2024年数学中考一轮复习专题：实数

这是一份2024年数学中考一轮复习专题：实数，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．9的算术平方根是( )
A．3B．±3C．3D．±3
2．下列说法正确的是（ ）
A．正数的平方根是它本身B．100的平方根是10
C．－10是100的一个平方根D．－1的平方根是－1
3．下列根式是最简二次根式的是 （ ）
A．13B．12C．3D．50
4．下列各式中，正确的是（ ）
A．(−3)2=−3B．−32=−3C．(±3)2=±3D．32=±3
5．若a2=4，b2=9，且ab＜0，则a-b的值为（ ）
A．-2B．±5C．5D．-5
6．若a，b为实数，且满足|a−2|+b2=0，则b−a的值为（ ）
A．2B．0C．−2D．以上都不对
7．如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数x＝4，则输出的结果y为（ ）
A．2B．﹣2C．2D．−2
8．若x<19+3A．9B．8C．7D．7或8
二、填空题
9．比较大小： 3−12 12 （填“＞”“＜”或“＝”）．
10． 计算(2−6)×18−313= ．
11．已知，x、y是有理数，且y＝x−2+ 2−x﹣4，则2x+3y的立方根为 ．
12． 已知x＝13−22，y＝13+22，xy+yx−4= ．
13．已知a，b是两个连续整数，a<1714． 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是 ．
15．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ 3 ]=1．现对72进行如下操作：72 →第一次 [ 72 ]=8 →第二次 [ 8 ]=2 →第三次 [ 2 ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
16．在草稿纸上计算：①13 ；②13+23 ；③13+23+33 ；④13+23+33+43 ，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值 13+23+33+⋯+283 = ．
三、解答题
17．计算：
（1）2÷8；
（2）48+23−913；
（3）(5−1)2+20．
18．先化简，再求值：(1−x−yx+y)÷(2yx2+2xy+y2)，其中|x−3|+y+1=0．
19．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ．
（2）求剩余木料的面积．
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条．
20．如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B，
（1）点A表示的数为 ；点B表示的数为 ，线段AB的长度为 ；
（2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，设点C表示的数为c，
①实数c的值为 ▲ ；
②求|c+1|+|c−1|的值；
（3）在数轴上，还有D、E两点分别表示m，n且有|2m+n|与n2−16互为相反数，求2m−3n的平方根。
21．宇宙中有数目庞大的行星，其中行星A的表面积为9600 000平方千米．若把行星A看成一个球体，则它的半径是多少千米？ （ 设球体的表面积为S，半径为r，则r= S12.56，结果精确到1千米）
22．小明在解决问题：已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3，
∴a−2=−3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）①化简a=12−1＝ ▲ ；
②当a=12−1时，求3a2﹣6a﹣1的值．
（2）化简13+1+15+3+17+5+⋯+1121+119．
23．如图，在平面直角坐标系中，点C(−3，0)，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足OB2−3+|OA−1|=0．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
【解答】∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故选A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的等于，其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2．【答案】C
【解析】【解答】A、∵正数的平方根有两个，且互为相反数，∴A不正确，不符合题意；
B、∵100的平方根是±10，∴B不正确，不符合题意；
C、∵-10是100的一个平方根，∴C正确，符合题意；
D、∵负数没有平方根，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平方根的计算方法逐项分析求解即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】A、 13=33 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 12=22 ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 3 是最简二次根式，符合题意；
D、 50=52 ，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：C
【分析】 如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。 根据最简二次根式满足的条件求解即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：A、 (−3)2 =|﹣3|=3；故A错误；
B、 −32 =﹣|3|=﹣3；故B正确；
C、 (±3)2 =|±3|=3；故C错误；
D、 32 =|3|=3；故D错误．
故选：B．
【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
5．【答案】B
【解析】【解答】∵a2=4，b2=9，∴a=±2，b=±3，∵ab＜0，∴a=2，则b=-3，a=-2，b=3，
则a-b的值为：2-（-3）=5或-2-3=-5．
【分析】用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a-b的值；此题有两个答案，勿漏算．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
a−2=0b2=0，解得：a=2b=0
∴b-a=0-2=-2
故答案为：C
【分析】根据绝对值的非负性及二次根式的非负性可求出a，b值，再代入代数式即可求出答案.
7．【答案】C
8．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意
∵16+3<19+3<25+3
∴4+3<19+3<5+3
∴7<19+3<7+1
∴x=7
故答案为：C
【分析】根据无理数比较大小和确定整数部分的办法，应用夹逼准则进行判定无理数的大小范围。
9．【答案】<
【解析】【解答】解：∵1<3<2 ，
∴0<3−1<1 ，
∴3−12<12 ，
故答案为：<．
【分析】先估算出3−12的大小，再比较即可。
10．【答案】6−73
【解析】【解答】原式=2×18−6×18−313
=2×18−6×18−313
=36−108−3
=6−63−3
=6−73.
【分析】利用乘法运算律、二次根式的性质运算即可求解.
11．【答案】-2
【解析】【解答】解：由题意得：x−2≥02−x≥0，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
∴3−8=−2．
故答案是：﹣2．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可求出x值，再求出y值，从而得解.
12．【答案】30
【解析】【解答】∵x＝13−22，y＝13+22，
∴ x=13−22=3+22,y=13+22=3−22,
∴xy=1,x+y=6,
xy+yx−4=x2+y2−4xyxy=(x+y)2−6xyxy=62−61=30,
【分析】先根据x、y的值求出xy、x+y的值，再将 xy+yx−4化简后代入即可求解.
13．【答案】9
【解析】【解答】解：∵a，b是两个连续整数， 4<17<5， a<17∴a=4，b=5，
∴a+b=4+5=9.
故答案为：9.
【分析】利用估算无理数的大小，可知4<17<5，可求出a，b的值，然后求出a+b的值.
14．【答案】4
【解析】【解答】∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为9+9=18,
∴大正方形的边长=18，
∵16<18<4.52，
∴4<18<4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是 4.
【分析】利用算术平方根的概念结合正方形的性质进而求得结论.
15．【答案】3；255
【解析】【解答】解：①[ 81 ]=9，[ 9 ]=3，[ 3 ]=1，
故答案为：3；
②最大的是255，
[ 255 ]=15，[ 15 ]=3，[ 3 ]=1，而[ 256 ]=16，[ 16 ]=4，[ 4 ]=2，[ 2 ]=1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为：255．
【分析】①根据规律依次求出即可；②要想确定只需进行3次操作后变为1的所有正整数，关键是确定二次操作后数的大小不能大于4，二次操作时根号内的数必须小于16，而一次操作时正整数255却好满足这一条件，即最大的正整数为255．
16．【答案】406
【解析】【解答】∵①13 =1；
②13+23 =3=1+2；
③13+23+33 =6=1+2+3；
④13+23+33+43 =10=1+2+3+4，
∴13+23+33+⋯+283 =1+2+3+4+…+28=406．
故答案为： 406.
【分析】分别求出①②③④的结果，发现规律①式的结果为1；②式的结果为1+2；③式的结果为1+2+3…，根据此规律即可求解。
17．【答案】（1）解：2÷8
=2÷22
=12
（2）解：48+23−913
=43+23−33
=33
（3）解：(5−1)2+20
＝（5﹣25+1）+25
＝5﹣25+1+25
＝6．
18．【答案】解：(1−x−yx+y)÷(2yx2+2xy+y2)
=(x+yx+y−x−yx+y)÷2y(x+y)2
=2yx+y⋅(x+y)22y
＝x+y，
∵|x−3|+y+1=0
∴x﹣3＝0 y+1＝0
解得x＝3，y＝﹣1，
∴原式＝3﹣1＝2．
19．【答案】（1）32dm，42dm
（2）解：根据题意得：矩形的长为32+42=72dm，宽为42dm，
∴剩余木料的面积=(72×42)−18−32=56−18−32=6dm2；
（3）解：根据题意得：从剩余的木料的长为32dm，宽为42−32=2dm，
∵32<3×1.5，2>1，
∴能截出2×1＝2块这样的木条．
【解析】【解答】（1）小正方形的边长为18=32dm；大正方形的边长为32=42dm，
故答案为：32dm；42dm.
【分析】（1）利用正方形的面积及平方根的计算方法求出正方形的边长即可；
（2）先求出矩形的长和宽，再利用矩形的面积公式求解即可；
（3）先求出剩余木料的长和宽，再求解即可.
20．【答案】（1）−2；3；3+2
（2）解：①2−2；
②|c+1|+|c−1|
=|2−2+1|+|2−2−1|
=|3−2|+|1−2|
=3−2+2−1
=2
（3）解：因为|2m+n|与n2−16互为相反数
所以|2m+n|+n2−16=0
因为|2m+n|≥0，n2−16≥0
所以2m+n=0n2−16=0
解得m=−2n=4或者m=2n=−4
当m=−2n=4时：2m−3n=−16没有平方根
当m=2n=−4时：2m−3n=16，±16=±4
综上，2m−3n的平方根为±4
【解析】【解答】解：（1）
面积为2的正方形
边长=2
∵A在负半轴
∴点A表示的数为−2
故第一空填：−2
面积为3的正方形
边长=3
∴点B表示的数为3
故第二空填：3
线段AB的长度为3−−2=3+2
故第三空填：3+2
【分析】（1）理解开方的意义，会在数轴上表示数，会求两点间的距离；
（2）掌握用加减法表示数轴上的点的运动，向右为加，向左是减，会借助数轴提示的正负性给绝对值化简；
（3）根据题意，互为相反数的两个数代数和是0，再根据绝对值和算术平方根的非负性计算出m、n的值，代入求平方根即可。
21．【答案】解：将S=9600000代入 r= S12.56
得r=960000012.56≈874
∴行星A的半径约为874千米.
【解析】【分析】将s=9600000平方千米代入 r= S12.56 ，再根据算术平方根定义求解即可.
22．【答案】（1）解：①a＝12−1＝2+1(2−1)(2+1)＝2+1；
②3a2﹣6a+1＝3（a2﹣2a+1﹣1）+1
＝3（a﹣1）2﹣2
＝3（2+1﹣1）2﹣2
＝3×2﹣3
＝3，
故答案为：3；
（2）解：原式＝3−1(3+1)(3−1)+5−3(5+3)(5−3)+7−5(7+5)(7−5)+⋯121−119（121+119）（121−119）＝3−12+5−32+7−52+⋯+121−1192
＝121−12
＝5．
【解析】【分析】（1）①利用二次根式分母有理化的计算方法分析求解即可；
②先利用分母有理化化简求出a的值，再将其代入3a2﹣6a﹣1计算即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可.
23．【答案】（1）解：∵OB2−3+|OA−1|=0
∴OB2−3=0，OA−1=0
∴OB=3，OA=1
∵点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上
∴A(1，0)，B(0，3)
（2）解：∵OB=3，OA=1，∠AOB=90°，
∴AB=(3)2+12=2， AC＝4，
同理：BC=(3)2+32=23，
∵(23)2+22=42，即：BC2+AB2=AC2，
∴∠ABC=90∘，
过P作PQ⊥CA于Q，
∵sin∠ABC=PQCP=ABAC=24=12，CP=t，
∴PQ=t2，
∴S=S△ABC-S△APC=23-t(0≤t<23)
（3）P1(−3，0)，P2(−1，233)
【解析】【解答】解：（3）由（2）得AC＝4，AB=12+(3)2=2，BC=32+(3)2=23，
∴AB2+BC2＝22+（23）2＝16＝AC2．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°．
以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似，分两种情况：
①△ABP∽△AOB
∴ABAO=BPOB
∴21=BP3
∴BP=23
点P与点C重合P1（－3，0）；
②△ABP∽△BOA，
∴ABBO=BPOA，
∴23=BP1，
∴BP=233，
∴CP=CB−BP=433
过P作PQ⊥CA于Q，
∵PQ⊥CA，BO⊥CA，
∴PQ∥BO，
∴△CPQ∽△CBO，
∴CQCO=CPCB=PQOB=23，
∴CQ=2，PQ=233，
∴OQ=1，
∴P2（－1，233），
∴存在这样的点P，P1(−3，0)，P2(−1，233)．
【分析】（1）根据已知等式，利用算术平方根和绝对值的非负性，可以求出OA和OB的长，进而写出坐标轴正半轴上A、B的坐标；
（2）根据已知点的坐标，用两点间距离公式可以求出各边长，进而通过勾股定理判定 ∠ABC=90∘； 根据三角形面积公式，底为PB高为AB，即可写出函数关系式S=23−t；在确定t的取值范围时，考虑当P与C重合时，t=0，直角三角形ABP存在，故t最小值可以取到0，随着t变大当P与B重合时，t=23，直角三角形ABP不存在，故t最大值不可以取到等于23；
（3）在（2）的基础上思考，易知t=0、P与B重合时，△ABP∽△AOB，此时P的坐标易求；当P在BC上的时候，根据相似比可以求出BP的长，从而CP可求，此时根据相似的判定和性质定理，可求PQ、CQ的长，进而可求P的坐标。