专题8.1 北师大版必修第一册综合检测卷-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

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考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022春·陕西西安·高二校联考期中）已知全集U=1,2,3,4,5,6，集合P=1,3,5，集合Q=1,2,4，则∁UP∩Q=（ ）
A．1B．3,5
C．2,4D．1,2,4,6
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解作答.
【详解】全集U=1,2,3,4,5,6，集合P=1,3,5，则∁UP={2,4,6}，而Q=1,2,4，
所以∁UP∩Q={2,4}.
故选：C
2．（2022秋·北京顺义·高一统考期末）已知|m|>|n|>0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．m>nB．|m|+n>0
C．m+n<0D．1m<1n
【答案】B
【分析】对于ACD，举例判断，对于B，分n>0,n<0两种情况判断
【详解】对于A，若m=−2,n=1时，满足|m|>|n|>0，而不满足m>n，所以A错误，
对于B，当n>0时，则|m|+n>0一定成立，当n<0时，由|m|>|n|>0，得m>−n，则|m|+n>0，所以B正确，
对于C，若m=2,n=1时，满足|m|>|n|>0，而不满足m+n<0，所以C错误，
对于D，若m=−2,n=−1时，则满足|m|>|n|>0，而不满足1m<1n，所以D错误，
故选：B
3．（2022·全国·高一专题练习）若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．ab≥2B．a+b≤2
C．2a+1b≥3D．a2+b2≥2
【答案】D
【分析】根据不等式串21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误.
【详解】对于选项A：∵ab≤a+b22=1，当且仅当a=b时取等号，∴A错误；
对于选项B： a+b2≤a+b2=1，a+b≤2，∴B错误；
对于选项C ：2a+1b=12a+b2a+1b=123+2ba+ab≥3+222，
因为3+222<3 ∴C错误；
对于选项D：∵a+b2≤a2+b22，当且仅当a=b时取等号，
∴a2+b2≥2，D正确；
故选：D
4．（2022秋·河北衡水·高一校考阶段练习）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】C
【分析】用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁UA表示除草合格的学生，则∁UB表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．
【详解】用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁UA表示除草合格的学生，则∁UB表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，
设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x=y+5，因为ymax=10，所以xmax=10+5=15．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合A,B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．
5．（2022·高一课时练习）为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛． 根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图． 若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（ ）
A．65
B．75
C．85
D．95
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图分别求出成绩在90,100，80,90的频率，进而得解.
【详解】根据频率分布直方图可知，成绩在90,100的频率为0.018×10=0.18
成绩在80,90的频率为0.044×10=0.44，0.044×10=0.442=0.22
又0.18+0.22=0.4，所以40%成绩较高的学生的分数在80,100之间，且最低分数为85
故选：C
6．（2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）函数fx=lnx−3x−33的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定函数探讨其对称性可排除选项A，B；再由x>4时的函数值符号即可判断作答.
【详解】函数fx=lnx−3x−33定义域为(−∞,3)∪(3,+∞)，其 图象可由函数g(x)=ln|x|x3(x≠0)的图象右移3个单位而得，
而g(−x)=ln|−x|(−x)3=−g(x)，即函数g(x)=ln|x|x3是奇函数，其图象关于原点对称，
因此，函数fx图象关于点(3,0)对称，选项A，B不满足；
又当x>4时，ln|x−3|>0，(x−3)3>0，即有fx>0，则当x>4时，fx图象在x轴上方，D不满足，
所以函数fx=lnx−3x−33的部分图象大致为C.
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为a,b,12，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为15，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（ ）
A．12B．35C．34D．310
【答案】D
【分析】根据互相独立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为15，则ab⋅1−12+12a(1−b)+12b(1−a)=15，所以12(a+b)−12ab=15，所以a+b−ab=25，所以该同学一个社团都不进入的概率P=(1−a)(1−b)⋅1−12=12[1−(a+b)+ab]=12{1−[(a+b)−ab]}=12×1−25=310．
故选：D．
8．（2022秋·云南昆明·高一东川明月中学校考期末）1986年4月26日，乌克兰普里皮亚季邻近的切尔诺贝利核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物为锶−90，它每年的衰减率约为2.5%.专家估计，当锶−90含量减少至初始含量的约1.6×10−9倍时，可认为该次核泄漏对自然环境的影响已经消除，这一过程约持续（ ）(参考数据：lg 2≈0.301，lg 975≈2.989)
A． 400年B．600年C．800年D．1000年
【答案】C
【分析】根据衰减率，列出方程，求解该次核泄漏对自然环境的影响消除时持续时间.
【详解】设初始含量为a，则a(1−2.5%)n=1.6×10−9a，即(9751000)n=161010，两边取对数得n=lg16−10lg975−3=10−4lg23−lg975≈800.
故选：C.
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2023春·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考开学考试）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若{x,y}⊆A，则xy，x+y∈A，且当x≠0 时，yx∈A，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（ ）
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合A是“紧密集合”，且x，y∈A，则x−y∈A
【答案】BC
【解析】根据“紧密集合”具有的性质逐一排除即可.
【详解】A选项：若x=2，y=1，而12∉Z，故整数集不是“紧密集合”，A错误；
B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；
C选项：集合−1,0,1是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；
D选项：集合A={−1,0,1}是“紧密集合”，当x=1，y=−1时，x−y=2∉A，D错误．
故选：BC.
【点睛】新定义题目的关键在于正确理解定义，从题意入手.
10．（2022春·河北邯郸·高一大名县第一中学校考开学考试）某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]这五组），则下列结论正确的是（ ）
A．直方图中a=0.005
B．此次比赛得分不及格的共有40人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5
D．这100名参赛者得分的中位数为65
【答案】ABC
【分析】由频率和为1求参数a，判断A；由直方图求60分以下的人数、求[60,80)的频率判断B、C；由中位数的性质求中位数即可判断D.
【详解】因为(a+0.01+0.02+0.03+0.035)×10=1，所以a=0.005，所以A正确；
因为不及格的人数为100×(0.005+0.035)×10=40，所以B正确；
因为得分在[60,80)的频率为(0.03+0.02)×10=0.5，所以从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5，所以C正确；
这100名参赛者得分的中位数为60+≠65，所以D错误．
故选：ABC.
11．（2022·高一课时练习）已知数据x1，x2，…，xn的平均数为x，标准差为s，则（ ）
A．数据x12，x22，…，xn2的平均数为x2，标准差为s2
B．数据2x1，2x2，…，2xn的平均数为2x，标准差为2s
C．数据x1＋2，x2＋2，…，xn＋2的平均数为x＋2，方差为s2
D．数据2x1－2，2x2－2，…，2xn－2的平均数为2x－2，方差为2s2
【答案】BC
【分析】举反例得到A错误，再根据平均值和方差的性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】取x1=1,x2=3，则x=2，x12=1,x22=9，x2=5，故x2≠x2，A错误；
数据2x1,2x2,⋅⋅⋅,2xn的平均数为2x，标准差为2s，B正确；
数据x1+2,x2+2,⋅⋅⋅,xn+2的平均数为x+2，方差为s2，C正确；
数据2x1−2,2x2−2,⋅⋅⋅,2xn−2的平均数为2x−2，方差为4s2，D错误.
故选：BC
12．（2022秋·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校考阶段练习）一般地，若函数fx的定义域为a,b，值域为ka,kb，则称a,b为的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为a,b，值域也为a,b，则称a,b为fx的“跟随区间”．下列结论正确的是（ ）
A．若1,b为fx=x2−2x+2的“跟随区间”，则b=2
B．函数fx=1+1x存在“跟随区间”
C．若函数fx=m−x+1存在“跟随区间”，则m∈−14,0
D．二次函数fx=−12x2+x存在“3倍跟随区间”
【答案】AD
【分析】对A，由跟随区间的定义可得b2−2b+2=b，求解即可；对B，根据定义得出{a=1+1bb=1+1a可求解；对C，根据定义得出{b=m−a+1a=m−b+1，解得a+1+b+1=1，令t=a+1化简可判断t2−t−m=0在区间[0,1]上有两根不相等的实数根；对D，根据定义设定义域为[a,b]，值域为[3a,3b]，可得讨论当a【详解】对A，若[1,b]为f(x)=x2−2x+2的跟随区间，因为f(x)=x2−2x+2在区间[1,b]为增函数，故其值域为[1,b2−2b+2]，根据题意有b2−2b+2=b，解得b=1或b=2，因为b>1故b=2．故A正确；
对B，因为函数f(x)=1+1x在区间(−∞,0)与(0,+∞)上均为减函数，故若f(x)=1+1x存在跟随区间[a,b]则有{a=1+1bb=1+1a，解得：{a=1−52b=1+52，但0∈[a,b]，
故不存在，B错误．
对C，若函数f(x)=m−x+1存在跟随区间[a,b]，因为f(x)=m−x+1为减函数，故由跟随区间的定义可知{b=m−a+1a=m−b+1⇒a−b=a+1−b+1，a即(a−b)(a+1+b+1)=(a+1)−(b+1)=a−b，因为a易得0≤a+1令t=a+1代入化简可得t2−t−m=0，同理t=b+1也满足t2−t−m=0，即t2−t−m=0在区间[0,1]上有两根不相等的实数根．
故{1+4m>0−m≥0，解得m∈(−14,0]，故C不正确．
对D，若f(x)=−12x2+x存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为[a,b]，值域为[3a,3b]．当a故选：AD．
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2023·上海·高三专题练习）某中学高一年级有600人，高二年级有480人，高三年级有420人，因新冠疫情防控的需要，现用分层抽样从中抽取一个容量为300人的样本进行核酸检测，则高三年级被抽取的人数为___________.
【答案】84
【分析】首先求出高一、高二、高三年级的人数之比，然后可得答案.
【详解】高一、高二、高三年级的人数之比为600:480:420=10:8:7，
所以高三年级被抽取的人数为300×710+8+7=84，
故答案为：84
14．（2022秋·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）已知函数y=−x2+ax−a4在区间0,1上的最大值是32，则实数a的值为____________
【答案】−6或103
【分析】先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用开口向下的二次函数自变量离对称轴越近函数值越大来解题．
【详解】解：∵y＝f（x）＝﹣（x−a2）2+14（a2﹣a），对称轴为x=a2，
（1）当0≤a2≤1时，即0≤a≤2时，f（x）max=14（a2﹣a），
由14（a2﹣a）＝32得a＝﹣2或a＝3与0≤a≤2矛盾，不合要求，
（2）当a2＜0，即a＜0时，f（x）在[0，1]上单调递减，f（x）max＝f（0），由f（0）＝32
得−a4=32，解得a＝﹣6，
（3）当a2＞1，即a＞2时，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）max＝f（1），
由f（1）＝32得：﹣1+a−a4=32，解得a=103，
综上所述，a＝﹣6或a=103
【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题．关于不定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论，属于中档题．
15．（2021秋·高一课时练习）已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝________.
【答案】13
【分析】根据函数为偶函数可得a以及f(x)= f(-x)，并得到b最后可得结果.
【详解】由题可知：a－1+2a=0，所以a=13
又f(x)= f(-x)，所以ax2+bx+3a+b=ax2−bx+3a+b，
所以b=0，则a+b=13
故答案为：13
【点睛】本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握定义，简单计算，属基础题.
16．（2022秋·上海奉贤·高一校考阶段练习）若lg92a+b=lg3ab，则a+8b的最小值为______.
【答案】25
【分析】利用对数的运算可得出1a+2b=1，分析出a>0，b>0，将代数式a+8b与1a+2b相乘，展开后利用基本不等式可求得a+8b的最小值.
【详解】因为lg92a+b=lg3ab=lg9ab，所以，2a+b=ab>0，则a>0，b>0，
所以，b+2aab=1a+2b=1，
因为a+8b=a+8b1a+2b=17+8ba+2ab≥17+28ba⋅2ab=25，
当且仅当a=2b时，等号成立，故a+8b的最小值为25.
故答案为：25.
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2023秋·河南·高一校联考期末）已知b>a>1，lgab=2，a+b=6．
(1)求a,b的值；
(2)解不等式：bx−6ax+8<0．
【答案】(1)a=2,b=4
(2){x|1【分析】（1）利用对数的概念列方程组求解即可；
（2）利用换元法令2x=t,t∈0,+∞，解一元二次不等式，结合指数函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由lgab=2可得a2=b，
代入a+b=6得a2+a−6=0，
又因为a>1，
所以a=2，b=a2=4；
（2）由（1）得a=2,b=4，所以不等式bx−6ax+8<0即为4x−6⋅2x+8<0，
令2x=t,t∈0,+∞得t2−6t+8=t−4t−2<0，解得2即2<2x<4，解得1所以不等式的解集为{x|118．（2022春·湖北·高一郧阳中学校考阶段练习）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本f(x)（单位：万元）与年产量x（单位：台）的函数关系式为f(x)=5x2+150x,0(1)求年利润g(x)（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润＝销售额－投入成本－固定成本）；
(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】(1)g(x)=−5x2+150x−500,0(2)当年产量为80台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元
【分析】（1）根据利润＝销售额－投入成本－固定成本求解函数解析式，
（2）当0【详解】（1）当0当x≥20,x∈N时，g(x)=300x−301x+6400x+1700−500=1200−x+6400x.
所以g(x)=−5x2+150x−500,0（2）当0故当x=15时，g(x)取得最大值g15=−5×15−152+625=625；
当x≥20,x∈N时，∵x+6400x≥2x⋅6400x=160，
当且仅当“x=6400x”，即“x=80”时等号成立，
∴g(x)=1200−x+6400x≤1200−160=1040，
即当x=80时，g(x)取得最大值
g80=1040，
综上所述：当年产量为80台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元.
19．（2021秋·四川攀枝花·高一统考期末）某药物研究所开发了一种新药，根据大数据监测显示，病人按规定的剂量服药后，每毫升血液中含药量y（微克）与时间x（小时）之间的关系满足：前1小时内成正比例递增，1小时后按指数型函数y=max−1（m,a为常数，且0（1）当a=14时，求函数y=f(x)的解析式，并求使得y≥1的x的取值范围；
（2）研究人员按照M=yx的值来评估该药的疗效，并测得M≥2时此药有疗效.若病人某次服药后测得x=3时每毫升血液中的含药量为y=8，求此次服药有疗效的时长.
【答案】(1)f(x)= 16x, 0≤x≤116×(14)x−1,x>1，[116,3]
(2)4小时
【分析】（1）根据图像求出解析式；令y≥1直接解出x的取值范围；
（2）先求出a=22(01，根据单调性计算出M≥2的解集即可.
【详解】（1）当0≤x≤1时，y与x成正比例，设为y=kx，则16=k×1⇒k=16；
所以m=k=16，当a=14时，故y=f(x)= 16x, 0≤x≤116×(14)x−1,x>1
当0≤x≤1时，令y≥1解得：x≥116， ∴116≤x≤1
当x>1时，令y≥1得：16×(14)x−1≥1⇒(14)x−1≥(14)2⇒x≤3， ∴1综上所述，使得y≥1的x的取值范围为：[116,3]
（2）当x=3时，y=16a2=8，解得a=22(0所以y=f(x)= 16x, 0≤x≤116×(22)x−1,x>1，则M=yx=16,0≤x≤116×(22)x−1×1x,x>1．
令16×(22)x−1×1x=2(x>1)，解得x=4，
由单调性可知M≥2的解集为x∈[0,4]，所以此次服药产生疗效的时长为4小时．
20．（2022·高一单元测试）为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.
（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；
（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？
【答案】（1）730；（2）甲与乙进行首场比赛时.
【分析】（1）将情况按照第一场比赛甲胜乙、乙胜甲分类，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解；
（2）由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式分别计算出三种情况下甲获得冠军的概率，比较大小即可得解.
【详解】（1）设事件M为“甲和乙先赛且共进行4场比赛”，则有两类：
第一种是甲和乙比赛，甲胜乙，再甲与丙比赛，丙胜甲，再丙与乙比赛，乙胜丙，再进行第四场比赛；
第二种是甲和乙比赛，乙胜甲，再乙与丙比赛，丙胜乙，再丙与甲比赛，甲胜丙，再进行第四场比赛；
故所求概率PM=23×1−35×12+1−23×1−12×35=730，
所以甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率为730；
（2）设事件A表示甲与乙先赛且甲获得冠军；事件B表示甲与丙先赛且甲获得冠军；事件C表示乙与丙先赛且甲获得冠军，
则PA=23×35+23×1−35×12×23+1−23×1−12×35×23=59；
PB=35×23+35×1−23×1−12×35+1−35×12×23×35=2750；
PC=12×23×35+1−12×35×23=25；
因为59>2750>25，
所以甲与乙进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大.
【点睛】本题考查了互斥事件概率加法公式及独立事件概率乘法公式的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.
21．（2019·湖北·校联考一模）某大学就业部从该大学2018年毕业且已就业的大学本科生中随机抽取了100人进行了问卷调查，其中有一项是他们的薪酬，经调查统计，他们的月薪在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下频率分布直方图：
若月薪在区间x−2s,x+2s的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将与本人联系，为其提供更好的指导意见.其中x，s分别是样本平均数和样本标准差，计算得s≈1500（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（1）现该校2018届本科毕业生张静的月薪为3600元，判断张静是否属于“就业不理想”的学生？用样本估计总体，从该校2018届本科毕业生随机选取一人，属于“就业不理想”的概率？
（2）为感谢同学们对调查的支持配合，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，每人赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，每人赠送新款某手机1部，求获赠手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率.
【答案】（1）属于，0.0325；（2）35.
【分析】（1）结合频率分布直方图，代入平均数公式求出x，结合s≈1500，求出x−2s,x+2s与3600进行比较即可判断张静是否属于“就业不理想”的学生，进而求出属于“就业不理想”的概率；
（2）分层抽样从前3组抽取6人，分别1人，2人，3人，记为1，2，3，4，5，6，利用列举法求出总的基本事件数和赠手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元包含是基本事件数，代入古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，x=3500×0.05+4500×0.1+5500×0.15+6500×0.3
+7500×0.2+8500×0.15+9500×0.05=6650，
因为s≈1500，所以x−2s,x+2s=3650,9650，
因为3600<3650，所以张静属于“就业不理想”的学生.
属于就业不理想学生的概率：P=3650−3000×0.00005=0.0325.
（2）分层抽样从前3组抽取6人，分别1人，2人，3人，记为1，2，3，4，5，6.
6人中选2人包含的基本事件为1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,
2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6 共有15种选法，
恰有1人不超过5000的结果为1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6共9种，由古典概型概率计算公式可得，
赠手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率P=915=35.
【点睛】本题考查利用频率分布直方图求样本的平均数和利用列举法求古典概型概率；考查运算求解能力和数据分析能力；熟练掌握样本的平均数公式和古典概型概率计算公式是求解本题的关键；属于中档题.
22．（2020秋·河南洛阳·高一校考阶段练习）已知函数fx的定义域为0,+∞,且对一切x>0,y>0都有fxy=fx+fy,当x>1时,fx>0.
(1)判断fx的单调性并加以证明;
(2)若f4=2,解不等式fx>f2x−1+1.
【答案】(1)fx在0,+∞上为增函数,证明见解析;(2)x12【解析】（1）利用定义即可证明fx在0,+∞上为增函数；
（2）由题意可得f2=1，进而将不等式转化为fx>f4x−2，再利用（1）解得即可.
【详解】(1)fx在0,+∞上为增函数,
证明如下:任取x1,x2∈0,+∞且x1则fx2−fx1=fx1⋅x2x1−fx1=fx1+fx2x1−fx1=fx2x1.
又因为当x>1时,fx>0,而x2x1>1,
所以fx2−fx1=fx2x1>0,所以fx2>fx1,
所以fx在0,+∞上为增函数.
(2)由定义域可得x>02x−1>0,解得x>12,
由已知可得f4=f2+f2=2,
所以f2=1,f2x−1+1=f2x−1+f2=f4x−2,
所求不等式可转化为fx>f4x−2.
由单调性可得x>4x−2,解得x<23,
综上,不等式解集为x12【点睛】本题考查了函数奇偶性的判定以及应用问题，考查抽象函数解不等式问题，属于基础题.等级
项目
优秀
合格
合计
除草
30
15
45
植树
20
25
45