2023-2024学年江西省南昌外国语学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省南昌外国语学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数y=xk−1是反比例函数，则k=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaG进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )
A. B. C. D.
3.不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为( )
A. 13B. 12C. 23D. 1
4.如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB等于( )
A. 20°B. 25°C. 35°D. 45°
5.如图，点A是函数y=6x(x>0)图象上的一点，过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足为B，C，则四边形ABOC的面积是( )
A. 3
B. 6
C. 12
D. 24
6.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)和C(0,−1)，则下列结论错误的是( )
A. 二次函数图象的对称轴是直线x=1
B. 方程ax2+bx+c=0的两根是x1=−1，x2=3
C. 当x<1时，函数值y随自变量x的增大而减小
D. 函数y=ax2+bx+c的最小值是−2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.已知反比例函数y=mx(m≠0)的图象分布在第二、第四象限，则m的取值范围是 ．
8.如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为______．
9.若关于x的方程x2+6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
10.如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______(精确到0.1)．
11.如图，在平面直角坐标系中，点A和B的坐标分别为(2,0)，(0,−4)，若将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为______．
12.如图，半圆O的直径DE=12cm，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm.半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t(s)，运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm.当t=______时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
13.如图：反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2=x+b的图象交于A、B两点，其中A点坐标为(1,2)．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出当y1(3)一次函数的图象与轴交于点C，点P是反比例函数图象上的一个动点，若S△OCP=6，求此时P点的坐标．
四、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题3分)
解方程4(x−1)2=9
15.(本小题3分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE=BC，求证：△ADE是等腰三角形．
16.(本小题6分)
文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干支“HB”铅笔.店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见表：
(1)从20盒铅笔中任意选取了1盒，“盒中没有混人‘HB’铅笔”是______ 事件；(填“必然”“不可能”或“随机”)
(2)若盒中混入1支“HB”铅笔的概率为14，则m= ______ ．
17.(本小题6分)
已知m是方程x2+3x−5=0的一个根，求代数式(m+1)2+m(m+4)的值．
18.(本小题6分)
如图，AB是⊙O中不过圆心的一条弦，请用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
(1)在图1中画出一条弦CD，使CD/​/AB；
(2)在图2中，M是AB下方⊙O上的一点，以点A，M为顶点画一个直角三角形，使其第三顶点也落在⊙O上，并使该直角三角形的一个内角的度数与∠ABM相等．
19.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C.若⊙O的半径为10，OM:MC=3:2，求AB的长．
20.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,6)，直线AB/​/y轴，且与x轴交于点B，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A和点P.若⊙P经过点A，且与x轴交于B，C两点．
(1)求k的值和点C的坐标；
(2)判断⊙P与y轴的位置关系，并说明理由．
21.(本小题8分)
已知：如图，已知⊙O的半径为1，菱形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，且CD与⊙O相切．
(1)求证：BC与⊙O相切；
(2)求阴影部分面积．
22.(本小题8分)
学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门.小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字(如图1)，其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点.通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
(1)请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；
(2)“技”与“之”的水平距离为2a米.小明想同时达到如下两个设计效果：
①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现，请说明理由．
23.(本小题9分)
为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：基本了解；C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有______人；
(2)求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
(3)全校约有学生1500人，估计“A”等级的学生约有多少人？
(4)七年一班从“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
24.(本小题12分)
我们知道，二次函数y=a(x−h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线，现定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将抛物线y′向上平移m(m>0)个单位，得到新的抛物线ym，我们称ym叫做二次函数y=a(x−h)2+k(a≠0)的m阶变换．
(1)已知：二次函数y=2(x+2)2+1，它的顶点关于原点的对称点为______，这个抛物线的2阶变换的表达式为______．
(2)若二次函数M的6阶变换的关系式为y6=(x−1)2+5．
①二次函数M的函数表达式为______．
②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，动点P在抛物线y6上，作PD⊥直线AB，请求出PD最小时P点的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得：k−1=−1，
解得：k=0，
故选：A．
利用反比例函数定义进行解答即可．
此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数形式为y=kx(k为常数，k≠0)或y=kx−1(k为常数，k≠0)．
2.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，原图形绕对称中心旋转180度后与自身完全重合．
3.【答案】A
【解析】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，
∴摸出一个球是红球的概率是13，
故选：A．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；概率计算公式为所求情况数与总情况数之比．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
4.【答案】D
【解析】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB=45°，
故选：D．
根据圆周角定理解答．
本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5.【答案】B
【解析】解：矩形OCAB的面积=|k|=6．
故选：B．
直接根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6.【答案】D
【解析】A.由点A、B的坐标知，二次函数图象的对称轴是直线x=−1+32=1，故A正确，不符合题意；
B.由函数图象知，y=ax2+bx+c与x轴交点坐标为(−1,0)、(3,0)，故方程ax2+bx+c=0的两根是x1=−1，x2=3，故B正确，不符合题意；
C.抛物线的对称轴为直线x=1，从图象看，当x<1时，函数值y随自变量x的增大而减小，故C正确，不符合题意；
D.设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x−3)，当x=0时，y=a×(0+1)×(0−3)=−1，解得a=13，
故抛物线的表达式为y=13(x+1)(x−3)，当x=1时，函数y=ax2+bx+c的最小值为13×(1+1)×(1−3)=−43≠−2，故D错误，符合题意，
故选：D．
A.由点A、B的坐标得到二次函数图象的对称轴，即可求解；
B.由函数图象知，y=ax2+bx+c与x轴交点坐标为(−1,0)、(3,0)，即可求解；
C.抛物线的对称轴为直线x=1，根据对称轴左侧函数的增减性，即可求解；
D.由点A、B、C的坐标求出抛物线表达式，即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
7.【答案】m<0
【解析】解：∵反比例函数y=mx(m≠0)图象在第二、四象限，
∴m<0．
根据反比例函数的性质，结合图象所在的象限，求出m的取值范围．
本题考查了反比例函数的性质，关键是根据图象所在的象限得到m的取值范围．
8.【答案】π
【解析】【分析】
本题主要考查正多边形的性质和弧长公式，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．
【解答】
解：如图，连接OA、OB，
∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB=360°×16=60°，
AB的长为60π⋅3180=π．
9.【答案】m<9
【解析】解：∵关于x的方程x2+6x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=62−4×1×m=36−4m>0，
解得：m<9，
故答案为：m<9．
根据根的判别式求出Δ=62−4×1×m>0，再求出不等式的解集即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)，①当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ=b2−4ac<0时，方程没有实数根．
10.【答案】0.5
【解析】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：7961550≈0.5．
故答案为：0.5．
计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
11.【答案】(−2.2)
【解析】解：如图，过点C作CH⊥x轴于H．
∵A(2,0)，B(0,4)，
∴OA=2，OB=4，
∵∠AHC=∠AOB=∠BCA=90°，
∴∠CAH+∠BAO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CAH=∠ABO，
在△AOB和△CHA中，
∠AHC=∠AOB∠CAH=∠ABOAC=AB，
∴△AOB≌△CHA(AAS)，
∴CH=OA=2，AH=OB=4，
∴OH=AH−OA=2，
∴C(−2,2)．
故答案为：(−2,2)．
如图，过点C作CH⊥x轴于H.证明△AOB≌△CHA(AAS)，推出CH=OA=2，AH=OB=4，可得结论．
本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
12.【答案】1s，4s，7s
【解析】【分析】
此题主要考查了切线的判定，含30度角的直角三角形，直线与圆的位置关系，解决本题的关键是利用时间t来表示线段之间的关系是动点问题中是常用的方法之一，要会灵活运用．
分4种情况讨论：①当圆心O运动到点E与点C重合是时；②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时；③过C点作CF⊥AB，交AB于F点，当半圆O与△ABC的边AB相切时，圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t=4．
【解答】
解：①当圆心O运动到点E与点C重合是时，
∵AC⊥OE，OC=OE=6cm，
此时AC与半圆O所在的圆相切，点O运动了2cm，
所求运动时间为t=2÷2=1(s)；
②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时，
此时OC=6cm，点O运动的距离为8+6=14(cm)，
所求运动时间为t=14÷2=7(s)；
③如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点，
∵∠ABC=30°，BC=12cm，
∴FO=6cm；
当半圆O与△ABC的边AB相切时，
∵圆心O到AB的距离等于6cm，
且圆心O又在直线BC上，
∴O与C重合，
即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；
此时点O运动了8cm，所求运动时间为t=8÷2=4(s)，
当点O运动到B点的右侧，且OB=12cm时，
如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．
在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ=6cm，
即OQ与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了32cm．
所求运动时间为：t=32÷2=16s，
综上可知当t的值为1s或4s或7秒或16s时，
Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
因为圆心O运动到点B时停止，
所以此种情况不符合题意舍去，
综上所述，t=1s，4s，7s时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
故答案为：1s，4s，7s．
13.【答案】解：(1)把A(1,2)代入y1=kx得k=2，
∴反比例函数解析式为y2=2x，
把A(1,2)代入y2=x+b得2=1+b，解得b=1，
∴一次函数解析式为y=x+1；
(2)由函数图象可得：当y11；
(3)设P(x,2x)，
当x=0时，y=x+1=1，
∴C(0,1)，
∵S△OCP=6，
∴12×1×|x|=6，解得x=±12，
∴P(12,16)或(−12,−16).
【解析】(1)把A点坐标代入y1=kx中求出k得到反比例函数解析式，把A点坐标代入y2=x+b中求出b得到一次函数解析式；
(2)由函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
(3)设P(x,2x)，先利用一次解析式解析式确定C(0,1)，再根据三角形面积公式得到12×1×|x|=6，然后解绝对值方程得到x的值，从而得到P点坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
14.【答案】解：把系数化为1，得
(x−1)2=94
开方得x−1=±32
解得x1=52，x2=−12．
【解析】直接开平方法必须具备两个条件：
(1)方程的左边是一个完全平方式；
(2)右边是非负数．将右边看做一个非负已知数，利用数的开方解答．
本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
15.【答案】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCE，
∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠A=∠BEC，
∴DA=DE，即△ADE是等腰三角形；
【解析】根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的判定定理证明．
本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键，解答时，注意方程思想的灵活运用．
16.【答案】随机 5
【解析】解：(1)根据题意可得：
“盒中没有混人‘HB’铅笔”是随机事件，
故答案为：随机；
(2)∵盒中混入1支“HB”铅笔的概率为14，
∴m20=14，
∴m=5，
故答案为：5．
(1)根据事件的性质进行解答即可；
(2)利用概率公式列式计算即可．
本题主要考查了事件的分类以及概率的求法，如果一个事件有n种可能，且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
17.【答案】解：由题意可知：m2+3m−5=0，
即m2+3m=5，
原式=m2+2m+1+m2+4m
=2m2+6m+1
=2(m2+3m)+1
=2×5+1
=11．
【解析】由题意可知：m2+3m−5=0，然后化简原式后代入即可求出答案．
本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算，本题属于基础题型．
18.【答案】解：(1)如图1，CD为所求．

(2)如图2，△AEM为所求．
【解析】(1)连接BO，AO，延长BO，AO分别交⊙O于C，D，连接CD，线段CD即为所求作．
(2)连接AM，AO，延长AO交⊙O于E，连接ME，△AEM即为所求作．
本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：∵OM:MC=3:2，
∴可设OM=3x，MC=2x，
∵⊙O的半径为10，
∴3x+2x=10，
解得：x=2，
即OM=3×2=6，
连接OA，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AM=BM，∠AMO=90°，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：OA2=OM2+AM2，
BM=AM= OA2−OM2= 102−62=8，
∴AB=8+8=16．
【解析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
根据题意，先设OM=3x，MC=2x，进而求出OM的值，再根据垂径定理得出AM=BM，再根据勾股定理求出AM即可．
20.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A，点A的坐标为(2,6)，
∴k=2×6=12，
∴反比例函数的解析式为y=12x，
∵⊙P经过A、B点，
∴PA=PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∵直线AB/​/y轴，
∴B(2,0)，P点的纵坐标为3，
把y=3代入y=12x得，3=12x，则x=4，
∴P(4,3)，
∵⊙P与x轴交于B，C两点，
∴P是BC的垂直平分线上的点，
∴C(6,0)；
(2)相离，理由如下：
∵P(4,3)，B(2,0)，
∴PB= (4−2)2+32= 13，
∴⊙P的半径为 13，
∵P的横坐标为4，4> 13，
∴⊙P与y轴相离．
【解析】(1)根据待定系数法求得k，然后根据题意P在AB的垂直平分线上，得出P的纵坐标为3，代入解析式求得横坐标，同样根据P是BC的垂直平分线上D的点求得C的坐标；
(2)根据勾股定理求得圆的半径，与P的横坐标比较即可判断．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，直线与圆的位置关系等，求得P的坐标是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：连结OB、OD、OC，
∵ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∵OC=OC，OD=OB，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC=∠OBC，
∵CD与⊙O相切，∴OD⊥CD，
∴∠OBC=∠ODC=90°，
即OB⊥BC，点B在⊙O上，
∴BC与⊙O相切．
(2)解：∵ABCD是菱形，
∴∠A=∠DCB，
∵∠DOB与∠A所对的弧都是BD，
∴∠DOB=2∠A，
∴∠DOB=2∠DCB，
由(1)知∠DOB+∠DCB=180°，
∴∠DOB=120°，∠DOC=60°，
∵OD=1，∴OC=2，DC= 3，
∴S阴影=2S△DOC−S扇形OBD=2×12×1× 3−120⋅π⋅12360= 3−13π.
【解析】(1)连结OB、OD、OC，只要证明△OCD≌△OCB，推出∠ODC=∠OBC，由CD与⊙O相切推出OD⊥CD，推出∠OBC=∠ODC=90°，由此即可证明；
(2)根据S阴影=2S△DOC−S扇形OBD计算即可；
本题考查菱形的性质、切线的判定和性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)以过拱顶为原点，以过拱顶平行于地面的直线为x轴建立如图所示坐标系：

设抛物线解析式为y=mx2，
∵抛物线过点(−5,−6.25)，
∴25m=−6.25，
解得m=−0.25，
∴抛物线解析式为y=−0.25x2；
(2)能实现，
由(1)知抛物线解析式为y=−0.25x2，
设“之”的坐标为(a,−y)，
则“星”的坐标为(2a,−y−1.5)，
∴−y=−0.25a2，y−1.5=−0.25×4a2，
∴−0.25a2−1.5=−a2，
解得a=± 2，
∵a>0，
∴a= 2，
∴能实现，a= 2．
【解析】(1)建立如图所示坐标系，由待定系数法求函数解析式即可；
(2)根据题意求出“之”和“星”的坐标，然后求出a的值即可．
本题考查二次函数的应用，关键是建立适当坐标系求出抛物线解析式．
23.【答案】解：(1)40；
(2)扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：360°×840=72°，
“B”等级的人数为：40−6−16−8=10(人)，
补全条形统计图如下：
(3)估计“A”等级的学生约有：1500×640=225(人)；
(4)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23．
【解析】【分析】
此题考查的是树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有等可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)由“C”等级的人数除以所占百分比即可；
(2)由360°乘以“D”等级所占的比例得出扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，再求出“B”等级的人数，补全条形统计图即可；
(3)由全校总人数乘以“A”等级的学生所占的比例即可；
(4)画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：(1)接受问卷调查的学生共有：16÷40%=40(人)，
故答案为：40；
(2)见答案；
(3)见答案．
(4)见答案．
24.【答案】(2,−1) y=−2(x−2)2+1 y=−(x+1)2+1
【解析】解：(1)∵二次函数y=2(x+2)2+1的顶点坐标为(−2,1)，
则该点关于原点的对称点为(2,−1)，
此时抛物线的表达式为y=−2(x−2)2−1，
则这个抛物线的2阶变换的表达式为y=−2(x−2)2−1+2=−2(x−2)2+1，
故答案为：(2,−1)，y=−2(x−2)2+1；
(2)①将y6=(x−1)2+5向下平移6个单位得到y=(x−1)2−1，
此时该抛物线的顶点坐标为(1,−1)，
该点关于原点的对称点为(−1,1)，
则抛物线M的表达式为y=−(x+1)2+1，
故答案为：y=−(x+1)2+1；
②存在，理由如下：
∵y=−(x+1)2+1，令y=0，则x=−2或0，
故点B(−2,0)，
而点A(−1,1)，
由点A、B的坐标得：直线AB的函数表达式为：y=x+2，
令x+2=(x−1)2+5，即x2−3x+4=0，
此时方程无实数根，二次函数y6开口向上，
∴二次函数在一次函数上方，
∴把y=x+2向上平移n个单位得y=x+2+n，
当y=x+2+n与y6有唯一交点时，点P与直线AB的距离最短，
令x+2+n=(x−1)2+5，即x2−3x+4−n=0，
∵两个函数有唯一交点，
∴b2−4ac=0，即(−3)2−4(4−n)=0，
解得n=74，
故x2−3x+4−n=0变为x2−3x+94=0，
解得x=32，
当x=32时，y=(x−1)2+5=214，
故点P的坐标为(32,214).
(1)二次函数y=2(x+2)2+1的顶点坐标为(−2,1)，则该点关于原点的对称点为(2,−1)，此时抛物线的表达式为y=−2(x−2)2−1，进而求解；
(2)①将y6=(x−1)2+5向下平移6个单位得到y=(x−1)2−1，此时该抛物线的顶点坐标为(1,−1)，该点关于原点的对称点为(−1,1)，进而求解；
②求出直线AB的函数表达式为：y=x+2，令x+2=(x−1)2+5，即x2−3x+4=0，此时方程无实数根，二次函数y6开口向上，则二次函数在一次函数上方，把y=x+2向上平移n个单位得y=x+2+n，当y=x+2+n与y6有唯一交点时，点P与直线AB的距离最短，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、图形得平移、根的判别式、新定义等，综合性强，难度适中．投篮次数(n)
50
100
150
200
250
300
500
投中次数(m)
28
60
78
104
123
152
251
投中频率(m/n)
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
混入“HB”铅笔数
0
1
2
盒数
6
m
n