江西省永修县县城学校2023-2024学年九年级上学期五校期末联考数学试题(含答案)

这是一份江西省永修县县城学校2023-2024学年九年级上学期五校期末联考数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．二次函数 的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．下图是由一个长方体，截去了一部分的得到的几何体，则其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2=100B．100（1﹣x）2=80C．80（1+2x）=100D．80（1+x2）=100
4．一个盒子中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个白球．现从中任取1个球，则取到白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，．对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
7．已知，则的值为 ．
8．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿，它的影子，木竿的影子有一部分落在了墙上，它的影子，木竿的长度为 ．
9．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ．
10．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程 ．
11．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形CDEB为菱形．
12．已知抛物线y=a(x−1)(x+)与x轴交于点A(1，0)和点B（点A始终在点B的右边），与y轴交于点C，若△ABC为等腰三角形，则a的值为 ．
三、解答题
13．（1）计算：；
（2）解方程．
14．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别是BC，CD边上的高，证明：．
15．江西省教育厅发出通告宣布中考体育改革，男生的项目改为：1000米为必测项目；另在跳绳，50米，立定跳远和俯卧撑四项中自愿选择其中两项进行测试．例，1000米，跳绳和50米为一种测试方案．
(1)每位考生有______种测试方案；
(2)用画树状图或列表的方法求出班上小明和小刚两位男同学正好选中同种方案的概率．（友情提醒：各种方案可以用字母或者数字来代替以简化解答过程）
16．如图，在所给的8×8方格纸中，每个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点叫格点，点A，B均在格点上．请画出符合要求的格点四边形（格点四边形是指四边形的各顶点均在小正形的顶点上）．
(1)在图1中画出一个以AB为边的矩形．
(2)在图2中画出一个以AB为对角线的正方形．
17．如图，已知平行四边形中，点O为坐标原点，点，，函数的图象经过点C．

(1)求k的值及直线的函数表达式：
(2)求四边形的周长．
18．2020年，一场突然而来的新型冠状病毒肺炎疫情阻挡了学生们开学的脚步，多地学校进行了“战役在家，线上课堂”活动，保证学生离校不离学，为减少初中生被网络诈骗的案件，因此要求学生掌握防诈骗知识并进行网络测评．为了解某校学生的测试情况，从中随机抽取部分学生的成绩进行统计，并把测试成绩分为A．B．C．D四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数；
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机选取两名学生参加全市中学生防网络诈骗知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名学生同时被选中的概率．

19．某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600元，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获利润W元；
（2）在（1）的条件下，若商场获利了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？
（3）在（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于45元，且商场要完成不少于480件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获利的最大利润是多少元？
20．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）

（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC，垂足为M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN，垂足为G，连接CM．
(1)求证：直线MN是⊙O的切线；
(2)求证：BD2＝AC•BG；
(3)若BN＝OB，⊙O的半径为1，求tan∠ANC的值．
22．如图，在四边形ABCD中，G是DC上的点，连接BG，点F是BG上的点，在BC上取点H，使，连接HF，CF，AF．
(1)①如图1，点F为正方形ABCD中对角线AC上一点，求证：；
②如图2，在正方形ABCD中，若于F，求证：．
(2)如图3，若四边形ABCD为菱形，
①直接写出与之间的数量关系；
②若，．，，求AH的长；
23．如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）过点P作PQ⊥x轴，分别交线段AB、抛物线于点Q，C，连接AC．若OP＝1，求△ACQ的面积；
（3）如图2，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，其中是顶点坐标，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴二次函数 的顶点坐标是
故选：C
2．C
【分析】俯视图是从上边看，得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【详解】解：该几何体的俯视图如图所示：
故选∶C．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握俯视图的观察位置．
3．A
【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即： 80（1+x）2=100，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
4．C
【分析】本题考查了概率公式，熟练运用概率公式计算是解题的关键．随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
【详解】解：∵一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取1个球，
∴取到的是白球的概率为：
故选：C
5．A
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF=x，
∴tan∠BDE= .
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
6．A
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合c的取值范围可对②进行判断；由OA=OC可得A的坐标，代入解析式可判断③；由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④.
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，所以②正确；
∵，，
∴，
把代入得，
∴，所以③正确；
∵，对称轴为直线，
∴，
∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确；
综上正确的有4个，
故选A
【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点及与二次函数图象与系数的关系，做好本题要知道以下几点：①当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左； 当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0，c)．④抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，注意利用数形结合的思想．
7．/
【分析】先用含x的代数式表示y，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵
∴y=3x，
∴=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是用含x的代数式表示y．
8．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．根据同一时刻物高与影长成正比列式求解即可．
【详解】解：设木竿长为
依题意得，
即
解得，
答：木竿长度为
故答案为：．
9．2022
【解析】根据一元二次方程解的意义可得a+b的值，然后代入所求的算式即可得到解答．
【详解】解：由题意可得：
a+b+1=0，
∴a+b=-1，
∴2021-a-b=2021-(a+b)=2021+1=2022，
故答案为2022．
【点睛】本题考查代数式的求值，根据一元二次方程解的意义求得a+b的值是解题关键．
10．x（x+12）=864
【分析】利用长乘以宽=864，列出方程即可得出答案．
【详解】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）=864．
故答案为：x（x+12）=864．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．
11．
【分析】首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则
【详解】解：如图,连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中,，AC=4，BC=3
∴ (勾股定理)
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．
∵
∴
∴在Rt△BOC中,根据勾股定理得，
∴
故答案是：．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质,解题的关键是熟记菱形的判定方法．
12．
【分析】整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分①a＞0，②a＜0时，列式计算即可．
【详解】解：y=a（x-1）（x+）=（x-1）（ax+2），
所以，抛物线经过点A（1，0），C（0，-2），AC=，
点B坐标为（-，0），
①a＞0时，点B在x轴负半轴上，
由于点A始终在点B的右边，此情况不符合题意，舍去；
②a＜0时，点B在x轴的正半轴，符合点A始终在点B的右边，
只有AC=AB，则--1=，
解得：a=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键．
13．（1）（2）
【分析】本题考查了含特殊角的混合运算以及解一元二次方程：
（1）先把每个特殊角的函数值化简，再进行二次根式运算，即可作答．
（2）先移项，再提公因式，然后令每个因式为0，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2）
即
解得
14．见解析
【分析】由菱形的性质可知，，，可知，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵AE，AF分别是BC，CD边上的高，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质．
15．(1)6
(2)
【分析】（1） 根据题意可以写出每个考生的测试方案，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列表，从而可以求得班上小明和小刚两位男同学正好抽中同种方案的概率．
【详解】（1）解：由题意可得，每位考生的测试方案为：（跳绳，50米），（跳绳，立定跳远），（跳绳，俯卧撑），（50米，立定跳远），（50米，俯卧撑），（立定跳远，俯卧撑），
∴每位考生有6种测试方案，
故答案为：6；
（2）解：设6种测试方案为A，B，C，D，E，F，列表如下：
共有36种等可能的结果，其中，班上小明和小刚两位男同学正好抽中同种方案的结果有6种，
∴班上小明和小刚两位男同学正好抽中同种方案的概率．
【点睛】本题考查列举法、列表法和树状图法求事件的概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的判定方法画出图形即可；
（2）根据正方形的判定方法画出图形即可．
【详解】（1）如图1中，矩形ABCD即为所求；
连接AC，
根据勾股定理可得：，，
∴AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵，
∴，
∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）如图2中，正方形AEBF即为所求．
根据勾股定理可得：，
∴四边形AEBF是菱形，
∵，
∴∠E=90°，
∴四边形AEBF是正方形．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理及逆定理，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
17．(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数的图象经过点C，可以求得k的值，再根据平行四边形的性质即可求得点B的坐标，从而可以求得直线的函数解析式；
（2）根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长．
【详解】（1）解：依题意有：点在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
又∵轴，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如图，作CD⊥OA于点D，

∵，
∴，
在平行四边形中，
，，
∴四边形的周长为：，
即四边形的周长为6+2．
【点睛】本题考查求反比例函数解析式，求一次函数解析式，勾股定理，平行四边形的性质等，解题的关键是通过平行四边形的性质求出点B的坐标．
18．(1)2；45；20；(2)条形统计图见详解，72°；（3）
【分析】（1）用等次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再分别求出和等次的人数，然后计算出、的值；
（2）先补全条形统计图，然后用乘以等次所占的百分比得到等次的扇形所对的圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出甲、乙两名男生同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1），
；
，即；
，即；
（2）等次人数为，
条形统计图补充为：
等次的扇形所对的圆心角的度数；
故答案为2，45，20，；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两名男生同时被选中的结果数为2，
所以甲、乙两名男生同时被选中的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
19．（1），；（2）50元或80元；（3）商场销售该品牌玩具获利的最大利润是10560元
【分析】（1）根据销售量与销售单价之间的变化关系就可以直接求出y与x之间的关系式；根据销售问题的利润=售价-进价就可以表示出w与x之间的关系；
（2）根据题意得方程求得x1=50，x2=80，于是得到结论；
（3）根据销售单价不低于45元且商场要完成不少于480件的销售任务求得45≤x≤52，根据二次函数的性质得到当45≤x≤52时，y随x增大而增大，于是得到结论．
【详解】解：（1）依等量关系式“销量=原销量-因涨价而减少销量，总利润=单个利润×销量”可列式为：
y=600-10（x-40）=-10x+1000；
W=（x-30）（-10x+1000）=-10+1300x-30000
（2）由题意可得：10+1300x30000=10000，
解得：x=50或x=80，
∴该玩具销售单价x应定为50元或80元
（3）由题意可得：，
解得：45≤x≤52，
W=10+1300x30000=10（+12250，
∵10<0，W随x的增大而减小，
又∵45≤x≤52，
∴当x=52时，W有最大值，最大值为10560元，
∴商场销售该品牌玩具获利的最大利润是10560元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
20．（1）4.2米；（2）14米
【分析】（1）可得，在中由即可求AG；
（2）设，利用三角函数由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解．
【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，

∴，，．
在中，，，
∵，，．
∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米．
（2）过点作于点，设，
在中，，，
∵，∴，
在中，，，
∵，∴．
∵，
∴，
∵，，
解得．
∴（米）
答：房屋的高约是14米．
【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由AB是直径得AD⊥BC，由AB＝AC得∠BAD＝∠CAD，由OA＝OD得∠ODA＝∠BAD，进而推出∠ODM＝90°即可；
（2）由条件推出△CMD∽△CDA ，证明△BGD≌△CMD，根据相似三角形和全等三角形的性质推出结论；
（3）由条件推得∠BOD＝60°，进而可得△ABC是等边三角形，从而CO⊥AB，求出OC，进一步可求得结果．
【详解】（1）证明：如图1，
连接AD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵NM⊥AC，
∴∠AMN＝90°，
∴∠DAC＋∠ADM＝90°，
∴∠ODA＋∠ADM＝90°，即∠ODM＝90°，
∴OD⊥MN，
∴直线MN是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知，∠ADC＝90°，BD＝CD，
∴∠ADC＝∠DMC＝90°，
∵∠ACD＝∠DCM，
∴△CMD∽△CDA，
∴，
∴CD2＝AC•CM，
∴BD2＝AC•CM，
在△BGD和△CMD中，，
∴△BGD≌△CMD（AAS），
∴BG＝CM，
∴BD2＝AC•BG；
（3）解：如图2，
连接OD，OC，由（1）知∠ODN＝90°，
∵OD＝OB＝BN＝1，
∴cs∠DON＝，
∴∠DON＝60°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，OC＝AC•sin60°＝，
∴tan∠ANC＝．
【点睛】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握图形的性质及图形的特殊性．
22．(1)①见解析；②见解析
(2)①＋＝180°；②
【分析】(1)①根据SAS证明，则可得到；
②先证明△BFC∽△BCG，由相似三角形的性质得出，∠BCF=∠CGB=∠GBA，再证明，由相似三角形的性质得出∠CFH=∠AFB；
(2)①先证明△BFC∽ △BCG， 由相似三角形的性质得出，再证明△CFH∽△ BFA，由相似三角形的性质得出∠CHF=∠FAB，则可得出结论；
②同理证明＋＝180°，将AH绕着点H逆时针旋转120度至连接，可得，是以120°为顶点的等腰三角形，则可求出AH的长．
【详解】（1）①∵点F为正方形ABCD中对角线AC上一点，
∴AC平分，
∴∠GCF=∠HCF
又∵，
∴，
∴；
②∵由，，，
可得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）①＋＝180°,
理由:∵∠CFB=∠BCD，∠FBC=∠FBC，
∴△BFC∽ △BCG，
∴，，
又∵CG=CH，AB=BC，
∴，
∵∠ABF=∠FCB，
∴△CFH ∽△BFA，
∴∠CHF=∠FAB，
∵∠CHF＋∠BHF＝180°，
∴＋＝180°；
②由，，
得，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，得，
∵∠CHF＋∠BHF＝180°，
∴＋＝180°，
∵，
∴，与互补，
将AH绕着点H逆时针旋转120度至，可得，
连接，可得，
∴，，
∴点A、B、共线，
∵．
∴是以120°为顶点的等腰三角形，
易得，即，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识．添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）将代入，即可求解；
（2）先求直线的解析式为，则，，可求；
（3）设，过点作轴垂线交于点，可证明，则，将点代入抛物线解析式得，求得或．
【详解】解：（1）将代入，
，
；
（2）令，则，
或，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
轴，
，，
，
；
（3）设，
如图2，过点作轴垂线交于点，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
解得或，
或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合．
小刚
小明
A
B
C
D
E
F
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
（A，F）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
（B，F）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
（C，E）
（C，F）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
（D，E）
（D，F）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）
（E，E）
（E，F）
F
（F，A）
（F，B）
（F，C）
（F，D）
（F，E）
（F，F）