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2023-2024学年湖北省利川市重点中学九年级上学期月考数学试题（含答案）
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这是一份2023-2024学年湖北省利川市重点中学九年级上学期月考数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，共30分）
1.下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A.B.
C.D.
2.2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在杭州市隆重举行.下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A.B.C.D.
3.如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际高峰论坛在北京召开，回顾了10年来共建“一带一路”取得的丰硕成果.据欧洲统计局公布的数据显示，2020年中欧贸易总额为5860亿欧元，2022年中欧贸易总额为8563亿欧元.设这两年中欧贸易总额的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A.B.
C.D.
5.下列判断正确的是（ ）
A.平分弦的直径垂直于弦
B.两个圆心角相等，它们所对的弦也相等
C.等弧所对的圆心角相等
D.在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等
6.如图，电路图上有4个开关、、、和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下.下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A.只闭合1个开关B.只闭合2个开关
C.只闭合3个开关D.闭合4个开关
7.已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A.B.C.D.
8.已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A.2024B.2023C.2022D.无法确定
9.如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间（不含两端点）.则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根.其中正确结论的个数是（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.边长为2的等边三角形中，于，为线段上一动点，连接.于点，分别交，于点，.①当为中点时，；②；③点从点运动到点，点经过路径长为1；④的最小值.正确结论是（ ）
A.②③B.②④C.①②④D.①③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.把函数化成的形式为________.
12.已知点与点关于原点对称，则________.
13.一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是________.
14.飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是，在飞机着陆滑行中，前一半的时间滑行的距离是________.
15.有一个圆心角为，半径长为的扇形，若将其围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是________.
16.如图，是的弦，点在内，，，连接，若的半径是3，则长的最小值为________.
三、解答题（共72分）
17.（本题8分）解方程：
（1）；（2）.
18.（本题8分）如图，是等腰直角三角形，，，为边上一点，连接，将绕点旋转到的位置.
（1）若，求的度数；
（2）连接，求长度的最小值.
19.（本题8分）今年受“疫情”影响，某服装专卖店出现了库存积压状况，为尽快减少库存，该店决定降价促销，经调查发现，一款进价为70元的衬衫，当销售价为100元时，每天可售出20件，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件.
（1）每件衬衫降价多少元时，平均每天盈利750元？
（2）要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由.
20.（本题8分）如图，为的直径，，为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点，连接.
（1）试说明：是的切线.
（2）若，，求的长.
21.（本题8分）如图，在正方形网格纸中，的三个顶点都在格点上，是的外接圆的一部分.请借助网格和无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）作出的外心；
（2）作出的中点；
（3）过点作出的切线.
22.（本题10分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地坚直高度为.可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，坚直高度.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为、高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）.
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围.
23.（本题10分）
【原题初探】
（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，点是等边内的一点，将绕着点顺时针旋转得到，若，，，则的度数为________；
【变式应用】
（2）如图2，是正方形内一点，连结，，.若，，，求的长；
【拓展延伸】
（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形中，，，，若，，求的长.
图1 图2 图3
24.（本题12分）如图1所示，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上.点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止.
图1 图2
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动.连接，，求的最小值.
九上数学月考试卷答案
1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A
9.C【解析】∵图象开口向下，∴，取，得，
又∵对称轴为，∴，∴，
①正确，由抛物线的对称性得：抛物线与轴的另一个交点在点和之间（不含两端点）.
∴时，，②错误，
∴，③正确，
∵顶点坐标为，∴的最大值为，
∴的图象与的图象无交点，
∴一元二次方程没有实数根.④正确，
正确的为①③④，故选：C.
10.B【解析】（1）当时结合可得平分，
过作于，∵为中点，∴，
∵，∴不可能平分，∴，故①错误；
②连接，∵，∴、、、四点共圆，
∴，∴，故②正确；
③∵，∴点的运动轨迹是以中点为圆心，半径为的圆，
∴点从点运动到点，点经过路径长为，故③错误；
④取中点，连接，，则，，
∵，∴，∵，
∴的最小值，故④正确.故选：B.
11. 12. 13. 14.450 15.3
16.【解析】如图，延长交圆于点，连接，，过点作交于点，
∵，∴，∵，∴是等边三角形，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴点在以为圆心，为半径的圆上，
在中，，，∴，
∴的最小值为，故答案为：.
17.（1），……………………………………………………………………4分
（2），，…………………………………………………………8分
18.（1）解：∵是等腰直角三角形，，∴，
由旋转的性质可得，………………………………………4分
（2）解：由旋转的性质可得，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，∴当时，有最小值32，
∴当时，有最小值.……………………………………………………8分
19.（1）解：设每件衬衫降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，解得：，，
又∵要尽快减少库存，∴.
答：每件衬衫降价15元时，平均每天盈利750元；…….…………………………4分
（2）解：不能平均每天盈利1000元，理由如下：
假设能平均每天盈利1000元，设每件衬衫降价元，
则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
根据题意得：，整理得：，
∵，∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，∴不能平均每天盈利1000元.………………………………8分
20.（1）解：连接，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴是的切线；………………………………4分
（2）∵为的直径，∴，
∵，，∴，，即，
∵，∴.…………………………8分
21.（1）作线段和线段的垂直平分线，交点即为外接圆的圆心；………………2分
（2）取的中点，连接圆心和中点并延长与的交点即为点；……………………5分
（3）取格点，作直线即为所作的切线.……………………………………8分
22.（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，设，
又∵抛物线过点，∴，∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则，解得：，
∴米.………………………………………………………………3分
（2）解：如图，过点作轴，交上边缘抛物线于点，
对于上边缘抛物线，
当时，则，
解得：，，则，
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点是点向左平移得到，
由（1）知米，∴（米）
∴点的坐标为；………………………………………………3分
（3）解：∵，∴点的纵坐标为0.5，
∴，解得，
∵，∴，
当时，随的增大而减小，
∴当时，要使，则，
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2，
综上所述，的取值范围是.…………………………………………10分
23.解：（1）∵将绕着点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴为等边三角形；
∴，，
在中，，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
故答案为；
（2）将绕点顺时针旋转得，连接，
根据旋转的性质可知：
，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，∴，
在中，，，
根据勾股定理可得：；……………………6分
（3）将绕点顺时针旋转后落在处，得到，连结，如图，
根据旋转的性质得：，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，∴，
在中，，
∴的长为6.…………………………………………………………………………10分
24.（1）解：∵抛物线过点，
∴，∴，
∴；……………………………………………………………………3分
（2）解：四边形是平行四边形.
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，.
∵点在上，∴，，
连接，
∵，，∴，∴，
∵，∴，
图1
∴，
当时，，
∴，∵，∴，∴，
∵轴，轴，∴，
∴四边形是平行四边形；……………………………………………………7分
（3）解：如图2，由题意得，，连接.
图2
在上方作，使得，，
∵，，∴，∴，
∵，，，∴，
∴，∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为.
一、单选题（每小题3分，共30分）
1.下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A.B.
C.D.
2.2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在杭州市隆重举行.下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A.B.C.D.
3.如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际高峰论坛在北京召开，回顾了10年来共建“一带一路”取得的丰硕成果.据欧洲统计局公布的数据显示，2020年中欧贸易总额为5860亿欧元，2022年中欧贸易总额为8563亿欧元.设这两年中欧贸易总额的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A.B.
C.D.
5.下列判断正确的是（ ）
A.平分弦的直径垂直于弦
B.两个圆心角相等，它们所对的弦也相等
C.等弧所对的圆心角相等
D.在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等
6.如图，电路图上有4个开关、、、和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下.下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A.只闭合1个开关B.只闭合2个开关
C.只闭合3个开关D.闭合4个开关
7.已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A.B.C.D.
8.已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A.2024B.2023C.2022D.无法确定
9.如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间（不含两端点）.则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根.其中正确结论的个数是（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.边长为2的等边三角形中，于，为线段上一动点，连接.于点，分别交，于点，.①当为中点时，；②；③点从点运动到点，点经过路径长为1；④的最小值.正确结论是（ ）
A.②③B.②④C.①②④D.①③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.把函数化成的形式为________.
12.已知点与点关于原点对称，则________.
13.一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是________.
14.飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是，在飞机着陆滑行中，前一半的时间滑行的距离是________.
15.有一个圆心角为，半径长为的扇形，若将其围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是________.
16.如图，是的弦，点在内，，，连接，若的半径是3，则长的最小值为________.
三、解答题（共72分）
17.（本题8分）解方程：
（1）；（2）.
18.（本题8分）如图，是等腰直角三角形，，，为边上一点，连接，将绕点旋转到的位置.
（1）若，求的度数；
（2）连接，求长度的最小值.
19.（本题8分）今年受“疫情”影响，某服装专卖店出现了库存积压状况，为尽快减少库存，该店决定降价促销，经调查发现，一款进价为70元的衬衫，当销售价为100元时，每天可售出20件，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件.
（1）每件衬衫降价多少元时，平均每天盈利750元？
（2）要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由.
20.（本题8分）如图，为的直径，，为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点，连接.
（1）试说明：是的切线.
（2）若，，求的长.
21.（本题8分）如图，在正方形网格纸中，的三个顶点都在格点上，是的外接圆的一部分.请借助网格和无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）作出的外心；
（2）作出的中点；
（3）过点作出的切线.
22.（本题10分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地坚直高度为.可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，坚直高度.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为、高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）.
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围.
23.（本题10分）
【原题初探】
（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，点是等边内的一点，将绕着点顺时针旋转得到，若，，，则的度数为________；
【变式应用】
（2）如图2，是正方形内一点，连结，，.若，，，求的长；
【拓展延伸】
（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形中，，，，若，，求的长.
图1 图2 图3
24.（本题12分）如图1所示，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上.点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止.
图1 图2
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动.连接，，求的最小值.
九上数学月考试卷答案
1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A
9.C【解析】∵图象开口向下，∴，取，得，
又∵对称轴为，∴，∴，
①正确，由抛物线的对称性得：抛物线与轴的另一个交点在点和之间（不含两端点）.
∴时，，②错误，
∴，③正确，
∵顶点坐标为，∴的最大值为，
∴的图象与的图象无交点，
∴一元二次方程没有实数根.④正确，
正确的为①③④，故选：C.
10.B【解析】（1）当时结合可得平分，
过作于，∵为中点，∴，
∵，∴不可能平分，∴，故①错误；
②连接，∵，∴、、、四点共圆，
∴，∴，故②正确；
③∵，∴点的运动轨迹是以中点为圆心，半径为的圆，
∴点从点运动到点，点经过路径长为，故③错误；
④取中点，连接，，则，，
∵，∴，∵，
∴的最小值，故④正确.故选：B.
11. 12. 13. 14.450 15.3
16.【解析】如图，延长交圆于点，连接，，过点作交于点，
∵，∴，∵，∴是等边三角形，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴点在以为圆心，为半径的圆上，
在中，，，∴，
∴的最小值为，故答案为：.
17.（1），……………………………………………………………………4分
（2），，…………………………………………………………8分
18.（1）解：∵是等腰直角三角形，，∴，
由旋转的性质可得，………………………………………4分
（2）解：由旋转的性质可得，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，∴当时，有最小值32，
∴当时，有最小值.……………………………………………………8分
19.（1）解：设每件衬衫降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，解得：，，
又∵要尽快减少库存，∴.
答：每件衬衫降价15元时，平均每天盈利750元；…….…………………………4分
（2）解：不能平均每天盈利1000元，理由如下：
假设能平均每天盈利1000元，设每件衬衫降价元，
则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
根据题意得：，整理得：，
∵，∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，∴不能平均每天盈利1000元.………………………………8分
20.（1）解：连接，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴是的切线；………………………………4分
（2）∵为的直径，∴，
∵，，∴，，即，
∵，∴.…………………………8分
21.（1）作线段和线段的垂直平分线，交点即为外接圆的圆心；………………2分
（2）取的中点，连接圆心和中点并延长与的交点即为点；……………………5分
（3）取格点，作直线即为所作的切线.……………………………………8分
22.（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，设，
又∵抛物线过点，∴，∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则，解得：，
∴米.………………………………………………………………3分
（2）解：如图，过点作轴，交上边缘抛物线于点，
对于上边缘抛物线，
当时，则，
解得：，，则，
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点是点向左平移得到，
由（1）知米，∴（米）
∴点的坐标为；………………………………………………3分
（3）解：∵，∴点的纵坐标为0.5，
∴，解得，
∵，∴，
当时，随的增大而减小，
∴当时，要使，则，
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2，
综上所述，的取值范围是.…………………………………………10分
23.解：（1）∵将绕着点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴为等边三角形；
∴，，
在中，，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
故答案为；
（2）将绕点顺时针旋转得，连接，
根据旋转的性质可知：
，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，∴，
在中，，，
根据勾股定理可得：；……………………6分
（3）将绕点顺时针旋转后落在处，得到，连结，如图，
根据旋转的性质得：，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，∴，
在中，，
∴的长为6.…………………………………………………………………………10分
24.（1）解：∵抛物线过点，
∴，∴，
∴；……………………………………………………………………3分
（2）解：四边形是平行四边形.
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，.
∵点在上，∴，，
连接，
∵，，∴，∴，
∵，∴，
图1
∴，
当时，，
∴，∵，∴，∴，
∵轴，轴，∴，
∴四边形是平行四边形；……………………………………………………7分
（3）解：如图2，由题意得，，连接.
图2
在上方作，使得，，
∵，，∴，∴，
∵，，，∴，
∴，∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为.
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