高中数学2.4 圆与圆的位置关系达标测试

这是一份高中数学2.4 圆与圆的位置关系达标测试，共6页。试卷主要包含了圆C1，已知圆C1等内容，欢迎下载使用。

知识点一圆与圆的位置关系的判断
1.圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为( )
A．相交 B．外切
C．内切 D．外离
2．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________.
知识点二与两圆相切有关的问题
3.已知圆C1：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，圆C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝1，则这两个圆的公切线条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．求与圆x2＋y2－2x－4y＝0外切于点(2，4)且半径为2 eq \r(5)的圆的方程．
5．已知圆O1：x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0，圆O2：x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，求两圆的公切线方程．
知识点三与两圆相交有关的问题
6.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为( )
A． eq \r(2) B． eq \r(3)C．2 eq \r(2) D．3 eq \r(2)
7．过点P(－3，4)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为________.
8．已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，给出下列结论：
①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；
②2ax1＋2by1＝a2＋b2；
③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b.
试探究三个结论的正确性．
关键能力综合练
一、选择题
1．设r>0，则两圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A．相切 B．相交C．内切和内含 D．外切和外离
2．已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是( )
A．5 B．7
C．9 D．11
3．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
4．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0和x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦中，最长的弦等于( )
A．2 eq \r(2) B．2C． eq \r(2) D．1
5．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是( )
A．(0， eq \r(2)－1) B．(0，1]
C．(0，2－ eq \r(2)] D．(0，2]
6．[探究题]在坐标平面内，与点A(1，2)的距离为1，且与点B(3，1)的距离为2的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
二、填空题
7．若圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则m＝________.
8．两圆相交于(1，3)和(m，－1)两点，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________.
9．[易错题]已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为________.
三、解答题
10．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，1).
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2 eq \r(2)，求圆O2的方程．
学科素养升级练
1．[多选题]已知半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝36
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝36
C．(x－4)2＋(y＋6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y＋6)2＝36
2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|为________.
3．[学科素养——直观想象]已知线段AB的端点B的坐标是(6，5)，端点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动．
(1) 求线段AB的中点P的轨迹C2的方程；
(2)设圆C1与(1)中曲线C2的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在(1)中曲线C2上运动，点Q在x轴上运动，求|AQ|＋|CQ|的最小值．
2．4 圆与圆的位置关系
必备知识基础练
1．解析：由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2＝|r1－r2|，∴两圆内切．
答案：C
2．解析：因为点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，
所以a2＋b2＝4.
又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，
圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a，0)，半径r2＝1，
则圆心距d＝|C1C2|＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(4)＝2＝r1＋r2，
所以两圆外切．
答案：外切
3．解析：根据题意，圆C1：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(－1，2)，半径r1＝2；
圆C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝1，其圆心为(3，－1)，半径r2＝1.
则有|C1C2|＝eq \r(42＋32)＝5>r1＋r2，故两圆外离，有4条公切线．故选D.
答案：D
4．解析：圆方程化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，得该圆圆心为(1，2)，半径为eq \r(5)，故两圆连心线的斜率k＝eq \f(4－2,2－1)＝2.设所求圆的圆心为(a，b)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(（a－2）2＋（b－4）2)＝2\r(5)，,\f(4－b,2－a)＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝8.))所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y－8)2＝20.
5．解析：圆O1的圆心为O1(－1，－3)，半径r1＝1；圆O2的圆心为O2(3，－1)，半径r2＝3，则|O1O2|>r1＋r2，
所以两圆外离，所以两圆有四条公切线．
当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(|－k＋3＋b|,\r(1＋k2))＝1，,\f(|3k＋1＋b|,\r(1＋k2))＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝0，,b＝－4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(4,3)，,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(3,4)，,b＝－\f(5,2)．))
当公切线斜率不存在时，直线x＝0也和两圆相切．
所以所求公切线方程为y＋4＝0，4x－3y＝0，x＝0，3x＋4y＋10＝0.
6．解析：圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0方程相减得x－y＋2＝0，
∵圆心(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，r＝2，则公共弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2).故选C.
答案：C
7．解析：x2＋y2＝4的圆心O(0，0)，半径r＝2，∵P(－3，4)，∴线段PO的中点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，2))，|PO|＝5，∴以PO为直径的圆C的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋(y－2)2＝eq \f(25,4)，即x2＋y2＋3x－4y＝0，把圆C：x2＋y2＋3x－4y＝0与圆x2＋y2＝4相减，得3x－4y＋4＝0，∵直线3x－4y＋4＝0经过两圆的交点，即经过切点A，B，∴直线AB的方程为3x－4y＋4＝0.
答案：3x－4y＋4＝0
8．解析：公共弦的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，所以有2ax1＋2by1－a2－b2＝0，②正确；又2ax2＋2by2－a2－b2＝0，所以a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，①正确；AB的中点为直线AB与直线C1C2的交点，又直线AB：2ax＋2by－a2－b2＝0，直线C1C2：bx－ay＝0.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2ax＋2by－a2－b2＝0，,bx－ay＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(a,2)，,y＝\f(b,2)，))故有x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，③正确．
关键能力综合练
1．解析：易知圆x2＋y2＝16的圆心为(0，0)，半径为4；圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2的圆心为(1，－3)，半径为r.两圆心之间的距离为eq \r(10)，又eq \r(10)<4，所以两圆不可能外切和外离．故选D.
答案：D
2．解析：由题意知圆C1的圆心C1(－3，1)，半径r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径r2＝2.所以两圆的圆心距d＝eq \r([1－（－3）2]＋[（－2）－1]2)＝5>r1＋r2＝4，所以两圆外离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.
答案：C
3．解析：∵圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心为(－1，1)，半径为eq \r(2)，∴过圆心(－1，1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，当所求的圆的圆心在直线x＋y＝0上时，半径最小，排除A，B，
∴圆心(－1，1)到直线x－y－4＝0的距离为eq \f(6,\r(2))＝3eq \r(2)，则所求的圆的半径为eq \r(2)，故选C.
答案：C
4．解析：两圆的圆心分别为(－a，－a)，(－b，－b)，半径分别为1，eq \r(2).因此，公共弦中最长的弦为小圆的直径，故最长的弦等于2.
答案：B
5．解析：由M∩N＝N知N⊆M，所以圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，且4>r2，所以2－r≥eq \r(2)，又r>0，所以0答案：C
6．解析：满足要求的直线应分别为圆心为A，半径为1和圆心为B，半径为2的两圆的公切线．因为圆A与圆B相交，所以公共线有2条．
答案：B
7．解析：圆x2＋y2＝m的圆心坐标为(0，0)，半径r1＝eq \r(m)(m>0)，
圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0的圆心坐标为(－3，4)，半径r2＝6.
因为两圆内切，两圆心的距离d＝5，
所以6－eq \r(m)＝5或eq \r(m)－6＝5，所以m＝1或m＝121.
答案：1或121
8．解析：由平面几何性质知，两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则eq \f(3＋1,1－m)＝－1，解得m＝5.∵弦中点坐标为(3，1)，∴3－1＋c＝0，解得c＝－2.∴m＋c＝3.
答案：3
9．解析：如图，作圆N关于x轴对称的圆G，连接MG，交x轴于点A(即点O)，连接AN，圆G：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1.
则|AP|＋|AQ|的最小值为|MG|－1－2＝eq \r(102＋52)－3＝5eq \r(5)－3.
答案：5eq \r(5)－3
10．解析：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1、r2，且易知r1＝2.
因为两圆相外切，所以|O1O2|＝r1＋r2.
所以r2＝|O1O2|－r1＝eq \r(（0－2）2＋（－1－1）2)－2＝2(eq \r(2)－1).
所以圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8eq \r(2).
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) (r3>0)，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程为4x＋4y＋r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) －8＝0.
所以圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为eq \f(|0－4＋r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) －8|,\r(42＋42))＝eq \r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \r(2)，
解得r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝4或r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝20.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
学科素养升级练
1．解析：由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，则根据两圆内切，得eq \r(a2＋9)＝5，所以a2＝16，所以a＝±4，即圆的方程为(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36.故选AB.
答案：AB
2．解析：∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，∴两圆的圆心均在第一象限且横坐标、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝eq \r(（a－b）2＋（a－b）2)＝eq \r(32×2)＝8.
答案：8
3．解析：(1)设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(6，5)，且点P是线段AB的中点，所以x＝eq \f(x0＋6,2)，y＝eq \f(y0＋5,2)，于是有x0＝2x－6，y0＝2y－5，① 因为点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x－4)2＋(y－3)2＝4，即(x0－4)2＋(y0－3)2＝4，② 把①代入②，得(2x－6－4)2＋(2y－5－3)2＝4，整理，得(x－5)2＋(y－4)2＝1，所以点P的轨迹C2的方程为(x－5)2＋(y－4)2＝1.
(2)圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4与圆C2：(x－5)2＋(y－4)2＝1的方程，相减得2x＋2y－19＝0，由圆C2：(x－5)2＋(y－4)2＝1的圆心为(5，4)，半径为r＝1，且(5，4)到直线2x＋2y－19＝0的距离d＝eq \f(|10＋8－19|,\r(22＋22))＝eq \f(\r(2),4)，得公共弦长|MN|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(1－\f(1,8))＝eq \f(\r(14),2).
(3)圆C1是以C1(4，3)为圆心，半径r1＝2的圆，圆C2是以C2(5，4)为圆心，半径r2＝1的圆，所以|QA|＋|QC|≥|QC1|－r1＋|QC2|－r2＝|QC1|＋|QC2|－3，① 当A在线段QC1上，且C在线段QC2上时，取等号．设C3(4，－3)为C1(4，3)关于x轴的对称点，则|QC1|＝|QC3|，代入①式得|QA|＋|QC|≥|QC3|＋|QC2|－3≥|C2C3|－3＝5eq \r(2)－3，当C2，Q，C3共线时，取等号．所以|AQ|＋|CQ|的最小值为5eq \r(2)－3.