，
∴b＝3a，
把b＝3a代入4＜a+|b|＜9，
得4＜a+3|a|＜9．
当a＞0时，4＜4a＜9，则1＜a＜，
而a为整数，
∴a＝2，则b＝6，
∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+9；
当a＜0时，4＜﹣2a＜9，则﹣＜a＜﹣2．
而a为整数，
∴a＝﹣3或﹣4，
则对应的b＝﹣9或﹣12，
∴二次函数的表达式为y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；
（3）∵a＞0，
则函数表达式为y＝2x2﹣8x+9＝2（x﹣2）2+1，
则函数顶点坐标为（2，1），开口向上，
当t+1＜2，即t＜1时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而减小，
则当x＝t+1时，y有最小值，
即2（t+1﹣2）2+1＝，
解得：t＝或t＝（舍）；
当t＞2时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而增大，
则当x＝t时，y有最小值，
即2（t﹣2）2+1＝，
解得：t＝（舍）或t＝；
当1≤t≤2时，y在t≤x≤t+1上的最小值为1，故不符合；
综上：t的值为或．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，求二次函数的对称轴，关键是灵活应用二次函数的性质解题．
55．已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG•CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求的最小值．
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）30°
（2）；
（3）．
【分析】（1）如图1，证明△ABF≌△CBF（SAS），得AF＝CF，再证明△FCG∽△DCF，根据相似三角形的性质可得∠CFE＝∠FDC＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，根据直角三角形30°角的性质得：CE＝1，根据勾股定理计算DE和AE的长，证明∠AFD∽△ADE，列比例式可得AF和EF的长，证明△AFM∽△EFN，得FN的长，根据三角形的面积公式可得结论；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，分别计算AE2和DE2，变形后可得当a＝x时，有最小值．
【解答】解：（1）如图1，∵AF2＝CG•CD，
∴＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，
∴，
∵∠FCG＝∠FCG，
∴△FCG∽△DCF，
∴∠CFE＝∠FDC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FDC＝∠ADC＝30°，
∴∠CFE＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
Rt△DCE中，∠DCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∵CD＝2，
∴CE＝1，DE＝＝，
Rt△ADE中，AE＝＝＝，
∵∠ADF＝∠AED，∠FAD＝∠FAD，
∴∠AFD∽△ADE，
∴，即，
∴AF＝，
∴EF＝﹣＝，
∵AD∥BC，
∴△AFM∽△EFN，
∴＝，
∵MN＝DE＝，
∴FN＝，
∴S△CEF＝＝＝；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，
设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，
在Rt△CEH中，∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH＝x，EH＝x，
∴DH＝a﹣x，
在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2
＝（a﹣x）2+（x）2
＝a2﹣ax+x2，
在Rt△ABN中，∠B＝60°，AB＝a，
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝a，AN＝a，
∴CN＝BC﹣BN＝a，
∴EN＝EC+CN＝a+x，
Rt△ANE中，AE2＝AN2+EN2
＝（a）2+（a+x）2
＝a2+ax+x2，
∴＝＝＝1﹣＝1﹣＝1﹣（a＞0，x＞0），
∴当＝时，即x＝a时，有最小值，
则此时＝1﹣＝，
∴＝．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键．
56．如图，点D在反比例函数y＝（k＞0）上，点C在x轴的正半轴上且坐标为（4，O），△ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B为横坐标为1的反比例函数图象上的一点，BA、BE分别垂直x轴和y轴，垂足分别为点A和点E，连接OB，将四边形OABE沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与y轴交于点F．求直线BA′的解析式；
（3）求一点P坐标，使点P、A′、A、O为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出P点坐标）
【考点】反比例函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过D作DG⊥x轴，交x轴于点G，由三角形ODC为等腰直角三角形，利用三线合一得到G为OC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DG与OG的长，确定出D坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）将B的横坐标1代入反比例解析式中求出y的值，确定出B的纵坐标，由折叠的性质得到△BOA′≌△BOA，即为BA与BA′的长相等，再利用AAS得出△OA′F≌△BFE，利用全等三角形对应边相等得到A′F＝EF，由OE＝EF+OF＝4，得到A′F+OF＝4，在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′2+A′F2＝OF2，设OF＝x，则A′F＝4﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OF的长，进而得出F的坐标，设直线A′B的解析式为y＝kx+b，将B与F的坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线A′B的解析式；
（3）满足题意的P点有三个位置，如图所示，四边形AOA′P1，四边形AA′P2O，四边形AA′OP3都为平行四边形，
过A′作A′M⊥x轴，交x轴于点M，由题意得出△FA′O∽△OMA′，由相似得比例求出A′M与OM的长，确定出A′的坐标，根据平行四边形的对边相等得到A′P1＝OA＝1，确定出P1的坐标，由A′、A分别为P1P2、P1P3的中点，A（1，0），利用线段中点坐标公式求出P2与P3的坐标．
【解答】解：（1）过D作DG⊥x轴，交x轴于点G，
∵△ODC为等腰直角三角形，
∴G为OC的中点，即DG为斜边上的中线，
∴DG＝OG＝OC＝2，
∴D（2，2），
代入反比例解析式得：2＝，即k＝4，
则反比例解析式为y＝；
（2）∵点B是y＝上一点，B的横坐标为1，
∴y＝＝4，
∴B（1，4），
由折叠可知：△BOA′≌△BOA，
∵OA＝1，AB＝4，
∴BE＝A′O＝1，OE＝BA′＝4，
又∵∠OAB＝90°，∠A′FO＝∠BFE，
∴∠BA′O＝∠OEB＝90°，
∴△OA′F≌△BFE（AAS），
∴A′F＝EF，
∵OE＝EF+OF＝4，
∴A′F+OF＝4，
在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′2+A′F2＝OF2，
设OF＝x，则A′F＝4﹣x，
∴12+（4﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴OF＝，即F（0，），
设直线BA′解析式为y＝kx+b，
将B（1，4）与F（0，）坐标代入得：，
解得：，
则线BA′解析式为y＝x+；
（3）如图所示：四边形AOA′P1，四边形AA′P2O，四边形AA′OP3都为平行四边形，
过A′作A′M⊥x轴，交x轴于点M，
∵∠A′OM+∠A′OF＝90°，∠A′OM+∠MA′O＝90°，
∴∠A′OF＝∠MA′O，
∵∠A′MO＝∠FA′O＝90°，
∴△FA′O∽△OMA′，
∴＝，即＝，
∴OM＝，根据勾股定理得：OM＝，
∴A′（﹣，），
∵A′P1＝OA＝1，
∴P1（，），
∵A′、A分别为P1P2、P1P3的中点，A（1，0），
∴P2（﹣，），P3（，﹣）．
【点评】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，坐标与图形性质，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，是一道综合性较强的压轴题．
57．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，AB＝4，求平行四边形OABC的面积．
【考点】切线的判定与性质；平行四边形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，证出△EOC≌△DOC，推出∠ODC＝∠OEC＝90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出CD，根据三角形的面积公式求出DF，根据平行四边形的面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴∠OEC＝90°，
如图1，连接OD，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO＝BC，OC＝AB，OC∥AB，
∴∠EOC＝∠A，∠COD＝∠ODA，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠EOC＝∠DOC，
在△EOC和△DOC中，
，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥OC于F，如图2，
在Rt△CDO中，OC＝4，OD＝OA＝3，由勾股定理得：CD＝＝，
由三角形的面积公式得：×CD×OD＝×OC×DF，
∴DF＝＝＝，
∴平行四边形OABC的面积是OC×DF＝4×＝3．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
58．某演艺大厅有2个入口和3个出口，其示意图如下，参观者从任意一个入口进入，参观结束后从任意一个出口离开
（1）用树状图表示，小明从进入到离开，对于入口和出口的选择有多少种不同的结果？
（2）小明从入口A进入并从出口1离开的概率是多少？
【考点】列表法与树状图法．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用树状图列举出所有6种等可能的结果；从入口A进入并从出口1离开占其中的一种，根据概率的概念计算即可得到小明从入口1进入并从出口1离开的概率．
【解答】解：（1）画出树状图得，
共有6种等可能的结果；
（2）P（入口A，出口1）＝．
【点评】本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P＝．
59．在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝AD．
求证：∠BAE＝∠CDF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，进而可得∠ABE＝∠DCF，然后再证明BE＝CF，利用SAS定理可证明△BAE≌△CDF，进而可得结论∠BAE＝∠CDF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCF，
又∵EF＝AD，
∴BC＝EF，
∴BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△CDF（SAS），
∴∠BAE＝∠CDF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等且平行．
60．某文具店出售一种文具，每个进价为2元，根据长期的销售情况发现：这种文具每个售价为3元时，每天能卖出500个，如果售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．物价局规定售价不能超过进价的240%．
（1）如果这种文具要实现每天800元的销售利润，每个文具的售价应是多少？
（2）该如何定价，才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润W（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式W＝（ x﹣2 ）（ 500﹣ ×10 ），再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：（1）设实现每天800元利润的售价为x元/个，根据题意，得
（ x﹣2 ）（ 500﹣ ×10 ）＝800
整理得：x 2﹣10x+24＝0，解得：x1＝4，x2＝6
∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2×240%＝4.8（元）
∴x＝6不合题意，舍去，∴x＝4
∴售价为4元/个，每天可获得800元的利润
（2）设每天利润为w元，定价为x元/个，得
w＝（ x﹣2 ）（ 500﹣ ×10 ）＝﹣100x 2+1000x﹣1600＝﹣100（ x﹣5 ）2+900
当x≤5时w随x的增大而增大，且x≤4.8
∴当x＝4.8时，w最大
w最大＝﹣100×（ 4.8﹣5 ）2+900＝896
∴当定价为4.8元/个时，每天利润最大，最大利润是896元
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/29 18:11:34；用户：实事求是；邮箱：18347280726；学号：37790395

销售单价x（元）
60
65
70
75
周销售量y（件）
80
70
60
50
周销售利润w（元）
2400
2450
2400
2250
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
销售单价x（元）
60
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周销售量y（件）
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