北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线与圆的位置关系课堂检测

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线与圆的位置关系课堂检测，共7页。

知识点一直线与圆的位置关系的判断
1.直线3x－4y＋6＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交且过圆心
D．相交但不过圆心
2．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
3．若直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4相离，则实数k的取值范围是________.
知识点二直线与圆相切
4.圆x2＋y2－4y＋3＝0与直线2 eq \r(2)x＋y＋b＝0相切，正实数b的值为( )
A． eq \f(1,2) B．1C．2 eq \r(2)－1 D．3
5．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
6．已知圆C：(x－1)2＋(y－3)2＝25，过点P(－2，7)作圆的切线，则该切线的一般式方程为________________.
知识点三直线与圆相交
7.直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2 eq \r(3)，则直线的斜率为( )
A． eq \r(3) B．± eq \r(3)
C． eq \f(\r(3),3) D．± eq \f(\r(3),3)
8．过点A(3，5)作圆x2＋y2－4x－8y－80＝0的最短弦，则这条弦所在直线的方程是( )
A．2x－y－6＝0 B．2x＋y－6＝0
C．x－y－3＝0 D．x＋y－8＝0
9．已知圆C的方程：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)求m的取值范围；
(2)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝ eq \f(4\r(5),5)，求m的值．
知识点四直线与圆的位置关系的综合应用
10.圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A． eq \r(2) B．2 eq \r(2)C．4 D．4 eq \r(2)
11．已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(1)求 eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
关键能力综合练
一、选择题
1．点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，则直线x0x＋y0y＝R2与圆的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
2．直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为( )
A． eq \r(5) B． eq \r(7) C． eq \r(10) D．2 eq \r(3)
3．直线y－3＝k(x－1)被圆(x－2)2＋(y－2)2＝5所截得的最短弦长等于( )
A． eq \r(3) B．2 eq \r(2) C．2 eq \r(3) D． eq \r(5)
4．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2 eq \r(2) C． eq \r(7) D．3
5．[易错题]已知圆C的方程为x2－2x＋y2＝0，直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k等于( )
A．1 B．6 C．1或7 D．2或6
6．已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( )
A． eq \r(6)或－ eq \r(6) B． eq \r(5)或－ eq \r(5)C． eq \r(6) D． eq \r(5)
二、填空题
7．直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＋2ay＋a2－2＝0有公共点，则实数a的取值范围是________.
8．过点P(1，－3)且和圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0相切的直线方程为________.
9．[探究题]已知直线l：x－2y＋4＝0，圆C：(x－1)2＋(y＋5)2＝80，那么圆C上到直线l的距离为 eq \r(5)的点一共有________个．
三、解答题
10．(1)求过点A(2，－1)，圆心在直线y＝－2x上，且与直线x＋y－1＝0相切的圆的方程；
(2)已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且圆截直线y＝x所得的弦长为2 eq \r(7)，求圆C的方程．
学科素养升级练
1．[多选题]过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，则直线l的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x－12y＋20＝0
C．x＋4＝0
D．5x＋2y＋20＝0
2．若一光线从点A(－1，1)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上，则最短路程是________.
3．[学科素养——数学运算]已知圆C的圆心在直线4x＋y＝0上，且圆与直线y＝－x＋1相切于点P(3，－2).
(1)求圆C的方程；
(2)是否存在过点A(1，0)的直线l与圆C交于M，N两点，且△OMN的面积为2 eq \r(2)(O为坐标原点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
2．3 直线与圆的位置关系
必备知识基础练
1．解析：圆心(2，3)在直线3x－4y＋6＝0上，即直线与圆相交且过圆心．
答案：C
2．解析：将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，易知该直线过定点(－2，0).
又(－2)2＋02＝4<9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9必相交．故选C.
答案：C
3．解析：直线y＝kx＋1的方程化为一般式为kx－y＋1＝0，圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4的圆心坐标是(2，－3)，半径是2.因为直线y＝kx＋1和圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4相离，所以圆心(2，－3)到直线y＝kx＋1的距离d＝eq \f(|2k－（－3）＋1|,\r(k2＋（－1）2))>2，解得k>－eq \f(3,4)，所以实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，＋∞))
4．解析：圆x2＋y2－4y＋3＝0的圆心坐标为(0，2)，半径为1，由题意得eq \f(|0＋2＋b|,\r(8＋1))＝1，则|2＋b|＝3，又b>0，所以b＝1.
答案：B
5．解析：由于圆心在直线x＋y＝0上，故可设圆心的坐标为(a，－a)，所以eq \f(|a－（－a）|,\r(2))＝eq \f(|a－（－a）－4|,\r(2))，解得a＝1，所以半径r＝eq \r(2)，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：B
6．解析：∵点P(－2，7)在圆C上，kPC＝eq \f(7－3,－2－1)＝－eq \f(4,3)，∴切线斜率k＝eq \f(3,4)，∴切线方程为y－7＝eq \f(3,4)(x＋2)，即3x－4y＋34＝0.
答案：3x－4y＋34＝0
7．解析：因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2eq \r(3)，所以圆心C(2，3)到直线y＝kx＋3的距离d＝eq \r(4－（\r(3)）2)＝1，所以eq \f(|2k－3＋3|,\r(k2＋1))＝eq \f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq \f(\r(3),3)，故选D.
答案：D
8．解析：圆：(x－2)2＋(y－4)2＝102，圆心为B(2，4)，r＝10.设这条弦所在直线为l，则AB⊥l.
因为kAB＝eq \f(5－4,3－2)＝1，所以直线l的斜率k＝－1.
所以所求直线的方程为y－5＝－(x－3)，即x＋y－8＝0.
答案：D
9．解析：(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∵此方程表示圆，∴5－m>0，即m<5.
(2)∵圆的方程化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∴圆心为C(1，2)，半径r＝eq \r(5－m)，则圆心C(1，2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离为d＝eq \f(|1＋2×2－4|,\r(12＋22))＝eq \f(1,\r(5))，由于|MN|＝eq \f(4\r(5),5)，故eq \f(1,2)|MN|＝eq \f(2\r(5),5)，∵r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|MN|,2)))eq \s\up12(2)，∴5－m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(5))))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))eq \s\up12(2)，解得m＝4.
10．解析：∵圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0，∴(x－2)2＋(y－2)2＝2，∴圆心(2，2)，半径r＝eq \r(2)，∴圆心(2，2)到直线x＋y－8＝0的距离d＝eq \f(|2＋2－8|,\r(2))＝2eq \r(2)，∴圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的点到直线x＋y－1＝0的最大距离与最小距离之差＝(d＋r)－(d－r)＝2r＝2eq \r(2).
答案：B
11．解析：(1)原方程表示以点(2，0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆，设eq \f(y,x)＝k，即y－kx＝0，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3).
故eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).
(2)设y－x＝b，即x－y＋b＝0，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(3)，即b＝－2±eq \r(6).
故y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6).
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故(x2＋y2)max＝(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，(x2＋y2)min＝(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
关键能力综合练
1．解析：∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，∴x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) >R2，∴圆心(0，0)到直线x0x＋y0y＝R2的距离d＝eq \f(|R2|,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ))答案：B
2．解析：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标为(0，1)，半径r＝eq \r(5).点(0，1)到直线l的距离d＝eq \f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝eq \f(\r(10),2)，所以半弦长为eq \r(r2－d2)＝eq \r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(10),2)，所以截得的弦长为eq \r(10).
答案：C
3．解析：圆(x－2)2＋(y－2)2＝5的圆心为C(2，2)，半径为eq \r(5).
∵直线y－3＝k(x－1)，∴此直线恒过定点(1，3)，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心C(2，2)与定点(1，3)的连线垂直于弦，弦心距为eq \r(（2－1）2＋（2－3）2)＝eq \r(2).
∴所截得的最短弦长为2×eq \r(（\r(5)）2－（\r(2)）2)＝2eq \r(3).故选C.
答案：C
4．解析：因为切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线y＝x＋1的距离d＝eq \f(|3－0＋1|,\r(2))＝2eq \r(2)，圆的半径r＝1，所以切线长的最小值为eq \r(d2－r2)＝eq \r(8－1)＝eq \r(7)，故选C.
答案：C
5．解析：圆的方程可化标准方程为(x－1)2＋y2＝1，直线可变形为y＝k(x－2)＋2，即圆心为(1，0)，半径r＝1，直线过定点(2，2)，当△ABC为直角三角形，即点到直线的距离为eq \f(\r(2),2)时，△ABC的面积取最大值．d＝eq \f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(\r(2),2)，解得k＝1或7.
答案：C
6．解析：因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得eq \f(|a|,\r(12＋22))＝1，所以a＝±eq \r(5).
答案：B
7．解析：圆C：x2＋y2＋2ay＋a2－2＝0，即x2＋(y＋a)2＝2.根据题意，圆心(0，－a)到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(|0＋a＋1|,\r(2))≤eq \r(2)，故|a＋1|≤2，所以－3≤a≤1.故实数a的取值范围为[－3，1].
答案：[－3，1]
8．解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆心为(－1，1)，半径r＝2，则圆心到切线的距离d＝2.若切线的斜率不存在，则直线的方程为x＝1，直线与圆相切，符合题意；若切线的斜率存在，设直线的方程为y＋3＝k(x－1)，即kx－y－k－3＝0，此时有eq \f(|－k－1－k－3|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq \f(3,4)，此时直线的方程为y＋3＝－eq \f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋9＝0.
答案：x＝1或3x＋4y＋9＝0
9．解析：由圆C：(x－1)2＋(y＋5)2＝80，可得圆心C(1，－5)，半径R＝4eq \r(5).又圆心C(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离d＝eq \f(|1－2×（－5）＋4|,\r(12＋22))＝eq \f(15,\r(5))＝3eq \r(5)，画图可知到直线x－2y＋4＝0的距离为eq \r(5)的点一共有3个．
答案：3
10．解析：(1)设圆心坐标为(a，b)，半径为r，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－2a，,（2－a）2＋（－1－b）2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,r＝\r(2)．))
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)由题意可设圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,3)))，则圆的半径r＝|a|，由题意得(eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(a,3))),\r(2)))2＋(eq \r(7))2＝a2，∴a2＝9，a＝±3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
学科素养升级练
1．解析：由圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0，化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，∴圆的圆心为M(－1，2)，半径为5.又直线l被圆截得的弦长|AB|＝8，∴圆心到直线l的距离d＝eq \r(52－42)＝3.当过点(－4，0)的直线斜率不存在时，直线方程为x＋4＝0，满足条件；当斜率存在时，设直线方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.由圆心到直线的距离d＝eq \f(|－k－2＋4k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq \f(5,12).直线l的方程为－eq \f(5,12)x－y＋4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,12)))＝0，即5x＋12y＋20＝0.综上，所求直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.故选AC.
答案：AC
2．解析：根据题意画出图形(如图所示)，先作出已知圆C关于x轴对称的圆C′，圆C′的圆心坐标为(2，－3)，半径为1，则最短距离
d＝|AC′|－1＝eq \r(（－1－2）2＋（1＋3）2)－1＝5－1＝4.
答案：4
3．解析：
(1)设圆心坐标为(t，－4t)，则圆的方程为(x－t)2＋(y＋4t)2＝r2，又与x＋y－1＝0相切于(3，－2)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(|－3t－1|,\r(2))＝r，,（3－t）2＋（－2＋4t）2＝r2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝1，,r＝2\r(2)，))所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)由题意得当直线的斜率k存在时，设直线l：y＝k(x－1)，设圆心到直线的距离为d，则有2eq \r(2)＝eq \f(1,2)×eq \f(|k|,\r(1＋k2))×2eq \r(8－d2)，进而可得2eq \r(2)＝eq \f(|k|,\r(1＋k2))×eq \r(8－\f(16,1＋k2))，化简得16k2＋8＝－8k2，无解；当斜率k不存在时，l：x＝1，则圆心到直线的距离d＝0，那么|MN|＝4eq \r(2)，S△OMN＝eq \f(1,2)×1×4eq \r(2)＝2eq \r(2)，满足题意．综上所述，所求的直线l的方程为x＝1.