江西省赣州市大余县部分学校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份江西省赣州市大余县部分学校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共27页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.是中心对称图形，
故选：D
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 将二次函数的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的新函数的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键；所以由题意易得平移后的二次函数表达式为，然后问题可求解．
【详解】解：由题意知：平移后的二次函数表达式为，
∴新函数的对称轴为直线；
故选：C．更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 3. 在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下．
由上表可知共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的结果有2种．
所以能让灯泡发光的概率是．
故选：B．
【点睛】本题考查列表法求概率，熟练掌握该知识点是解题关键．
4. 如图，在中，，，.将绕点A旋转至，使，交边于点F，则的长是（ ）
A. 4B. C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理，旋转的性质以及直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：在中，
，
∵将绕点A旋转至，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5. 如图，已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线切于点，分别交，于点，．若是的中点，则的周长是（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质和切线长定理，根据切线长定理可知的周长，连接在中，由勾股定理求出的长即可得出结论
【详解】解：连接，如图，
∵是等边三角形，
∴
∵是的中点，
∴,
∵分别切于点M，N，
∴，
同理：，
∴的周长，
在中，，
∴的周长为，
故选：C
6. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数解析式，可求与x轴的两个交点A、B，直线表示的图像可看做是直线的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线经过B点时，恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线经过C点时，恰与所给图像有三个交点，即直线与函数关于x轴对称的函数图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．
【详解】解：由知，当时，即
解得：
作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：
平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点
当的函数图像由的图像关于x轴对称得到
当时对应的解析式为
即，整理得：
综上所述或
故答案是：A．
【点睛】本题主要考查二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和抽取的两张卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意列表如下：
共有9种等可能结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，
所以P（抽取的两张卡片上的字母相同）＝＝．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
8. 如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点，则的度数是________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理、三角形内角和定理和角平分线定义，根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
由圆周角定理得，，
∴，
故答案为：．
9. 若抛物线的对称轴不在y轴的右边，且关于x的一元二次方程有两个实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为______．
【答案】11
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的定义，根的判别式，由抛物线的对称轴不在y轴的右边，得到，则；关于x的一元二次方程有两个实数根，则且，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴不在y轴的右边，
则，则；
关于x的一元二次方程有两个实数根，
则且，
解得：且，
即且，
则a为：，，0，2，3，4，5，
则所有满足条件整数a的值之和，
故答案为：11．
10. 已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出以及，然后根据条件变形代入求解即可．
【详解】由题意，，，
∵，
∴，
即：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本公式，并灵活进行变形是解题关键．
11. 如图，等边内一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，若，则下列结论正确的有______．（写出正确结论的序号）
①点与之间的距离为4；②；③；④．

【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理的运用，解决问题的关键是利用旋转变换构造等边三角形以及直角三角形；解题时注意：旋转前、后的图形全等；如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．
首先证明为等边三角形，得到，故①正确；运用勾股定理逆定理证明为直角三角形，求出的度数，得到②正确，运用面积公式求出四边形的面积，可判断③错误；由三角形的面积公式可求的面积，可判断④正确．
【详解】解：如图，连接，
∵为等边三角形，
∴；
由题意得：
∴为等边三角形，
故①正确；
在中，
∵，
∴为直角三角形，
故②正确；
过点作，
故③错误；
过点作直线，

故④正确，
故答案为：①②④．
12. 如图，是抛物线上的一点，以点为圆心，1个单位长度为半径作．当与直线相切时，点的坐标为________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，并与二次函数相结合，与直线相切时就是：与x轴相切，半径为1个单位长度，即点P的纵坐标，根据P是抛物线上的一点，代入计算出x的值，并写出点P的坐标，一共有3种可能．
【详解】解：如图，
当时，，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
∴P点坐标为或，
则点P的坐标为：或或．
三、解答题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单．
【详解】解：原方程变形为
∴，．
【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则．
14. 如图所示，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，是切点．若，，求的长（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理以及求弧长，由题意可得，，可得是等腰直角三角形，根据勾股定理可得的长，即可求的长．
【详解】解：如图：连接，
∵是切线
∴，
∴
又，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴的长．
15. 已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移：
（1）将抛物线写成顶点式，根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，即可求解；
（2）求出原抛物线与x轴的交点为，再根据平移的性质可得，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
所以抛物线的顶点坐标为．
【小问2详解】
解：令得，，
解得．
所以原抛物线与x轴的交点为，
又因为将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，
所以，
解得．
故m的值为3．
16. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再由，得到关于k的方程，即可求解．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：由一元二次方程根与系数的关系可得，，
∵，
∴，
即，解得，或0，
由（1）知：，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
17. 如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图（1）中，画出的中线AE；
（2）在图（2）中，画出的角平分线AF．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接CO、BD，CO交BD于点G，连接AG并延长交BC于E，线段AE即为所求作；
（2）利用（1）的中点E，过点E作半径OH，连接AH交BC于点F，则线段AF即为所求作．
【小问1详解】
解：如图（1），线段AE即为△ABC的中线；
；
根据三角形三条中线交于一点即可证明；
【小问2详解】
解：如图（2），线段AF即为△ABC的角平分线；
证明：∵OA=OH，∴∠HAO=∠H，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠CAH=∠H，
∴∠CAF=∠BAF，
∴AF为△ABC的角平分线．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，三角形中位线定理，三角形三条中线交于一点，圆的半径相等，等边对等角，平行线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了五类社团活动（音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动．
（1）“小明恰好选中体育社团”是________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；
（2）现从文学社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了随机事件和用列表法与树状图法求概率：
（1）根据随机事件的定义进行解答即可；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙两名同学的结果数，然后根据概率公式计算．
【小问1详解】
由于体育社团是五类社团之一，所以，“小明恰好选中体育社团”是随机事件，
故答案为：随机；
【小问2详解】
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种，
所以恰好选中甲和乙两名同学的概率．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，9月份“江南忆”的销售量为256件，11月份的销售量为400件．已知每件“江南忆”的进价为35元，售价为58元．
（1）求该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，12月份该款吉祥物销售量将与9月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物每件的售价为多少元时，月销售利润能达到8400元？
【答案】（1）该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为
（2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用：
（1）设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【小问1详解】
设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为；
【小问2详解】
设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：
因为商场为了减少库存，故不符合题意，舍去．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
20. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点．

（1）证明：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理和垂径定理等知识：
（1）如图，根据角平分线的定义和等边对等角证明，推出，再由，得到，即可证明是的切线；
（2）过点O作于M，证明四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出，即可由垂径定理得到．
【小问1详解】
如图，

∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
过点O作于M，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
21. 定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
（1）已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系；
（2）已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值．
【答案】（1）
（2）0或2或4或6．
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，正确理解“凤凰”方程的定义是解题的关键．
（1）根据有两个相等的实数根得到，根据是“凤凰”方程得到，则，代入整理得，即可得到结论；
（2）根据“凤凰”方程的定义列式求出，然后求出，可得，，再根据两个实数根都是整数可得整数m的值．
【小问1详解】
解：∵有两个相等的实数根，
∴，
∵“凤凰”方程．
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：方程整理得：，
∵此方程是“凤凰”方程，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵两个实数根都是整数，
∴或，
∴或或或，
∴整数m的值为0或2或4或6．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22. 【问题解决】
在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图1，点E是正方形内一点，，，．你能求出∠BEC的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将绕点C逆时针旋转，得到，连接，求出的度数；
思路二：将绕点C顺时针旋转，得到，连接，求出的度数．
（1）请参考小明的思路，写出两种思路的完整解答过程．
【类比探究】
（2）如图2，若点E是正方形外一点，，，，求的度数．
【答案】（1），解答过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）思路一：根据旋转的性质可得，则，根据勾股定理可得，再根据勾股定理的逆定理可得，即可求解；思路二：根据旋转的性质可得，则，，根据勾股定理逆定理得出，即可求解．
（2）用和（1）一样的方法即可求解．
【小问1详解】
解：思路一：如图，
∵绕点C逆时针旋转，得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
思路二：如图：
∵将绕点C顺时针旋转，得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
将绕点C逆时针旋转，得到
∵绕点C逆时针旋转，得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，勾股定理逆定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
23. “八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如表：
②该蔬菜供给量（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为，函数图象见图1．
③1~7月份该蔬菜售价（元/千克），成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为，，函数图象见图2．
请解答下列问题：
（1）求a，c的值．
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时售价，以及按此价格出售获得的总利润．
【答案】（1）
（2）在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析
（3）该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；
（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．
【小问1详解】
把，代入可得
②-①，得，
解得，
把代入①，得，
∴．
【小问2详解】
设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
有，
化简，得，
∵在的范围内，
∴当时，w有最大值．
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大．
【小问3详解】
由，得，
化简，得，解得（舍去），
∴售价为5元/千克．
此时，（吨）（千克），
把代入，得，
把代入，得，
∴总利润（元）．
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
【点睛】此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
24. 已知点为抛物线上一动点，以为顶点，且经过原点的抛物线，记作“”，设其与轴另一交点为，点的横坐标为．

（1）①当为直角三角形时，________；
②当为等边三角形时，求此时“”的解析式；
（2）若点的横坐标分别为1，2，3，……（为正整数）时，抛物线“”，分别记作“”，“”…“”，设其与轴另一交点分别为，，…，过，，，…，作轴的垂线，垂足分别为，，，…，．
①的坐标为________，________；（用含的代数式表示）
②当时，求的值；
③是否存在这样的，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）①，②；（2）①，，②，③存在，
【解析】
【分析】（1）①易知是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则P（m，m），代入即可求出m；
②当为等边三角形时，则P（m，），代入求出m，可得P点和A点坐标，然后利用待定系数法求“”的解析式即可；
（2）①根据二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的对称性可得答案；
②根据列方程求解即可；
③如图，当时，，证明，求出，求出，即可解决问题．
【详解】解：（1）①∵为“”顶点，为直角三角形，
∴是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴P（m，m），
代入得：，
∴；
②如图1，过作轴于，
当是等边三角形时，，
∴P（m，），
代入得：，
∴，
∴，，
设“”的解析式为：，
将代入得，，
解得：，
∴“”的解析式为：；
（2）①∵点为抛物线上的点，
∴，；
②∵，
∴，即，
解得：（舍去），，
∴；
③存在，
如图，当时，，
∴，
∵坐标为，
把代入，得，
∴坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、解一元二次方程以及三角函数的应用等，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．开关一
开关二
S1
S2
S3
S1
S2，S1
S3，S1
S2
S1，S2
S3，S2
S3
S1，S3
S2，S3
A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量（吨）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…