特训02 三角形的初步认识压轴题（新题速递）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）

特训02 三角形的初步认识压轴题（2023新题速递）一、解答题1．（2023秋·河北石家庄·八年级校考开学考试）将两块直角三角板如图1放置，，，，，．  (1)若三角板如图1摆放时，则________，________．(2)现固定的位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于G，作和的角平分线交于点H，求的度数；(3)现固定，将绕点A顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的度数．2．（2023秋·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考开学考试）问题背景：小强在学习完平行线一节后，想利用平行线的知识证明“三角形的内角和是”；．如图1，是小强为证明三角形内角和是180°所采取的构图方法：过的顶点作．请完成：（1）利用小强的构图，说明的理由；尝试应用：如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧运动，点在射线上运动（不与重合）；请完成：（2）当时，平分，平分交直线于点，求的度数；拓展创新：如图3，点在线段上运动（不与重合），，，，交于点；请完成：（3）当为何值时，不随的变化而变化，并用含的代数式表示的度数（写出解答过程）．3．（2023春·四川广安·八年级校考期末）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．  (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和；①如图（2），当时，求证：；②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由．(2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值．4．（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）已知，在中，，，，三点都在直线上，  (1)如图①，若，则与的数量关系为______，，与的数量关系为________；(2)如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图③，若只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．5．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）在四边形中．  (1)如图1，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．小林同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是 ；(2)如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程．6．（2023·全国·八年级专题练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形．  (1)已知四边形是对补四边形．①若，则______°．②如图①，、的平分线分别与相交于点，且．求证：；(2)如图②，在四边形中，对角线交于点，且平分，，平分，与交于点，且于点，则四边形是对补四边形吗？请说明理由；(3)已知四边形是对补四边形，其三个顶点如图③所示，连接．若平分，平分，且直线，交于点（与点不重合），请直接写出与之间的数量关系．7．（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点．(1)如图，求证：．  (2)如图，连接，求证：平分．  (3)如图，若，，，求的值．  8．（2023·全国·八年级专题练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使请根据小明的方法思考：  （1）求得的取值范围是___________；【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题如图，已知，，，为的中点．  （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；（3）如图2，若，，不共线，求证：；（4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）．9．（2023·全国·八年级假期作业）（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，请直接写出与的关系：　　．（2）如图2，把分别沿、折叠，使点A落在点处，使点B落在点处，若，则　　°（3）如图3，在锐角中，于点M，于点N，、交于点H，把沿折叠使点A和点H重合，则与的关系是　　．A．    B．C．    D．（4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点A与点H重合，若，求的度数．10．（2023秋·江苏·八年级专题练习）【初步探索】  (1)如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；【灵活运用】(2)如图2，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】(3)如图3，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．11．（2023·全国·八年级专题练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．（1）①如图1，中，，则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2，中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写面法，保留作图痕迹）．【综合应用】（2）如图3，在中，，平分，过点作于点．①若，则 ；②请写出与，之间的数量关系 ；【拓展延伸】（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比．如图，是上一点，则有．如图，中，M是上一点＝，N是的中点，若三角形的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含的代数式表示）12．（2023秋·全国·八年级专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ；（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ．13．（2023秋·湖南长沙·八年级校考期末）如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且．(1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系；(2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；(3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求．14．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读理解在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；类比应用如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；拓展创新如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．15．（2023秋·甘肃定西·八年级校考期末）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线的取值范围是___________；（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系，并直接写出与的关系．16．（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）问题提出，如图（1），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，线段之间存在怎样的数量关系？问题探究(1)先将问题特殊化.如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示之间的数量关系；(2)再探究一般情形.如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.问题拓展(3)如图（3），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，直线与交于点G，点H为线段上一点，，与交于点I，若，，则___________（用含m，n的式子表示）17．（2023秋·山东青岛·八年级青岛超银中学校考期末）中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，，．初探：(1)如图1，若点P在线段上，且，则   °；(2)如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为 ；(3)如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为   ．再探：(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系；说明理由．(5)若点P运动到的外部，写出此时之间的关系 ．18．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）在四边形中．(1)如图1，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．小林同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是　　；(2)如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程．19．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：；（2）如图2，在四边形中，，分别是边上的点，且；求证：，（3）如图3，在四边形中，，分别是边延长线上的点，且，写出之间的数量关系，并证明你的结论．20．（2023·江苏·八年级假期作业）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．21．（2023·全国·八年级专题练习）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．(1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接．求证：；(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：；(3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请求出的值．22．（2023春·四川成都·八年级四川师范大学附属中学校考阶段练习）已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．  （1）如图1，求证BD=AE；（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长．23．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD．【探究应用】如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）